Maßstab – Vergrößerungen

Maßstab – Vergrößerungen Übung

• Beschreibe, wie man den Maßstab verwendet.

  Tipps

  Ein Verhältnis von Zahlen schreibst du mit einem Doppelpunkt. Diesen sprichst du als „zu“ aus.

  Bei dem Maßstab $1:2$ ist das Bild halb so groß wie das Original.

  Bei dem Maßstab $1:4$ entspricht der Länge $2,5~\text{cm}$ im Original die Länge $4 \cdot 2,5~\text{cm} = 10~\text{cm}$ im Bild.

  Lösung

  Bei einer maßstäblichen Abbildung werden die Längen in einem Original alle mit dem gleichen Faktor verändert. An der Angabe zum Maßstab kannst du ablesen, ob das Bild größer oder kleiner als das Original ist. Der Maßstab ist dann das Verhältnis zweier einander entsprechenden Längen in Bild und Original. Er wird mit dem Zeichen $:$ zwischen den beiden Zahlen notiert. Du schreibst zum Beispiel $2:1$ und sprichst es dann $2 \text{ zu } 1$. Die Zahl links entspricht den Längen im Bild, die rechts den Längen im Original. Ist die linke Zahl kleiner als die rechte, so ist das Bild kleiner als das Original; ist umgekehrt die rechte Zahl kleiner als die linke Zahl, so ist das Bild größer als das Original.

  Der Maßstab legt genau fest, um wie viel das Bild kleiner oder größer ist als das Original: Bei dem Maßstab $2:1$ ist jede Länge im Bild doppelt so groß wie die zugehörige Länge im Original. Der Länge $16~\text{cm}$ im Bild entspricht also die Länge $8~\text{cm}$ im Original.

  Ein Bild, das doppelt so groß ist wie das Original, hat also den Maßstab $2:1$. Ist das Bild viermal so groß wie das Original, so ist der Maßstab $4:1$. Die Vergrößerung bezieht sich immer auf die Längen im Original und im Bild, nicht etwa auf die Flächen oder Winkel. Die maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung gilt immer für alle Längen im Bild und im Original. Bei dem Maßstab $3:1$ sind alle Längen im Bild dreimal so groß wie die zugehörigen Längen im Original. Der Länge $6~\text{cm}$ im Original entspricht dann die Länge $3\cdot 6~\text{cm}= 18~\text{cm}$ im Bild.

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Die linke Zahl in einem Maßstab entspricht dem Bild, die rechte dem Original.

  Bei dem Maßstab $5:1$ ist der Fühler eines Schmetterlings im Bild fünfmal so lang wie bei dem lebendigen Schmetterling.

  Um einen Elefanten im Maßstab $1:1$ zu malen, brauchst du ein Papier, das genauso groß ist, wie der Elefant.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Ist der Maßstab $1:1$, so hat das Bild dieselbe Größe wie das Original.“

  Das gilt, da die Zahlen links und rechts des Doppelpunktes gleich groß sind.

  • „Ist die linke Zahl in im Maßstab kleiner als die rechte Zahl, so ist das Bild kleiner als das Original.“

  Die Zahl links des Doppelpunktes gehört zu dem Bild, die Zahl rechts zum Original. Ist die Zahl rechts größer als die Zahl links, so ist demnach das Original größer als das Bild.

  • „Ist eine Länge im Bild doppelt so groß wie die zugehörige Länge im Original, so ist der zugehörige Maßstab $2:1$.“

  Das Verhältnis $2:1$ gibt die Vergrößerung an: Weil $2$ doppelt so groß ist wie $1$, sind die Längen im Bild doppelt so groß wie die entsprechenden Längen im Original.

  • „Ist der Maßstab $3:1$, so ist jede Länge im Bild dreimal so lang wie die zugehörige Länge im Original.“

  An den Längenverhältnissen von Bild und Original kannst du den Maßstab ablesen: Ist eine Länge im Bild dreimal so groß wie die entsprechende Länge im Original, so ist der Maßstab $3:1$, denn $3$ ist dreimal so groß wie $1$.

  • „Ist das Bild viermal so groß wie das Original, so ist der Maßstab $4:1$.“

  Die Angabe der Vergrößerung bezieht sich wieder auf die Längen. Sind z. B. die äußeren Abmessungen des Bildes (Höhe und Breite) viermal so groß wie die des Originals, so ist der Maßstab $4:1$.

