Mit Matrizen lineare Gleichungssysteme lösen – Beispiel

Mit Matrizen lineare Gleichungssysteme lösen – Beispiel Übung

• Gib die erweiterte Koeffizientenmatrix und die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems an.

  Tipps

  In der erweiterten Koeffizientenmatrix stehen die Koeffizienten der Variablen sowie die rechte Seite des Gleichungssystems.

  Achte dabei auch auf die Vorzeichen.

  Ziel ist es, die erweiterte Koeffizientenmatrix auf eine obere Dreiecksgestalt zu bringen:

  $\left(\begin{array}{cc|c} 1& * & * \\ 0&?&d \end{array}\right)$.

  Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt von der letzten Zeile der Matrix in oberer Dreiecksgestalt ab.

  Steht an der Stelle des Fragezeichens eine Zahl ungleich $0$, dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

  Ansonsten

  • ist $d=0$, dann besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, oder
  • ist $d\neq 0$, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

  Lösung

  Es soll das lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen

  $\begin{array}{rcrcc} 2x&+&y&=&7\\ -4x&-&2y&=&-10 \end{array}$

  gelöst werden. Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt. Diese hat zwei Zeilen und drei Spalten. Die ersten beiden Spalten beinhalten die Koeffizienten der Variablen eingeschlossen des Vorzeichens. In der dritten Spalte steht die rechte Seite des Gleichungssystems:

  $\left(\begin{array}{cc|c} 2&1&7 \\ -4&-2&-10 \end{array}\right)$.

  Diese Matrix wird auf obere Dreiecksgestalt gebracht. Das bedeutet, dass das erste Element in der zweiten Zeile $0$ werden soll. Hierfür wird das Doppelte der ersten Zeile zu der zweiten Zeile addiert:

  $\left(\begin{array}{cc|c} 2&1&7 \\ 0&0&4 \end{array}\right)$.

  Nun kann man die zweite Zeile wieder als Gleichung schreiben: $0=4$. Dies ist sicher nie erfüllt. Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

  Ganz allgemein kann man feststellen: Wenn die letzte Zeile der Matrix nach dem Umformen zu einer oberen Dreiecksform mit $?=0$ und $d\neq 0$ lautet:

  $\left(\begin{array}{cc|c} 1& * & * \\ 0&?&d \end{array}\right)$,

  dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

• Bestimme die Lösungen des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Achte bei der erweiterten Koeffizientenmatrix auf die Vorzeichen.

  Durch elementare Zeilenumformungen soll die erweiterte Koeffizientenmatrix auf die Gestalt

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& * & * & *\\ 0&1& * & *\\ 0&0&?& d \end{array}\right)$

  gebracht werden.

  Die Lösungen erhältst du durch Rückwärtseinsetzen:

  1. Schaue dir zunächst die dritte letzte Zeile an. Diese liefert das Ergebnis für $z$.
  2. Dann kommt die zweite Zeile und
  3. zuletzt die erste Zeile.

  Die bereits berechneten Werte kannst du jeweils einsetzen.

  Die Lösung muss natürlich auch in jedem Zwischenschritt gültig sein.

  Lösung

  Zur Lösung des linearen Gleichungssystems

  $\begin{array}{rcrcrcc} 3x&-&y&+&3z&=&16\\ x&+&2y&+&z&=&3\\ 4x&-&4y&+&2z&=&18 \end{array}$

  stellt man zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix, mit den Koeffizienten sowie der rechten Seite des Gleichungssystems, auf:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 3& -1 & 3 & 16\\ 1&2& 1 & 3\\ 4&-4&2& 18 \end{array}\right)$.

  Diese wird mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen in obere Dreiecksgestalt gebracht. Das bedeutet, dass sich unterhalb der Diagonalen nur noch Nullen befinden:

  Zuerst addiert man das $-3$-fache der zweiten Zeile zu der ersten sowie das $-4$-fache der ersten Zeile zu dem $3$-fachen der dritten. Die erste Zeile wird abgeschrieben:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 3& -1 & 3 & 16\\ 0&-7& 0 & 7\\ 0&-8&-6& -10 \end{array}\right)$.

  Um auch noch das zweite Element in der dritten Zeile zu $0$ zu machen, addiert man das $8$-fache der zweiten Zeile zu dem $-7$-fachen der dritten:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 3& -1 & 3 & 16\\ 0&-7& 0 & 7\\ 0&0&42& 126 \end{array}\right)$.

