Newton-Verfahren und seine Grenzen

Newton-Verfahren und seine Grenzen Übung

• Bestimme mögliche Nullstellen mithilfe des Newton-Verfahrens.

  Tipps

  Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet

  $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

  Setze die Funktion und ihre erste Ableitung in die allgemeine Iterationsvorschrift ein.

  Die erste Ableitung der Funktion lautet $f'(x)=3x^2-2$.

  Setze den Startwert $x_0=0$ in die Iterationsvorschrift, um $x_1$ zu bestimmen.

  Lösung

  Mithilfe des Newton-Verfahrens können Nullstellen näherungsweise bestimmt werden. Dafür werden die Funktion $f(x)$ selbst und deren 1. Ableitung $f'(x)$ benötigt.

  Für die Funktion $f(x)=x^3-2x+2$ lautet die erste Ableitung $f'(x)=3x^2-2$. Damit erhältst du die Iterationsvorschrift

  $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^3-2x_n+2}{3x_n^2-2}$.

  Wählst du den Startwert $x_0=0$, erhältst du $x_1=0 - \frac{2}{-2}=1$. Setzt du nun $x_1=1$ ein, erhältst du $x_2= 1 - \frac{1}{1}=0$.

  Das ist derselbe Wert wie der von $x_0$. Du erhältst durch Einsetzen von $x_2=0$ also wieder $x_3=1$, dann $x_4=0$ und so weiter. Die Werte von $x_n$ pendeln demnach zwischen $0$ und $1$ hin und her. Das Newton-Verfahren divergiert, obwohl eine Nullstelle existiert. Grund hierfür ist ein schlecht gewählter Startwert $x_0$.

• Fasse zusammen, in welchen Fällen das Newton-Verfahren divergiert.

  Tipps

  Versuche einmal, die Gleichung $x^2+1=0$ zu lösen.

  Die Allgemeine Iterationsvorschrift lautet

  $x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

  Setze die Funktion und ihre Ableitung ein, um die Iterationsvorschrift für das jeweilige Beispiel aufzustellen.

  Setze den Startwert $x_0$ in die iterationsvorschrift ein, um den nächsten Näherungswert $x_1$ zu berechnen.

  Lösung

  1. Die Funktion $f(x)=x^2+1$ hat keine Nullstelle. Das kannst du überprüfen, indem du versuchst die Gleichung $x^2+1=0$ zu lösen.

  $\begin{align} x^2 + 1 &= 0 &|&-1 \\ x^2 &= -1 &|& \sqrt{~} \\ x &= \sqrt{-1} \end{align}$

  Da die Wurzel einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, hat die Gleichung keine Lösung. Die Funktion hat also keine Nullstelle.

  2. Setzt du die Funktion $f(x)= \frac{1}{x}+1$ und ihre Ableitung $f'(x)=- \frac{1}{x^2}$ in die allgemeine Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_{n+1}=x_n - \frac{\frac{1}{x_n}+1}{- \frac{1}{x_n^2}}$. Setzt du nun den Startwert $x_0=1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_1=1- \frac{2}{-1}=3$. Setzt du dies erneut ein, erhältst du $x_2=15$, $x_3=255$ und $x_4=65535$. Die Näherungswerte $x_n$ steigen also immer weiter und konvergieren nicht zu einer Nullstelle.

  3. In der Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens teilt man durch die erste Ableitung. Für die Funktion $f(x)=x^2-1$ lautet diese $f'(x)=2x$. Die Iterationsvorschrift lautet also $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^2-1}{2x_n}$. Mit dem Startwert $x_0=0$ erhältst du $x_1=0- \frac{-1}{0}$. Da die Division durch Null nicht definiert ist, führt das Newton-Verfahren hier nicht zum Erfolg.

  4. Für die Funktion $f(x)=x^3-2x+2$ lautet die erste Ableitung $f'(x)=3x^2-2$. Damit erhältst du die Iterationsvorschrift $x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^3-2x_n+2}{3x_n^2-2}$. Setzt du den Startwert $x_0=0$ ein, erhältst du $x_1=0 - \frac{2}{-2}=1$. Mit diesem Wert erhältst du dann $x_2= 1 - \frac{1}{1}=0$. Die Werte von $x_n$ pendeln also zwischen $0$ und $1$ hin und her.

• Bestimme die Nullstelle mithilfe des Newton-Verfahrens.

  Tipps

  Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet:

  $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

  Setze die Funktion und ihre erste Ableitung in die allgemeine Iterationsvorschrift ein.

  Die erste Ableitung der Funktion lautet $f'(x)=- \frac{3}{x^4}$.

  Setze den Startwert $x_0$ in die Iterationsvorschrift, um $x_1$ zu bestimmen.

  Die Nullstellen kannst du bestimmen, indem du einen geeigneten Startwert wählst oder die Gleichung $\frac{1}{x^3}-1 = 0$ löst.

