Logarithmusgleichungen – Beispiele

Logarithmusgleichungen – Beispiele Übung

• Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Wassermelone dreimal so schwer ist wie am Anfang.

  Tipps

  Wenn du eine Gleichung zu lösen hast, in welcher die Unbekannte im Exponenten steht, isolierst du zunächst den Term mit der Unbekannten im Exponenten.

  Schaue dir das Beispiel $2^x=32$ genau an.

  Du kannst die Probe machen: $2^5=32$. Das ist korrekt.

  Lösung

  Es ist bekannt, dass die Wachstumsfunktion $f(t)=a\cdot 1,12^t$ lautet. Das Dreifache des Anfangsgewichtes ist $3a$. Damit ist die folgende Gleichung zu lösen:

  $a\cdot 1,12^t=3a$.

  Division durch $a$ führt zu $1,12^t=3$. Da die Unbekannte im Exponenten steht, muss logarithmiert werden. Es wird im Folgenden der Logarithmus zur Basis $10$, der dekadische Logarithmus $\lg$, verwendet:

  $\begin{array}{rclll} 1,12^t&=&~3&|&\lg(~~)\\ \lg(1,12^t)&=&~\lg(3)&|&\lg(p^r)=r\cdot \lg(p)\\ t\cdot\lg(1,12)&=&~\lg(3)&|&:\lg(1,12)\\ t&=&~\frac{\lg(3)}{\lg(1,12)}\approx 9,69 \end{array}$

  Das bedeutet, dass die Wassermelone nach ungefähr 10 Tagen ihr Gewicht verdreifacht hat.

• Ermittle die Lösung der Logarithmusgleichung $3=\lg(2x)+\lg(4)$.

  Tipps

  Verwende die Rechenregeln für Logarithmen:

  • $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$
  • $\log_b\left(\frac pq\right)=\log_b(p)- \log_b(q)$
  • $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$

  Nach der Definition des Logarithmus gilt zum Beispiel:

  $\log_x(32)=5~\Leftrightarrow~5^x=32$.

  $\lg=\log_{10}$ ist der Logarithmus zur Basis $10$.

  Lösung

  Dies ist eine Logarithmusgleichung. Der verwendete Logarithmus ist der dekadische Logarithmus, also der Logarithmus zur Basis $10$. Anstelle von $\log_{10}$ können wir auch $\lg$ schreiben.

  Zunächst wird die folgende Regel für Logarithmen angewendet:

  $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$

  Damit kann die rechte Seite der Gleichung zusammengefasst werden:

  $3=\lg((2x)\cdot4)=\lg(8x)$.

  Nun wird die Definition des Logarithmus verwendet:

  $10^3=8x$.

  Da $10^3=1000$ ist, erhält man die Lösung durch Division durch $8$:

  $x=\frac{1000}8=125$.

• Löse die jeweilige Logarithmusgleichung.

  Tipps

  Ganz allgemein gilt

  $\log_b(x)=a~\Leftrightarrow~x=b^a$.

  Denke daran, dass $\lg=\log_10$ der dekadische Logarithmus ist, also der Logarithmus zur Basis $10$.

  Lösung

  Um die Logarithmusgleichungen zu lösen, wird jedes Mal die abgebildete Äquivalenz verwendet.

  Schauen wir uns dies anhand der folgenden Beispiele genauer an:

  • $\lg(2x-4)=2~\Leftrightarrow~2x-4=10^2$. Zunächst wird die Potenz ausgerechnet $2x-4=100$. Durch Addition von $4$ und anschließender Division durch $2$ gelangt man zu $x=52$.
  • $\log_2(x)=5~\Leftrightarrow~x=2^5=32$
  • $\log_3(x)=4~\Leftrightarrow~x=3^4=81$
  • $\log_5(3x+5)=3~\Leftrightarrow~3x+5=5^3=125$. Nun wird $5$ subtrahiert zu $3x=120$. Division durch $3$ führt zu der Lösung $x=40$.
  • $\log_4(x-10)=3~\Leftrightarrow~x-10=4^3=64$. Addition von $10$ führt zu $x=74$.
  • $\lg(10x+500)=3~\Leftrightarrow~10x+500=10^3=1000$. Zuerst wird $500$ subtrahiert zu $10x=500$ und dann durch $10$ dividiert. So gelangt man zu $x=50$.

• Forme die Gleichung $3+2\cdot 4^x=35$ um.

