Mittlere Änderungsrate im Sachkontext

Mittlere Änderungsrate im Sachkontext Übung

• Gib die mittlere Änderungsrate in den einzelnen Intervallen an.

  Tipps

  An der mittleren Änderungsrate erkennen wir, wie schnell sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern.

  Je steiler der Graph, umso größer ist die mittlere Änderungsrate.

  Lösung

  Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Dieser entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient somit der Steigung der Sekanten $s$, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

  Allgemein lautet die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$:

  $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  Dabei gilt:

  • Je steiler der Graph, umso größer ist die mittlere Änderungsrate.
  • Je flacher der Graph, umso kleiner ist die mittlere Änderungsrate.

  Wir können nun in jedem Fall die Werte an den Intervallgrenzen ungefähr im Diagramm ablesen und so die mittlere Änderungsrate bestimmen. Alternativ können wir die mittleren Änderungsraten über die Steigung in den einzelnen Abschnitten zuordnen:

  Intervall 1:
  $\frac{211-205,2}{2013-2011} = 3,4$
  Der Graph ist hier am zweit-steilsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den zweitgrößten Wert aus.

  Intervall 2:
  $\frac{219-212}{2014-2013} = 7$
  Der Graph ist hier am steilsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den größten Wert aus.

  Intervall 3:
  $\frac{226,5-219}{2017-2014} = 2,5$
  Der Graph ist hier am zweit-flachsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den zweitkleinsten Wert aus.

  Intervall 4:
  $\frac{227,5-226,5}{2018-2017} = 1$
  Der Graph ist hier am flachsten, daher wählen wir von den Änderungsraten den kleinsten Wert aus.

  Anmerkung: Ist die mittlere Änderungsrate negativ, so ist der Graph in diesem Bereich fallend. Dieser Fall tritt hier nicht auf.

• Beschreibe die Bedeutung des Differenzenquotienten.

  Tipps

  Der Differenzenquotient lautet:

  $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  Lösung

  Um das Verhalten von Funktionen zu beschreiben, betrachten wir meist ein Intervall, also den Zwischenraum zwischen zwei Werten. Wie stark sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern, erkennen wir daran, wie groß die Differenz zwischen den Funktionswerten ist. Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir hingegen an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt.

  $\mapsto$ Der Differenzenquotient ist das gleiche wie die mittleren Änderungsrate. richtig

  $\mapsto$ Der Differenzenquotient ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Funktionswerte im betrachteten Intervall ändern. richtig

  Allgemein lautet der Differenzenquotient einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
  Wir können auch schreiben: $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$, und erhalten das gleiche Ergebnis. Wichtig ist nur, dass wir die Werte im Zähler und im Nenner vertauschen.

  $\mapsto$ Durch das Vertauschen der Punkte im Zähler und Nenner des Differenzenquotienten, ändert sich sein Vorzeichen. falsch

  Der Differenzenquotient entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mithilfe des Steigungsdreiecks. Dies kennen wir bereits von linearen Funktionen, bei denen die Steigung überall gleich ist: $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

  $\mapsto$ Den Differenzenquotienten können wir mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. richtig

  Wir können den Differenzenquotienten also auch veranschaulichen:

  $\mapsto$ Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekanten $s$, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet. richtig

  Wenn wir die Punkte an den Intervallgrenzen dichter legen, so nähert sich der Differenzenquotient, also der durchschnittliche Anstieg, immer mehr der eigentlichen Steigung der Funktion an.

  $\mapsto$ Je dichter die beiden Punkte an den Intervallgrenzen aneinander liegen, umso kleiner ist der Differenzenquotient. falsch

• Berechne die mittlere Änderungsrate in den gegebenen Intervallen.

  Tipps

  Bei einem Punkt im Koordinatensystem nennen wir immer zuerst die $x$-Koordinate und dann die $y$-Koordinate: $S(x|y)$

  In unserem Fall kannst du die Koordinaten der Punkte direkt im Graphen ablesen.

