Numerische Integrationsverfahren – Keplersche Fassregel

Numerische Integrationsverfahren – Keplersche Fassregel Übung

• Gib die Aussage der Keplerschen Fassregel wieder.

  Tipps

  Eine Parabel ist eindeutig definiert, wenn wir drei Punkte kennen, durch die sie verläuft.

  Die Keplersche Fassregel wird verwendet, um den Flächeninhalt unter komplizierten, stetigen Funktionen ungefähr zu berechnen.

  Lösung

  Den Lückentext füllst du folgendermaßen aus:

  • Die Keplersche Fassregel nutzen wir, um den Flächeninhalt unter komplizierten Funktionen näherungsweise zu berechnen. Dabei werden die Funktionen durch Parabeln angenähert.

  $\rightarrow$ Das bedeutet, wir können den Flächeninhalt unter einer komplizierten Funktion so nicht exakt berechnen, sondern erhalten dadurch nur einen Näherungswert. Die Berechnung dieses Wertes erfolgt jedoch viel einfacher als die des exakten Wertes.

  • Wir betrachten nun eine stetige Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$, das durch eine geeignete Auswahl von $A$ und $B$ festgelegt ist. Neben diesen zwei Punkten wählen wir als dritten Punkt den Punkt $M$, durch den die Näherungsparabel ebenfalls verlaufen soll. Der $x$-Wert dieser Funktion ist der Mittelwert $m$ des Intervalls $[a,b]$. Diesen berechnen wir mithilfe der folgenden Formel:

  $\quad m=\dfrac{a+b}{2}$

  $\rightarrow$ Der Mittelpunkt eines Intervalls ist gewissermaßen der Durchschnitt der beiden Intervallgrenzen. Wir benötigen den dritten Punkt, weil wir die Näherungsparabel nur so eindeutig bestimmen können.

  • Damit haben wir drei Punkte auf der zu nähernden Funktion $f(x)$ gewählt, an die die Näherungsparabel gelegt werden kann. Den Flächeninhalt unter dieser Parabel erhalten wir schließlich mit der folgenden Näherungsformel:

  $\quad \int_a^bf(x)\, \text{d}x\approx\dfrac{b-a}{6}\cdot\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big)$

  $\rightarrow$ Beachte, dass wir diese Formel hier nicht hergeleitet haben. Sie ergibt sich, indem wir die durch die drei Punkte gegebene Näherungsparabel durch die Werte $a$, $b$ und $m$ ausdrücken und über das Intervall $[a,b]$ integrieren.

• Berechne eine Näherung des Flächeninhalts unter der Funktion $f(x)$.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Intervalls ist hier gleichzeitig der höchste Punkt der Funktion.

  Die $x$-Werte kannst du durch Ablesen bestimmen. Die Funktionswerte kannst du entweder ebenfalls ablesen oder durch Einsetzen der $x$-Werte in die Funktion $f(x)$ berechnen.

  Die Keplersche Fassregel lautet:

  $A=\int\limits_a^bf(x)\,\text{d}x\approx\dfrac{b-a}{6}\cdot\big(f(a)+4\cdot f(m)+f(b)\big)$

  Lösung

  Aus dem Koordinatensystem können wir zunächst die Koordinaten der eingezeichneten Punkte ablesen. Diese sind gegeben mit:

  • $A=(a|f(a))=(0|0)$ (da $A$ im Ursprung liegt)
  • $B=(b|f(b))=(4|0)$
  • $M=(m|f(m))=(2|5)$

  Alternativ lässt sich $m$ auch als Mittelwert von $a$ und $b$ mit $m=\frac{a+b}{2}$ berechnen. Falls wir uns beim Ablesen nicht sicher sind, können wir die $y$-Werte der Punkte überprüfen, indem wir die zugehörigen $x$-Werte in die Funktion $f(x)$ einsetzen. Probieren wir das am Beispiel des Punktes $M$ aus, so ergibt sich:

  $m=2\quad\Longrightarrow\quad f(m)=2,5\cdot\sqrt{4\cdot 2 - 2^2}=2,5\cdot\sqrt{4}=5\quad \checkmark$

