Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktion Übung

• Beschreibe den Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion.

  Tipps

  Wir können die Umkehrfunktion bestimmen, indem wir in der Funktionsgleichung die Variablen $x$ und $y$ vertauschen und erneut nach $y$ auflösen.

  Die Funktionsgraphen

  • $f_1(x)=\log_3(x)$ und $g_1(x)=3^x$
  • $f_2(x)=\log_5(x)$ und $g_2(x)=5^x$
  • $f_3(x)=\log_7(x)$ und $g_3(x)=7^x$

  gehen durch Spiegelung an der $x$-Achse auseinander hervor.

  Lösung

  Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion:

  Die Funktionsgraphen: Spiegelung
  Wenn wir den Graphen der Logarithmusfunktion $f(x)=\log_2(x)$ an der Winkelhalbierenden $h(x)=x$ spiegeln, so erhalten wir den Graphen der Exponentialfunktion $g(x)=2^x$. Der gleiche Zusammenhang gilt zum Beispiel auch für

  • $f_1(x)=\log_3(x)$ und $g_1(x)=3^x$
  • $f_2(x)=\log_5(x)$ und $g_2(x)=5^x$
  • $f_3(x)=\log_7(x)$ und $g_3(x)=7^x$ usw.

  Die Winkelhalbierende stellt jeweils die Spiegelachse dar.

  Umkehrfunktion:
  Dies liegt daran, dass das Logarithmieren eine Umkehroperation zum Potenzieren ist. Die Exponentialfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen:
  $y=\log_n(x) \quad \longrightarrow \quad x = \log_n(y) \Leftrightarrow y=n^x$
  Somit sind Logarithmusfunktion und entsprechende Exponentialfunktion stets Umkehrfunktionen zueinander.

• Gib Eigenschaften der Logarithmusfunktion an.

  Tipps

  Die Null und negative $x$-Werte sind aus dem Definitionsbereich der Funktionen ausgeschlossen, da eine Potenz wie zum Beispiel $2^x$ nicht $0$ oder negativ sein kann.

  Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ besitzt die Logarithmusfunktion $\log_{n} (x) $ eine Nullstelle bei $x=1$: $f(1)=\log_{n}{(1)}=0$

  Lösung

  Die Graphen von Logarithmusfunktionen wie $f(x)=\log_2(x)$, $f(x)=\log_3(x)$ oder $f(x)=\log_{10}(x)$ haben einen ähnlichen Verlauf:

  Für größer werdende $x$ Werte gehen die Funktionen gegen $+\infty$.
  Wir schreiben: Für $x \to \infty $ gilt $f(x) \to +\infty$.

  'Für $x \to \infty $ gilt $f(x) \to - \infty$' – Diese Aussage ist falsch.

  Die Graphen der Funktionen steigen im gesamten Definitionsbereich. Wir sagen auch:
  'Die Graphen sind monoton steigend.' – Diese Aussage ist richtig.

  Die Null und negative $x$-Werte sind aus dem Definitionsbereich der Funktionen ausgeschlossen, da eine Potenz wie $2^x$ nie $0$ oder negativ sein kann.
  'Der Definitionsbereich enthält alle reellen Zahlen.' – Diese Aussage ist falsch.

  Der Funktionsgraph verläuft nur im ersten und vierten Quadranten des Koordinatensystems und schneidet die $y$-Achse nicht.
  'Der Funktionsgraph schneidet die $y$-Achse bei $0$.' – Diese Aussage ist falsch.

  Der Wertebereich deckt alle reellen Zahlen ab, da die Funktionswerte für $x \to 0$ gegen $- \infty$ und für $x \to \infty$ gegen $\infty$ streben.
  'Der Wertebereich enthält alle reellen Zahlen.' – Diese Aussage ist richtig.

  Die Logarithmusfunktionen haben alle eine Nullstelle bei $x=1$, da gilt: $\log_{n}{(1)}=0$, weil jede Zahl $n$ gilt: $n^0 = 1$.
  'Die Nullstelle ist bei $x=1$.' – Diese Aussage ist richtig.

• Ermittle die Funktionsgleichung aus dem Funktionsgraphen.

  Tipps

  Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{a}(x)$ haben im Allgemeinen an der Stelle $x=a$ den Funktionswert $f(a) = 1$.

  Je größer die Basis $a$ ist, umso flacher verläuft der Funktionsgraph für $x$-Werte größer als $1$.

  Lösung

  Die Graphen von Logarithmusfunktionen $f(x)=\log_a(x)$ mit $a \in \mathbb{Q}_+$ haben einen ähnlichen Verlauf. So sind alle Graphen monoton steigend und haben die Nullstelle bei $x=1$.

  Um die Logarithmusfunktionen zu unterscheiden, können wir folgenden Zusammenhang verwenden:

  Je größer die Basis $a$ ist, umso flacher verläuft der Funktionsgraph für $x$-Werte größer als $1$.