  $\Delta x= x_2-x_1$

  $\Delta y= y_2-y_1$

  Lösung

  Die mittlere Änderungsrate können wir durch den Differenzenquotienten ermitteln. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Dies entspricht der Bestimmung der Steigung einer Funktion mithilfe des Steigungsdreiecks. Geometrisch ausgedrückt entspricht der Differenzenquotient deshalb der Steigung der Sekanten, die die beiden Punkte an den Intervallgrenzen miteinander verbindet.

  Unser erstes Intervall lautet $\lbrack 2; 3 \rbrack$. Wir lesen zuerst die $y$-Koordinaten der beiden Punkte an den Intervallgrenzen am Graphen ab:

  • $P(2|2)$
  • $Q(3|5)$

  Wir können nun die Änderung der $x$-Werte bestimmen:
  $\Delta x=3-2=1$

  Wir bestimmen außerdem die Änderung der Funktionswerte:
  $\Delta y=5-2=3$

  Wir setzen dies in die Formel für die mittlere Änderungsrate $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ein und erhalten:
  $\dfrac{3}{1} = 3$

  $\,$

  Unser zweites Intervall lautet $\lbrack 0; 2 \rbrack$. Wir lesen zuerst die $y$-Koordinaten der beiden Punkte an den Intervallgrenzen am Graphen ab:

  • $R(0|2)$
  • $P(2|2)$

  Wir können nun die Änderung der $x$-Werte bestimmen:
  $\Delta x=2-0=2$

  Wir bestimmen außerdem die Änderung der Funktionswerte:
  $\Delta y=2-2=0$

  Wir setzen dies in die Formel für die mittlere Änderungsrate $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ein und erhalten:
  $\dfrac{0}{2} = 0$

• Untersuche die Entwicklung von Ritas Plastikmüll.

  Tipps

  mittlere Änderungsrate: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  Willst du die Änderungsrate zwischen dem 3. und dem 5. Monat bestimmen, so schreibst du in den Nenner eine $2$, für die zwei verstrichenen Monate, und in den Zähler die Differenz der Müllmenge vom 5. und 3. Monat.

  Lösung

  Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte in einem Intervall ändern. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Allgemein lautet die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$:

  $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  In unserem Fall steht im Zähler die Differenz der Müllmenge, und in dem Nenner die Zahl der verstrichenen Monate:

  mittlere Änderungsrate im gesamten Zeitraum:
  $\frac{1,7-3,1}{8-1} =-0,2 \quad \Rightarrow \quad -0,2~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

  Änderungsrate zwischen dem 1. und dem 3. Monat:
  $\frac{2,8 - 3,1}{3 -1} =-0,15 \quad \Rightarrow \quad -0,15 ~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

  maximaler Betrag der Änderungsrate:
  Wir wählen die Änderungsrate zwischen dem $3$. und $4$. Monat, da sich hier die Werte am stärksten ändern:
  $\frac{2,1-2,8}{4-3} =-0,7 \quad \Rightarrow \quad -0,7~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$
  Für den Betrag lassen wir das negative Vorzeichen weg und erhalten $0,7~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$.

  mittlere Änderungsrate in der ersten Zeithälfte:
  $\frac{2,1-3,1}{4-1} \approx -0,33 \quad \Rightarrow \quad -0,33~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

  mittlere Änderungsrate in der zweiten Zeithälfte:
  $\frac{1,7-2,4}{8-5} \approx -0,23 \quad \Rightarrow \quad -0,23~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

  Änderungsrate zwischen dem 4. und dem 5. Monat:
  $\frac{2,4-2,1}{5-4} =0,3 \quad \Rightarrow \quad 0,3~\frac{\text{kg}}{\text{Monat}}$

• Bestimme die Steigung $m$ der linearen Funktion mithilfe des Steigungsdreiecks.

  Tipps

  Für die Steigung $m$ gilt:

  $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

  Diese Funktion hat die Steigung $m = \frac{2}{1} = 2$

  Lösung

  Das Steigungsdreieck ist ein wichtiges Mittel, um das Änderungsverhalten von Funktionen zu untersuchen. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte $\Delta y$ durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte $\Delta x$. Da bei linearen Funktionen die Steigung überall gleich ist, können wir diese mit einem beliebigen Steigungsdreieck an den Funktionsgraphen bestimmen.