  Lösung

  Setzt du die Funktion $f(x)= \frac{1}{x^3}-1$ und ihre Ableitung $f'(x)=- \frac{3}{x^4}$ in die allgemeine Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_{n+1}=x_n - \frac{\frac{1}{x_n^3}-1}{- \frac{3}{x_n^4}}$. Setzt du nun den Startwert $x_0=-2$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_1=-2 - \frac{f(-2)}{f'(-2)}=-8$. Setzt du dies erneut ein, erhältst du $x_2=-1376$. Die Näherungswerte $x_n$ steigen also immer weiter und das Newton-Verfahren divergiert. Setzt du als Startwert $x_0=2$ ein, erhältst du $x_1 \approx -2,7$ und weiter $x_2 \approx -21,3$, sowie $x_3 \approx -68639,9$. Auch hier divergiert das Newton-Verfahren. Die Nullstelle der Funktion kannst du berechnen, indem du die Gleichung $f(x)=0$ löst.

  $\begin{align} f(x) &= 0 \\ \frac{1}{x^3}-1 &= 0 &|& +1 \\ \frac{1}{x^3} &= 1 &|& \cdot x^3 \\ x^3 &= 1 &|& \sqrt[3]{~} \\ x &= 1 \end{align}$

  Die Nullstelle liegt also bei $x=1$.

• Entscheide, welcher Startwert $x_0$ zu einer Nullstelle führt.

  Tipps

  Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet:

  $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

  Die erste Ableitung der Funktion lautet $f'(x)=-x+2$.

  Setze die Funktion und ihre erste Ableitung in die allgemeine Iterationsvorschrift ein.

  Setze einen Startwert $x_0$ in die Iterationsvorschrift, um $x_1$ zu bestimmen.

  Die Funktion $f(x) = - \frac{1}{2}x^2+2x-1$ ist ein Polynom zweiten Grades. Wie viele Nullstellen kann sie also höchstens besitzen?

  Lösung

  Setzt du die Funktion $f(x) = - \frac{1}{2}x^2+2x-1$ und ihre Ableitung $f'(x)=-x+2$ in die allgemeine Iterationsvorschrift ein, erhältst du:

  $x_{n+1}=x_n - \large{\frac{- \frac{1}{2}x_n^2+2x_n-1}{-x_n+2}}$. Nun setzt du einen der Startwerte $x_0$ in die Iterationsvorschrift ein, um die nächsten Näherungswerte zu bestimmen. Diese Vorgehen wiederholst du für alle Startwerte. Die Ergebnisse der Berechnungen sind in der Tabelle aufgeführt.

  $\begin{array}{c|c|c|c} x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ \hline 0 & 0,5 & 0,5833 & 0,5858 \\ 1 & 0,5 & 0,5833 & 0,5858 \\ 2 & & & \\ 3 & 3,5 & 3,4176 & 3,4142 \\ 4 & 3,0 & 3,4176 & 3,4142 \\ \end{array}$

  Mit den Startwerten $x_0=0$ und $x_0=1$ konvergiert das Newton-Verfahren gegen eine Nullstelle bei $x \approx 0,5858$. Mit den Startwerten $x_0=3$ und $x_0=4$ konvergiert das Newton-Verfahren ebenfalls, jedoch gegen eine Nullstelle bei $x \approx 3,4142$. Setzt du den Startwert $x_0=2$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_1=-2 - \large{\frac{- \frac{1}{2}2^2+2 \cdot 2-1}{-2+2}} = 2 - \frac{1}{0}$. Da die Division durch Null nicht definiert ist, divergiert das Newton-Verfahren in diesem Fall.

  Die Funktion $f(x) = - \frac{1}{2}x^2+2x-1$ ist ein Polynom zweiten Grades. Sie kann also höchstens zwei Nullstellen besitzen. Diese hast du bereits bestimmt. Es gibt also zwei Nullstellen.

• Bestimme die Nullstelle mithilfe des Newton-Verfahrens.

  Tipps

  Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet

  $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

  Setze die Funktion und ihre erste Ableitung in die allgemeine Iterationsvorschrift ein.

  Die erste Ableitung der Funktion lautet $f'(x)=2x$.

  Setze den Startwert $x_0=1$ in die Iterationsvorschrift ein, um $x_1$ zu bestimmen.

  Um die Nullstelle zu bestimmen, kannst du die Gleichung $\frac{1}{x}+1 = 0$ lösen.

  Lösung

  Setzt du die Funktion $f(x)= \frac{1}{x}+1$ und ihre Ableitung $f'(x)= -\frac{1}{x^2}$ in die allgemeine Iterationsvorschrift ein, erhältst du

  $x_{n+1}=x_n - \frac{\frac{1}{x_n}+1}{- \frac{1}{x_n^2}}$.