  Um nun den Flächeninhalt $A$ unter der Kurve $f(x)$ im Intervall $[0,4]$ näherungsweise zu berechnen, nutzen wir die Keplersche Fassregel:

  $A=\int\limits_a^bf(x)\,\text{d}x\approx \dfrac{b-a}{6}\cdot\big(f(a)+4\cdot f(m)+f(b)\big)$

  Setzen wir die oben gefundenen Werte in die Formel ein, so erhalten wir:

  $A\approx \dfrac{4-0}{6}\cdot\big(0+4\cdot 5 + 0) = \dfrac{2}{3}\cdot 20 = 13\dfrac{1}{3}$

• Bestimme, welche Werte du benötigst, um die gezeigten Flächen näherungsweise zu berechnen.

  Tipps

  Die Keplersche Fassregel, mit der du den genäherten Flächeninhalt $A$ unter einer Funktion im Intervall $[a,b]$ berechnest, lautet:

  $A=\dfrac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big)$

  Um die Keplersche Fassregel anwenden zu können, müssen wir die ursprüngliche Funktion nicht genau kennen. Wir benötigen lediglich drei Punkte, durch die sie verläuft, um die Funktion durch eine Parabel annähern zu können. Einer dieser Punkte ist $(a|f(a))$.

  Lösung

  Die Keplersche Fassregel lautet:

  $A=\dfrac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big)$

  Dabei ist $A$ ein Näherungswert für den Flächeninhalt, den die Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit der $x$-Achse einschließt. Der Wert $m$ ist der Mittelwert des Intervalls, also $\frac{a+b}{2}$.

  Beachte, dass wir die Funktion $f(x)$ nicht genau kennen müssen, um die Fassregel anzuwenden. Dafür benötigen wir lediglich die Werte, die in der Formel vorkommen, also:

  • die linke Intervallgrenze $a$ und den zugehörigen Funktionswert $f(a)$,
  • die rechte Intervallgrenze $b$ und den zugehörigen Funktionswert $f(b)$ und
  • den Funktionswert $f(m)$ in der Mitte des Intervalls (der Mittelwert $m$ selbst kommt nicht in der Formel vor!).

  Wenn wir die Funktion $f(x)$ und die Intervallgrenzen $a$ und $b$ kennen würden, könnten wir die benötigten Funktionswerte $f(a)$, $f(b)$ und (mit Umweg über $m$) auch $f(m)$ ausrechnen. Kennen wir aber nur den Graphen und nicht die Funktion, so müssen wir die notwendigen Werte stattdessen aus dem Koordinatensystem ablesen.

  Gehen wir dies am Beispiel der abgebildeten Funktion durch. Die Intervallgrenzen $a$ und $b$ sind diejenigen $x$-Werte, bei denen die zu berechnende (hier schraffierte) Fläche beginnt und endet, hier also $a=1$ und $b=3$. Die zugehörigen Funktionswerte sind die $y$-Werte der Funktion bei diesen beiden $x$-Werten, die wir mit $f(a)=2$ und $f(b)=8$ ablesen. Schließlich wollen wir noch den Funktionswert $f(m)$ ermitteln. Um herauszufinden, wo wir diesen ablesen müssen, brauchen wir aber zuerst den Mittelwert des Intervalls $m$, der genau in der Mitte von $a$ und $b$ liegt – das ist hier $m=\frac{a+b}{2}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$. Gehen wir also vom $x$-Wert $2$ nach oben und lesen den Funktionswert ab, so erhalten wir: $f(m)=4$. (Die abgebildete Funktion ist $f(x)=2^x$.)

  Für die anderen beiden Funktionen ergeben sich die folgenden Werte:

  Funktion 2 (andere steigende Funktion):

  • $a=0$, $f(a)=0$
  • $b=4$, $f(b)=2$
  • $f(m)\approx 1,4$ (bei $m=2$)
  • (Die abgebildete Funktion ist $f(x)=\sqrt{x}$.)