• Erschließe den Maßstab.

  Tipps

  Bei dem Maßstab $2:1$ ist das Bild doppelt so groß wie das Original.

  Ist im Maßstab die Zahl links kleiner als die Zahl rechts, so ist das Bild kleiner als das Original.

  Hier ist der Maßstab $1:3$, denn das Original ist dreimal so groß wie das Bild.

  Lösung

  Der Maßstab einer Abbildung gibt an, wie sich die Maße in einem Bild zu den Maßen im Original verhalten. Mit Maßen sind hierbei immer die Längen im Bild und im Original gemeint.

  Du kannst den Maßstab erschließen, indem du die Größen der Bilder vergleichst. Ist das Bild kleiner als das Original, so muss die Zahl links im Maßstab kleiner sein als die Zahl rechts. Ist das Bild größer als das Original, so ist die Zahl links im Maßstab größer als die Zahl rechts. Je größer das Bild im Vergleich zum Original ist, desto größer ist die erste Zahl in der Notation des Maßstabes.

  Im Bild hier siehst du die Maßstäbe $2:1$ und $1:2$ jeweils mit einem passenden Paar von Original und Bild. Bei dem Maßstab $2:1$ ist das Bild doppelt so groß wie das Original, bei dem Maßstab $1:2$ ist es umgekehrt.

  In der Aufgabe kommen außerdem die Maßstäbe $4:1$ und $1:1$ vor. Bei dem Maßstab $4:1$ ist das Bild viermal so groß wie das Original, also viel größer. Bei dem Maßstab $1:1$ sind Original und Bild genau gleich groß.

• Bestimme den Maßstab.

  Tipps

  Ist in dem Maßstab die Zahl links kleiner als die Zahl rechts, so ist das Bild kleiner als das Original.

  Der Maßstab ist das Verhältnis einander entsprechender Längen im Bild und im Original. Wir versuchen dabei immer die kleinstmöglichen Zahlen anzugeben. Kannst du also beide Zahlen durch die gleiche Zahl teilen, solltest du das machen. Das ändert nichts am Verhältnis, anstatt $2:4$, schreibst du dann also $1:2$.

  Hier ist der Maßstab $2:3$, denn der Länge $2~\text{cm}$ im Bild entspricht die Länge $3~\text{cm}$ im Original.

  Lösung

  Der Maßstab gibt an, ob ein Bild gegenüber dem Original vergrößert oder verkleinert ist oder dieselbe Größe wie das Original hat. Den Maßstab notiert man als Verhältnis zweier Zahlen. Diese Zahlen entsprechen einander zugehörigen Längen im Bild und im Original. Die Zahl links steht für das Bild, die Zahl rechts für das Original. Bei dem Maßstab $2:1$ ist das Bild doppelt so groß wie das Original, denn $2$ ist doppelt so groß wie $1$. Bei dem Maßstab $1:2$ ist es genau umgekehrt: Jeder Länge im Bild – z. B. der Länge $1~\text{cm}$ – entspricht die doppelte Länge im Original, also $2~\text{cm}$.

  Du kannst den jeweiligen Maßstab erschließen, indem du die Maße im Bild und im Original vergleichst:

  • Entspricht der Länge $14~\text{cm}$ im Bild die Länge $7~\text{cm}$ im Original, so ist der Maßstab $2:1$, denn $14:7=2$ somit wird die Größe verdoppelt und es gilt: $14:7 = 2:1$.

  • Ist der Schmetterling im Bild fünfmal so groß wie im Original, so ist der Maßstab $5:1$. Du erkennst das an den Maßen $5~\text{cm}$ im Bild und $1~\text{cm}$ im Original.

  • Bei einem Schmetterling mit Spannweite $16~\text{cm}$ im Original und $8~\text{cm}$ im Bild ist der Maßstab $1:2$, denn die Länge im Bild ist halb so groß wie die Länge im Original.

  • Entspricht der Länge $5~\text{cm}$ im Bild die Länge $2~\text{cm}$ im Original, so ist der Maßstab $5:2$. Das Bild ist nicht fünfmal so groß wie das Original, sondern nur $2,5$-mal so groß. Denn $5:2=2,5$.