  Setzt du nun den Startwert $x_0=1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_1=1- \frac{2}{-1}=3$. Setzt du dies erneut ein, erhältst du $x_2=15$. Weitere Werte lauten $x_3=255$ und $x_4=65535$. Die Näherungswerte $x_n$ steigen also immer weiter und das Newton-Verfahren divergiert in diesem Fall. Die Nullstelle der Funktion lässt sich jedoch auch ohne Newton-Verfahren bestimmen, indem du die Gleichung $f(x)=0$ löst.

  $\begin{align} f(x) &= 0 \\ \frac{1}{x}+1 &= 0 &|& -\frac{1}{x} \\ 1 &= -\frac{1}{x} &|& \cdot x \\ x &= -1 \end{align}$

  Die Nullstelle liegt also bei $x=-1$.

• Ermittle die Startwerte, mit denen das Newton-Verfahren divergiert bzw. konvergiert.

  Tipps

  Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet:

  $\huge{x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}$.

  Setze die Funktion und ihre erste Ableitung in die allgemeine Iterationsvorschrift ein.

  Die erste Ableitung der Funktion lautet $\Large{f'(x)= -\frac{1}{x^2}}$.

  Die Bereiche der x-Achse sind so gewählt, dass für alle Werte innerhalb eines Bereichs das gleiche Verhalten auftritt. Entweder divergiert das Newton-Verfahren für alle Werte in einem Bereich oder es konvergiert für alle Werte. Es reicht also, einen Startwert pro Bereich zu überprüfen.

  Achte darauf, dass alle Bereiche markiert sind. Dies umfasst also alle Intervalle, auch diejenigen, welche nur aus einer einzigen Zahl bestehen.

  Lösung

  Setzt du die Funktion $f(x)= \frac{1}{x}+1$ und ihre Ableitung $f'(x)= -\frac{1}{x^2}$ in die allgemeine Iterationsvorschrift ein, erhältst du:

  $\Large{x_{n+1}=x_n - \frac{\frac{1}{x_n}+1}{- \frac{1}{x_n^2}}}$.

  Ausgehend von dieser Iterationsvorschrift setzt du jetzt verschiedene Startwerte $x_0$ ein, um zu überprüfen, ob das Newton-Verfahren divergiert oder konvergiert und dir eine Nullstelle liefert. Die Bereiche der x-Achse sind so gewählt, dass für alle Werte innerhalb eines Bereichs das gleiche Verhalten auftritt. Entweder divergiert das Newton-Verfahren für alle Werte in einem Bereich oder es konvergiert für alle Werte. Es reicht also, einen Wert aus jedem Bereich zu überprüfen.

  Erster Fall Setzt du $x_0=1$ in die Iterationsvorschrift, erhältst du $\large{x_1=1- \frac{2}{-1}=3}$. Setzt du diesen Wert erneut ein, erhältst du $x_2=15$, $x_3=255$ und weiter $x_4=65535$. Die Werte steigen immer weiter. Das Newton-Verfahren divergiert also.

  Zweiter Fall Setzt du $x_0=0$ als Startwert ein, erhältst du $x_1 = 0 - \large{\frac{\frac{1}{0} + 1}{-\frac{1}{0}}}$. Da die Division mit Null nicht definiert ist, divergiert das Newton-Verfahren auch hier.

  Dritter Fall Der Startwert $x_0=-0,5$ bringt dich zu $x_1=-0,75$, $x_2=-0,9375$, $x_3 \approx -0,9961$ und $x_4 \approx -1$. Das Newton-Verfahren konvergiert gegen $x \approx -1$. Hier liegt also eine Nullstelle.

  Vierter Fall Setzt du also Startwert $x_0=-1$ in die Iterationsvorschrift ein, erhältst du $x_1 = -1 - \frac{2}{-1} = -1$. Dies ist derselbe Wert wie von $x_0$. Das Newton-Verfahren konvergiert also und die Nullstelle liegt bei $x=1$.

  Fünfter Fall Der Startwert $x_0=-1,5$ liefert dir $x_1=-0,75$, wie im dritten Fall. Die folgenden Werte sind also mit denen aus dem dritten Fall identisch und das Newton-Verfahren konvergiert.

  Sechster Fall Setzt du in die Iterationsvorschrift den Startwert $x_0=-2$ ein, erhältst du $x_1=-2 - \frac{0,5}{-0,25} = -2 - (-2)=0$. Von hier an verhält es sich genauso wie im zweiten Fall. Das Newton-Verfahren divergiert also.

  Siebter Fall Mit dem Startwert $x_0=-5$ gelangst du zu $x_1=15$, wie im ersten Fall. Die folgenden Werte sind also mit denen aus dem ersten Fall identisch und das Newton-Verfahren divergiert.