  Funktion 3 (fallende Funktion):

  • $a=2$, $f(a)=1$
  • $b=6$, $f(b)=\frac{1}{3}$
  • $f(m)=\frac{1}{2}$ (bei $m=4$)
  • (Die abgebildete Funktion ist $f(x)=\frac{2}{x}$.)

• Ermittle jeweils mithilfe der Keplerschen Fassregel den näherungsweisen Flächeninhalt unter den gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Der Cosinus hat eine Periode von $2\pi$.

  Die Formel für die Keplersche Fassregel lautet:

  $A\approx\frac{b-a}{6}\cdot\big(f(a)+4\cdot f(m)+f(b)\big)$

  Lösung

  Hier ist jeweils ein Intervall angegeben und eine Funktion, deren Flächeninhalt auf diesem Intervall wir nähern wollen.

  Die Keplersche Fassregel, mit der wir diesen Flächeninhalt $A$ näherungsweise berechnen wollen, lautet:

  $A\approx\frac{b-a}{6}\cdot(f(a)+4\cdot f(m)+f(b))$

  Die Werte für $a$ und $b$ sind angegeben. Den Wert für $m$ können wir jeweils mit $m=\frac{a+b}{2}$ berechnen, und die Funktionswerte $f(a)$, $f(b)$ und $f(m)$ (bzw. $g$, $h$, $j$) ermitteln wir, indem wir die jeweiligen Werte $a$, $b$ und $m$ in die Funktionen einsetzen.

  Für die Funktion $f(x)=\sqrt{x^2-3}$, $a=2$, $b=4$ erhalten wir damit die folgenden fehlenden Werte:

  • $m=3$
  • $f(a)=1$
  • $f(b)=\sqrt{13}$
  • $f(m)=\sqrt{6}$

  Diese setzen wir nun in die Formel ein, um den Flächeninhalt $A$ näherungsweise zu berechnen, und erhalten:

  $A\approx \dfrac{4-2}{6}\cdot(1+4\cdot\sqrt{6}+\sqrt{13})\approx 4,80$

  Genauso gehen wir für die folgenden Funktionen vor. Wir erhalten:

  $\begin{array}{lllll} g(x)&=e^x-x^3,& a=0,& b=1 & \Longrightarrow \quad A\approx 1,47 \\ h(x)&=\cos(x), & a=0, & b=\frac{\pi}{2} & \Longrightarrow \quad A \approx 1,00 \\ j(x)&=\frac{3}{x}, & a = 1, & b=15 & \Longrightarrow \quad A\approx 10,97 \end{array}$

  Wie gut diese Näherungen sind, können wir überprüfen, indem wir die eigentlichen bestimmten Integrale berechnen. Dafür können wir ein Computerprogramm oder einen programmierbaren Taschenrechner nutzen, oder die Integrale selbst berechnen. Dann sehen wir, dass die Keplersche Fassregel nicht immer gleich gute Werte liefert: Für die Funktionen $g(x)$ und $h(x)$ stimmt die Näherung sogar in den ersten zwei Nachkommastellen mit der tatsächlichen Lösung überein, für $f(x)$ immerhin noch in der ersten. Für $j(x)$ ergibt sich zwischen Näherung und tatsächlicher Lösung allerdings eine Differenz von etwa $2,85$, was im Verhältnis zur Lösung selbst recht groß ist $-$ die Keplersche Fassregel hat also auch ihre Schwächen. Du solltest dir immer bewusst sein, dass du hier nur Näherungen berechnest.

• Bestimme, welche Funktionen die jeweiligen Werte in der Keplerschen Fassregel einnehmen.

  Tipps

  Die Keplersche Fassregel lautet:

  $A\approx \dfrac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big)$

  Die Keplersche Fassregel wird benutzt, um die Fläche unter einer Funktion zwischen den Werten $x$-Werten $a$ und $b$ anzunähern.

  Der zu einem Wert $x$ zugehörige Funktionswert wird mit $f(x)$ bezeichnet.