  • Zu den einander entsprechenden Längen $3~\text{cm}$ im Bild und $2~\text{cm}$ im Original gehört der Maßstab $3:2$. Hier ist das Bild anderthalb mal so groß wie das Original, denn $3:2 = 1,5$.

• Bestimme den Maßstab und die Länge.

  Tipps

  Bei dem Maßstab $3:1$ werden alle Längen des Originals im Bild verdreifacht.

  Bei dem Maßstab $3:1$ steht die Zahl links für das Bild, die Zahl rechts für das Original.

  Hat ein Fühler des Schmetterlings in dem Bild oben die Länge $3~\text{cm}$, so hat der originale Schmetterling Fühler der Länge:

  $3~\text{cm} : 2 = 1,5~\text{cm}$

  Lösung

  Der Maßstab gibt an, um wie viel ein Bild gegenüber einem Original vergrößert oder verkleinert wurde. Ist das Bild doppelt so groß wie das Original, so ist der Maßstab $2:1$. Denn die linke Zahl steht für das Bild, die rechte Zahl für das Original. Der Maßstab $2:1$ bedeutet: Jedem $\text{cm}$ im Original entsprechen $2~\text{cm}$ im Bild.

  Die Flügelspannweite des Schmetterlings beträgt im Bild $16~\text{cm}$. Dieser Wert ist bei dem Maßstab $2:1$ das Doppelte der Flügelspannweite des originalen Schmetterlings. Diese Flügelspannweite im Original erhältst du also durch Division durch $2$:

  $16~\text{cm} :2 = 8~\text{cm}$

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Ist das Bild doppelt so groß wie das Original, so passen vier Kopien des Originals in das Bild.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Vergrößerst du ein Bild im Maßstab $3:2$ und verkleinerst es danach im Maßstab $2:3$, so erhältst du wieder ein Bild der ursprünglichen Größe.“ Die Vergrößerung im Verhältnis $3:2$ vergrößert das Bild auf die anderthalbfache Größe, denn $3:2=1,5$. Die anschließende Verkleinerung im Verhältnis $2:3$ macht die vorherige Vergrößerung wieder rückgängig, denn $2:3 = 0,\overline{6}$ ist der Kehrwert von $1,5 = 3:2$.

  • „Verkleinerst du ein Blatt Papier im Maßstab $1:2$, so überdecken genau $4$ der verkleinerten Blätter das große Blatt.“ Bei der Verkleinerung wird jede Seite des Blattes halbiert. Dadurch passen dann $4$ kleine Blätter auf das ursprüngliche große Blatt.

  • „Verkleinerst du ein Original zweimal hintereinander im Maßstab $1:10$, so erhältst du eine maßstäbliche Verkleinerung im Maßstab $1:100$.“ Jede Verkleinerung im Maßstab $1:10$ dividiert die Längen im Original durch $10$. Machst du eine solche Verkleinerung noch einmal, so sind die Längen im Bild gegenüber dem Original um den Faktor $10 \cdot 10 = 100$ kleiner. Der Maßstab zwischen der doppelten Verkleinerung und dem ersten Original ist also $1:100$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Faltest du ein Blatt Papier in der Mitte, so hat das ganze Papier zu einer Hälfte das Verhältnis $2:1$.“ Das Falten eines Blattes in der Mitte ist in den meisten Fällen keine maßstäbliche Verkleinerung. Ist ein Blatt z. B. quadratisch, so ist die Hälfte nicht quadratisch. Bei Blättern des Formats DIN A ist die Hälfte eine maßstäbliche Verkleinerung, aber nicht im Verhältnis $1:2$. Denn beim Falten in der Mitte (könnte längs oder quer sein) werden nicht beide Seiten halbiert.

  • „Der Maßstab $3:2$ bedeutet, dass du zweimal im Maßstab $3:1$ vergrößerst.“ Bei einem Maßstab steht die linke Zahl für das Bild, die rechte Zahl für das Original. Bei dem Maßstab $3:2$ entspricht der Länge $3$ im Bild die Länge $2$ im Original. Die Vergrößerung ist daher um den Faktor $3:2=1,5$. Vergrößerst du zweimal im Verhältnis $3:1$, so werden alle Längen zweimal hintereinander verdreifacht. Das entspricht dem Maßstab $9:1$, denn $3 \cdot 3 =9$.