  Die letzte Zeile kann wieder als Gleichung geschrieben werden:

  $42z=126$.

  Division durch $42$ führt zu $z=3$.

  Die zweite Zeile lautet: $-7y=7$, also mittels Division durch $-7$ ist $y=-1$.

  Einsetzen von $z=3$ sowie $y=-1$ in der ersten Zeile führt zu der Gleichung

  $3x+1+9=16$.

  Subtraktion von $10$ und anschließende Division durch $3$ liefert $x=2$.

• Bestimme die erweiterte Koeffizientenmatrix für das lineare Gleichungssystem.

  Tipps

  Achte auch auf die Vorzeichen.

  Steht vor der Variablen kein Faktor, dann gehört an die entsprechende Stelle in der Koeffizientenmatrix eine $1$.

  In der vierten Spalte der Koeffizientenmatrix befindet sich die rechte Seite des Gleichungssystems.

  Lösung

  Es soll das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array}{rcrcrcc} x&-&2y&+&3z&=&4\\ 3x&+&y&-&5z&=&5\\ 2x&-&3y&+&4z&=&7 \end{array}$

  gelöst werden. Hierfür stellt man zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix auf. Diese hat drei Zeilen (zu jeder Gleichung) und vier Spalten, die ersten drei beinhalten die Koeffizienten der Variablen und die vierte die rechte Seite der Gleichung:

  $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&3&4 \\ 3&1&-5&5 \\ 2&-3&4&7 \end{array}\right)$.

• Überprüfe das lineare Gleichungssystem auf Lösbarkeit.

  Tipps

  Führe die folgenden elementaren Zeilenumformungen durch:

  • Das Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich $0$ sowie
  • das Addieren zweier Zeilen.

  Welche Zeile multipliziert wird, erkennst du, zum Beispiel, an dem $\cdot (-2)$ rechts von der Zeile.

  Welche Zeilen addiert werden, erkennst du an dem Pfeil.

  Ein lineares Gleichungssystem besitzt entweder

  • eine oder
  • keine oder
  • unendlich viele Lösungen.

  Die Lösbarkeit erkennst du an der letzten Zeilen der zur Dreiecksgestalt umgeformten erweiterten Koeffizientenmatrix.

  Übersetze diese wieder in eine Gleichung.

  Lösung

  Mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen kann die erweiterte Koeffizientenmatrix

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -2 & 3 & 4\\ 3&1& -5 & 5\\ 2&-3&4& 7 \end{array}\right)$

  in obere Dreiecksgestalt gebracht werden:

  Addition des $-3$-fachen der ersten mit der zweiten Zeile führt zu:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -2 & 3 & 4\\ 0&7& -14 & -7\\ 2&-3&4& 7 \end{array}\right)$.

  Nun wird das $-2$-fache der ersten Zeile zu der dritten addiert:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -2 & 3 & 4\\ 0&7& -14 & -7\\ 0&1&-2& -1 \end{array}\right)$.

  Zu der zweiten Zeile wird das $-7$-fache der dritten addiert und man erhält:

  $\left( \begin{array}{ccc|c} 1& -2 & 3 & 4\\ 0&7& -14 & -7\\ 0&0&0& 0 \end{array}\right)$.

  Wenn man die letzte Zeile wieder als Gleichung schreibt, erhält man $0=0$. Dies ist sicher immer erfüllt und somit besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  Diese lauten übrigens:

  • $x=2+k$,
  • $y=-1+2k$ sowie
  • $z=k$,

  wobei $k\in \mathbb{R}$ beliebig ist. Diese erhält man, indem man eine Variable, hier $z=k$, frei wählt und dann rückwärts löst.

• Gib an, welche verschiedenen Lösbarkeiten bei linearen Gleichungssystem vorliegen können.

  Tipps

  Mache dir die Aussagen an einem Gleichungssystem mit einer Gleichung und einer Unbekannten klar.

  Überlege dir jeweils die Gültigkeit der Aussagen:

  • $3x=6$ oder
  • $0=4$ oder
  • $0=0$.

  Zu einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten gehört als geometrisches Gebilde eine Gerade. Wenn du also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst, entspricht dies dem Prüfen der beiden zugehörigen Geraden auf gemeinsame Punkte.