  Lösung

  Die Keplersche Fassregel lautet:

  $A\approx \dfrac{b-a}{6}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big)$

  Wir benutzen sie, um die Fläche $A$ näherungsweise zu berechnen, die von einer Funktion $f(x)$ in einem bestimmten Bereich eingeschlossen wird. Die Größen in der Formel haben folgende Bedeutung:

  • $a \quad \longleftrightarrow \quad$ Linke Intervallgrenze
  • $b \quad \longleftrightarrow \quad$ Rechte Intervallgrenze
  • $m \quad \longleftrightarrow \quad$ Mittelwert der Intervallgrenzen

  Diese Werte setzen wir in die Funktion $f(x)$ ein, um die restlichen für die Formel benötigten Werte zu erhalten. Also gilt:

  • $f(a) \quad \longleftrightarrow \quad$ Funktionswert der linken Intervallgrenze
  • $f(b) \quad \longleftrightarrow \quad$ Funktionswert der rechten Intervallgrenze
  • $f(m) \quad \longleftrightarrow \quad$ Funktionswert des Mittelwertes der Intervallgrenzen

• Berechne das Volumen eines Fasses mithilfe der Keplerschen Fassregel.

  Tipps

  Wir benötigen die Funktionswerte zu genau drei $x$-Werten, von denen einer in der Mitte der anderen beiden liegt, um die Keplersche Fassregel anwenden zu können.

  Eine Fläche erhältst du aus der Integration einer Höhe (über der $x$-Achse) über eine gewisse Strecke. Analog erhältst du als Ergebnis ein Volumen, wenn du eine (von $x$ abhängige) Fläche über eine Strecke integrierst.

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du wie folgt:

  • Wir untersuchen das hier abgebildete Fass. Um die Keplersche Fassregel anzuwenden, müssen wir den Umfang dieses Fasses an drei verschiedenen Stellen messen. Daraus können wir dann mithilfe der Formel $r=\frac{u}{2\pi}$ die verschiedenen Radien des Fasses bestimmen.

  $\rightarrow$ Wir benötigen genau drei Radien, zwei an den Endpunkten (Intervallgrenzen) und einen genau in der Mitte (Mittelwert). Daraus können wir nun die drei Querschnittsflächen berechnen, die wir als Funktionswerte bei diesen Werten auffassen.

  • Wir bezeichnen nun die Querschnittsfläche des Fasses bei einer bestimmten Höhe $x$ mit $f(x)$. Da wir die Radien am oberen und unteren Ende sowie in der Mitte des Fasses kennen, können wir an diesen Stellen auch die Querschnittsflächen berechnen. Wir erhalten gerundet:

  $\quad$ $f(0)\approx0,5\,\text{m}^2$

  $\quad$ $f(\frac{h}{2})\approx0,79\,\text{m}^2$

  $\quad$ $f(h)\approx0,5\,\text{m}^2$

  Die Intervallgrenzen von $x$ sind $0$ und $h$, der Mittelwert, ist $\frac{h}{2}$.

  $\rightarrow$ Hier ist $x$ die Variable, die das Intervall von $0$ bis $h$ mit dem Mittelwert $\frac{h}{2}$ durchläuft, und $f(x)$ die (uns unbekannte) Funktion, die wir über diese Intervallgrenzen näherungsweise integrieren wollen.

  • Das exakte Volumen des Fasses lässt sich durch die Integration

  $V=\int\limits_0^hf(x)\,\text{d}x$

  berechnen. Wir kennen zwar die Funktion $f(x)$ nicht, können aber nun auf die Keplersche Fassregel zurückgreifen, die uns das Volumen näherungsweise bestimmen lässt:

  $V\approx \frac{h-0}{6}\cdot\big(f(0)+4\cdot f(\frac{h}{2})+f(h)\big)\approx 0,69\,\text{m}^3$

  $\rightarrow$ Obwohl wir die ursprüngliche Funktion gar nicht kennen, können wir hier die Keplersche Fassregel nutzen, da wir die drei dafür nötigen Punkte $(0|f(0))$, $(\frac{h}{2}|f(\frac{h}{2}))$ und $(h|f(h))$ kennen.