  Wir bestimmen die Steigung $m$ mit der Formel:

  $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

  Dabei ist die Steigung positiv, wenn der Graph steigt und negativ, wenn der Graph fällt. Wir zählen am jeweiligen Steigungsdreieck die Kästchen in $y$-Richtung und die Kästchen in $x$-Richtung und setzen ein. Wenn möglich kürzen wir noch:

  • Funktion 1: $m = \frac{3}{3} = 1$
  • Funktion 2: $m = \frac{1}{2}$
  • Funktion 3: $m = -\frac{3}{2}$
  • Funktion 4: $m = \frac{6}{2} = 3$

• Formuliere Aussagen über die Änderungsrate.

  Tipps

  Du kannst die Funktionswerte an den Intervallgrenzen durch Einsetzen der $x$-Werte in die Funktionsgleichung bestimmen.

  Beispiel:

  $f(4)= 2\,300+0,3 \cdot 4^2$

  Um die zweite Intervallgrenze zu ermitteln, setze die gegebenen Werte in den Differenzenquotienten ein. Setze diesen Bruch gleich dem gegebenen Differenzenquotienten ($6,9$) und vereinfache die Gleichung.

  Du kannst die Intervallgrenzen zu einem gegebenen Differenzenquotienten auch durch Probieren ermitteln.

  Lösung

  Wie schnell sich die Funktionswerte in dem Intervall ändern, erkennen wir an der mittleren Änderungsrate. Dabei dividieren wir die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte. Deshalb wird dieser Term im Allgemeinen auch Differenzenquotient genannt. Der Differenzenquotient einer Funktion im Intervall $\lbrack a; b \rbrack$ lautet:

  $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

  Wir untersuchen die Funktion $f(t)=2\,300 + 0,3 \cdot t^2$ im Intervall $\lbrack 1; 12 \rbrack$:

  Wir bestimmen zunächst die beiden Funktionswerte:

  • $f(1)= 2\,300 + 0,3 \cdot 1^2 = 2\,300,3$
  • $f(12)= 2\,300 + 0,3 \cdot 12^2 = 2\,343,2$

  Wir setzen nun in die Formel für den Differenzenquotienten ein und berechnen:

  $\frac{2\,343,2-2\,300,3}{12-1} = 3,9$

  Wir suchen nun die zweite Intervallgrenze. Dafür setzen wir die Werte $x=12$ und $f(12)= 2\,343,2$ in den Differenzenquotienten ein:

  $\frac{2\,343,2-f(a)}{12-a} = \frac{2\,343,2-(2\,300 + 0,3 \cdot a^2)}{12-a} = \frac{2\,343,2-2\,300 - 0,3 \cdot a^2}{12-a} = \frac{43,2 - 0,3 \cdot a^2}{12-a}$

  Wir setzen diesen Bruch gleich dem gegebenen Differenzenquotienten und vereinfachen die Gleichung:

  $\frac{43,2 - 0,3 \cdot a^2}{12-a} = 6,9 \quad |\cdot (12-a)$

  $43,2-0,3a^2 = 82,8-6,9a \quad |-43,2$

  $-0,3a^2=39,6-6,9a \quad |:(-0,3)$

  $a^2=-132+23a \quad |-23a$

  $a^2-23a = - 132$

  $a \cdot (a-23) = -132$

  Wir können die Zahl $132$ als Produkt zweier Zahlen zwischen $1$ und $12$ schreiben:

  $132 = 11 \cdot 12$

  Die gesuchte Zahl ist also $a=11$:

  $11 \cdot (11-23) = 11 \cdot (-12) = -132$

  $\Rightarrow$ Zwischen dem $11$. und dem $12$. Monat betrug die Änderungsrate $6,9$ Containerladungen pro Monat.

  Wir können dieses Ergebnis auch durch Ausprobieren erhalten.