  Außerdem gilt mit $f(a) = \log_a(a)=1$, dass die Funktion immer an der Stelle $a$ den Funktionswert $1$ annimmt.

  Damit können wir die Funktionsgraphen zuordnen:

  • Der violette Graph geht durch den Punkt $(1{,}5|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{1,5}(x)$.
  • Der grüne Graph geht durch den Punkt $(4|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{4}(x)$.
  • Der orangene Graph geht durch den Punkt $(6|1)$. $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{6}(x)$.
  • Bei dem blauen Graph liegt der Punkt $(a|1)$ außerhalb des Ausschnitts, daher ist $a>6$.

  $ \quad \rightarrow \quad f(x) = \log_{12}(x)$.

• Bestimme die Umkehrfunktion.

  Tipps

  Der Logarithmus ist über folgenden Zusammenhang definiert:

  $\log_a(b)=c \Leftrightarrow a^c=b$

  Die Umkehrfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen und nach $y$ auflösen.

  Lösung

  Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen zueinander. Wenn wir den Graphen einer Logarithmusfunktion an der Winkelhalbierenden $h(x)=x$ spiegeln, so erhalten wir den Graphen ihrer Umkehrfunktion, einer Exponentialfunktion.
  Dies liegt daran, dass das Logarithmieren eine Umkehroperation zum Potenzieren ist. Die Exponentialfunktion ergibt sich, wenn wir bei der Logarithmusfunktion die Variablen $x$ und $y$ tauschen:
  $y=\log_n(x) \quad \longrightarrow \quad x = \log_n(y) \Leftrightarrow y=n^x$

  Wir bestimmen die Umkehrfunktionen der gegebenen Logarithmusfunktionen:

  • $f(x) = \log_{\sqrt{10}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $f(x)=\sqrt{10}^x$.
  • $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $ f(x)=\sqrt{2}^x = (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}}$.
  • $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)$ hat die Umkehrfunktion $\displaystyle f(x)=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^x = 0{,}5^x$.
  • $f(x) = \log_{0,1}(x)$ hat die Umkehrfunktion $\displaystyle f(x)= 0{,}1^x = \bigg(\frac{1}{10}\bigg)^x = \frac{1}{10^x}$.
  • $f(x) = \log_{10}(x)$ hat die Umkehrfunktion $f(x)=10^x$.

• Bestimme die Logarithmuswerte.

  Tipps

  Es gilt: $\log_{2}(8)=3$, weil $2^3=8$ ist.

  Du kannst jede Logarithmusgleichung auch als eine Gleichung mit einer Potenz umschreiben:

  $\log_a(b)=x \Leftrightarrow a^x=b$

  Lösung

  Das Logarithmieren ist eine Umkehroperation zum Potenzieren. Daher können wir jede Logarithmusgleichung auch als eine Gleichung mit einer Potenz umschreiben:

  $\log_a(b)=x \Leftrightarrow a^x=b$

  Somit gilt:

  • $\log_{10}(100\,000)=5~$, weil $~10^5=100\,000$ ist.
  • $\log_{2}(16)=4~$, da $~2^4=16$ ergibt.
  • $\log_{3}(27)=3~$, da $~3^3=27$ ist.
  • $\log_{4}(16)=2~$, weil $~4^2=16$ ergibt.

• Überprüfe die Aussagen zur Steigung der Logarithmusfunktion.

  Tipps

  Wenn du dir die Funktionsgraphen anguckst, fällt es dir leichter, die Aussagen zu untersuchen.

  Die Steigung gibt an, wie steil der Funktionsgraph ist.

  Du kannst sie vergleichen, indem du zum Beispiel für denselben $x$-Wert Tangenten an die Funktionsgraphen zeichnest.

  Lösung

  Die Graphen von Logarithmusfunktionen sind im Allgemeinen monoton steigend. Dabei gilt:

  Je kleiner die Basis ist, umso steiler ist der Funktionsgraph. Das erkennst du auch in der Graphik.

  • Im Bereich $x \gt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_{10}(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{2}(x)$.

  Diese Aussage ist also falsch. Es ist genau umgekehrt: Im Bereich $x \gt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_{2}(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{10}(x)$.

  • Im Bereich $x>1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_3(x)$ stärker als die Funktion $g(x)=\log_{10}(x)$.

  Diese Aussage ist richtig.

  $\quad$

  Betrachten wir einen einzelnen Funktionsgraphen, so gilt: Die Steigung nimmt für größer werdende $x$-Werte ab. Der Funktionsgraph wird also in $x$-Richtung immer flacher.

  • Im Bereich $0 \lt x \lt 1$ steigt die Funktion $f(x)=\log_2(x)$ stärker als im Bereich $x>1$.

  Diese Aussage ist also richtig.

  • Im Bereich $1 \lt x \lt 2$ steigt die Funktion $f(x)=\log_6(x)$ stärker als im Bereich $2 \lt x \lt 3$.

  Auch diese Aussage ist richtig