  Überlege dir an diesem Beispiel, welche Fälle auftreten können.

  Lösung

  Um ein lineares Gleichungssystem mit Matrizen zu lösen, verfährt man wie folgt:

  • Man erstellt zu dem linearen Gleichungssystem die erweiterte Koeffizientenmatrix.
  • Mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen bringt man diese in obere Dreiecksgestalt.
  • Mit dieser oberen Dreiecksgestalt kann man durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen, sofern diese vorhanden ist.

  Die obere Dreiecksgestalt sieht wie folgt aus:

  $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & ? & d \end{array}\right)$.

  Auf der Diagonalen stehen Elemente, welche ungleich $0$ sind. Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt von der letzten Zeile ab. Dies führt zu der Unterscheidung:

  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, ebenfalls ein Element $c\neq 0$, dann existiert genau eine eindeutige Lösung.
  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, eine $0$ und ist $d\neq 0$, dann lautet die letzte Zeile $0=d$. Dies gilt nie wegen $d\neq 0$. Das bedeutet, dass keine Lösung existiert.
  • Steht an der Stelle, an welcher sich das Fragezeichen befindet, eine $0$ und ist $d=0$, dann lautet die letzte Zeile $0=0$. Dies gilt immer. Das bedeutet, dass unendlich viele Lösungen existieren.

• Ermittle die Lösungen des Gleichungssystems.

  Tipps

  Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

  Alle Werte sind ganze Zahlen.

  Die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht nach dem ersten Schritt (Subtraktion der ersten Zeile von den jeweiligen übrigen) wie folgt aus:

  $\left( \begin{array}{cccc|c} 1& -1 & 1 & 1&140\\ 0&1& -2 & 0&140\\ 0&3&-2& 2&470\\ 0&4&2&0&680 \end{array}\right)$.

  Falls sich in einem Schritt in den ersten vier Spalten einer Zeile nur noch ein Element befindet, welches ungleich $0$ ist, kannst du bereits nach der entsprechenden Unbekannten umformen.

  Du musst nicht unbedingt eine obere Dreieckgestalt erreichen. Es genügt, dass in einer Zeile nur noch ein Element der ersten vier Spalten ungleich $0$ ist, in einer weiteren zwei, dann drei, dann vier.

  Gegebenenfalls könnte auch in mehreren Zeilen nur noch ein Element ungleich $0$ stehen.

  Lösung

  Es soll dass hier zu sehende lineare Gleichungssystem gelöst werden.

  Die zugehörige Koeffizientenmatrix lautet:

  $\left( \begin{array}{cccc|c} 1& -1 & 1 & 1&140\\ 1& 0 & -1 & 1&280\\ 1&2&-1& 3&610\\ 1&3&3&1&820 \end{array}\right)$.

  Auch hier wird eine obere Dreiecksgestalt erzeugt.

  Zunächst wird sowohl von der zweiten, der dritten als auch der vierten Zeile die erste Zeile subtrahiert:

  $\left( \begin{array}{cccc|c} 1& -1 & 1 & 1&140\\ 0&1& -2 & 0&140\\ 0&3&-2& 2&470\\ 0&4&2&0&680 \end{array}\right)$.

  Nun kann man von der dritten Zeile das Dreifache der zweiten und von der vierten das Vierfache der zweiten subtrahieren:

  $\left( \begin{array}{cccc|c} 1& -1 & 1 & 1&140\\ 0&1& -2 & 0&140\\ 0&0&4& 2&50\\ 0&0&10&0&120 \end{array}\right)$.

  An dieser Stelle kann man bereits mit dem Lösen beginnen, da die letzte Zeile übersetzt bedeutet:

  $10c=120$. Division durch $10$ liefert $c=12$.

  Nun kann $c=12$ in der dritten Zeile eingesetzt werden:

  $4\cdot 12+2d=50$.

  Durch Subtraktion von $48$ und Division durch $2$ erhält man $d=1$.

  $c=12$ in der zweite Zeile eingesetzt liefert:

  $b-2\cdot 12=140$.

  Durch Addition von $24$ erhält man $b=164$.

  Zuletzt werden $b=164$, $c=12$ und $d=1$ in die erste Zeile eingesetzt:

  $a-164+12+1=140$.

  Addition von $151$ führt zu $a=291$.