  Tipps

  Isoliere den Term $4^x$ so weit als möglich. Am Schluss verwendest du den Logarithmus.

  Die verwendete Rechenregel lautet

  $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$.

  Führe am Schluss eine Probe durch. Die Lösung ist eine natürliche Zahl.

  Lösung

  Zunächst wird der Term $4^x$ isoliert:

  $\begin{array}{rclll} 3+2\cdot 4^x&=&~35&|&-3\\ 2\cdot 4^x&=&~32&|&:2\\ 4^x&=&~16 \end{array}$

  An dieser Stelle kann man die Lösung bereits erkennen: Mit welcher Zahl muss man $4$ potenzieren, um $16$ zu erhalten? Klar: Das ist die $2$. Wenn dies allerdings nicht so direkt zu sehen ist, muss mit dem Logarithmus gerechnet werden:

  $\begin{array}{rclll} 4^x&=&~16&|&\lg(~~)\\ \lg(4^x)&=&~\lg(16)&|&\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)\\ x\cdot \lg(4)&=&~\lg(16)&|&:\lg(4)\\ x&=&~\frac{\lg(16)}{\lg(4)}=2 \end{array}$

  Es ist sinnvoll, eine Probe durchzuführen. Hierfür wird der gefundene Wert für $x$ in dîe Ausgangsgleichung eingesetzt.

  $3+2\cdot 4^2=3+2\cdot 16=3+32=35$ $~~~~$✓

• Gib die Rechenregeln für Logarithmen $\log _b$ an.

  Tipps

  Du kennst doch sicher noch die Rechenregeln für Exponenten:

  Es gilt $b^{n+m}=b^n\cdot b^m$.

  Setze

  • $n=\log_b(p)$ und
  • $m=\log_b(q)$.

  Für eine beliebige Basis $b>0$ und $b\neq 1$ gilt

  $b^{\log_b(p)}=p$.

  Betrachtet wird der Logarithmus zur Basis $b$. Dabei muss $b>0$ und ungleich $1$ sein.

  Weiter seien $p$ und $q$ positiv und $r$ eine beliebige reelle Zahl.

  Lösung

  Um Gleichungen zu lösen, in denen entweder der Logarithmus vorkommt oder aber verwendet wird, ist es wichtig, Rechenregeln für den Logarithmus zu kennen. Diese sind:

  • $\log_b\left(p\cdot q\right)=\log_b(p)+ \log_b(q)$
  • $\log_b\left(\frac pq\right)=\log_b(p)- \log_b(q)$
  • $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$

• Leite Formeln für die Halbwertszeit und die Verdoppelungszeit her.

  Tipps

  Der Anfangsbestand muss nicht bekannt sein, um die folgenden Gleichungen zu lösen:

  • $c\cdot a^t=2c$
  • $c\cdot a^t=0,5c$

  Löse eine Gleichung der Form $a^t=b$ durch Anwendung des Logarithmus $\lg$ auf beiden Seiten der Gleichung.

  Verwende die folgende Regel zum Rechnen mit Logarithmen:

  $\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)$

  Lösung

  Die Verdoppelungszeit oder die Halbwertszeit sind wichtige Begriffe im Zusammenhang mit exponentiellen Prozessen. Man könnte sich fragen:

  • Wann hat sich ein angelegter Betrag mit einem gegebenen Zinssatz verdoppelt? (Wachstum)
  • Wann hat sich die Strahlung eines radioaktiven Elementes, welche exponentiell abnimmt, halbiert? (Zerfall)

  Für beide Zeiten können Formeln hergeleitet werden, in denen nur noch der Wachtums- oder Zerfallsfaktor $a$ eingesetzt werden muss.

  Da die Umformungen vollkommen analog erfolgen, werden diese nur für den Fall der Verdoppelung durchgeführt:

  $\begin{array}{rclll} c\cdot a^x&=&~2c&|&:c\\ a^x&=&~2&|&\lg(~~)\\ \lg(a^x)&=&~\lg(2)&|&\log_b\left(p^r\right)=r\cdot \log_b(p)\\ x\cdot \lg(a)&=&~\lg(2)&|&:\lg(a)\\ x&=&~\frac{\lg(2)}{\lg(a)} \end{array}$

  Um die jeweilige Zeit zu unterscheiden, werden Indices verwendet. Es gilt also

  • $T_2=\frac{\lg(2)}{\lg(a)}$
  • $T_{\frac12}=\frac{\lg\left(\frac12\right)}{\lg(a)}$