Pommes der Pinguin hält einen grossen gelben Stern in den Händen
Pommes der Pinguin hält einen grossen gelben Stern in den Händen
30 Tage kostenlos testen
30 Tage kostenlos testen
Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen

Logarithmusfunktionen

Logarithmengesetze, Umkehrfunktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist der Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren.

Wir beginnen mit einem Beispiel.

  • Du weißt sicherlich, dass 34=3333=813^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =81 ist.
  • Wenn du nun umgekehrt wissen möchtest, mit welcher Zahl du 33 potenzieren musst, um 8181 zu erhalten, wie kannst du dann vorgehen?

Diese Frage führt zu der Gleichung 3x=813^x=81. Hier hilft dir der Logarithmus weiter. Er beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl musst du 33 potenzieren, damit 8181 herauskommt?“

Die Lösung lautet x=log381x=\log_3{81}.

Allgemeiner kannst du dies auch so formulieren:

  • Die Gleichung ax=ba^x=b wird durch y=logaby=\log_a{b} gelöst.
  • Der rechte Teil der Gleichung wird „Logarithmus zur Basis aa von bb“ genannt.
  • Dabei muss die Basis positiv sein.

Es gibt natürlich verschiedene Basen. Einige davon führen zu speziellen Logarithmen, welche besonders häufig verwendet werden:

  • Der Logarithmus zur Basis 1010 wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abkürzend so: log10=lg\log_{10}=\lg.
  • Der Logarithmus zur Basis e2,71828e\approx2,71828, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: loge=ln\log_e=\ln.

Diese beiden Logarithmen findest du auch auf deinem Taschenrechner.

Die allgemeine Logarithmusfunktion

Eine Logarithmusfunktion zur Basis aa hat folgende Gestalt:

   f(x)=loga(x)\quad~~~f(x)=\log_a(x)

Die Logarithmusfunktion zur Basis aa ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis aa.

Der Definitionsbereich

Da der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren ist und die Basis aa, welche potenziert wird, positiv ist, folgt daraus, dass auch axa^x positiv ist. Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist:

   Df=R+\quad~~~\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+

Der Wertebereich

Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist die Menge der reellen Zahlen:

   Wf=R\quad~~~\mathbb{W}_f=\mathbb{R}

Spezielle Funktionswerte und Grenzwertverhalten

  • Es ist f(1)=loga(1)=0f(1)=\log_a(1)=0. Den Punkt P(10)P(1|0) haben alle Exponentialfunktionen unabhängig von der Basis gemeinsam, da a0=1a^0=1 gilt.
  • Wenn du für x=ax=a einsetzt, erhältst du f(a)=loga(a)=1f(a)=\log_a(a)=1, da a1=aa^1=a ist.

Diese beiden Funktionswerte hat jede Logarithmusfunktion unabhängig von der Basis a>0a>0, a0a\neq 0. Bei den Grenzwerten werden zwei Fälle unterschieden.

Erster Fall: f(x)=loga(x)f(x)=\log_a(x), für a>1a>1

  • limx0f(x)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty“ sowie
  • limxf(x)=\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty“.

Zweiter Fall: g(x)=loga(x)g(x)=\log_a(x), für 0<a<10 < a < 1

  • limx0g(x)=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=\infty“ sowie

  • limxg(x)=\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=-\infty“.

Hier siehst die Funktionsgraphen zu f(x)=log2(x)f(x)=\log_2(x) (grün) und den zu g(x)=log0,5(x)g(x)=\log_{0,5}(x) (rot).

Logarithmusfunktionen

Beispiel

Wir untersuchen folgende Funktion:

f(x)=log1,2(x)17,65f(x)=\log_{1,2}(x)-17,65

Dabei steht xx für die Anzahl von Menschen, die eine Neuigkeit erfahren haben, und f(x)f(x) für die Zeit in Tagen, zu der diese Neuigkeit so viele Menschen erreicht hat.

  • Willst du wissen, nach wie vielen Tagen 100100 Menschen die Neuigkeit kennen, setzt du x=100x=100 in die Funktionsgleichung ein:

   f(100)=log1,2(100)17,657,6\quad~~~f(100)=\log_{1,2}(100)-17,65\approx 7,6

  • Nach etwas mehr als siebeneinhalb Tagen kennen 100100 Menschen die Neuigkeit.
  • Möchtest du wissen, wie viele Menschen die Neuigkeit am Anfang, also f(x)=0f(x)=0, kennen, musst du eine Gleichung lösen:

   0=log1,2(x)17,65+17,6517,65=log1,2(x)1,2(   )1,217,65=x25x\quad~~~\begin{array}{rclll}0&=&\log_{1,2}(x)-17,65&|&+17,65\\ 17,65&=&\log_{1,2}(x)&|&1,2^{(~~~)}\\ 1,2^{17,65}&=&x\\ 25&\approx&x \end{array}

  • Zu Beginn kennen 2525 Menschen die Neuigkeit.
  • Übrigens: Die zugehörige Exponentialfunktion lautet wie folgt:

   g(x)=251,2x\quad~~~g(x)=25\cdot 1,2^x

Einfluss der Basis auf den Funktionsgraphen

Bei der Exponentialfunktion g(x)=axg(x)=a^x kannst du feststellen, dass diese umso steiler verläuft, je größer die Basis aa ist. Umgekehrt verläuft die entsprechende Logarithmusfunktion flacher.

Die natürliche Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=ln(x)f(x)=\ln(x) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion g(x)=exg(x)=e^x.

Auch bei der natürlichen Logarithmusfunktion ist der Definitionsbereich Df=R+\mathbb{D}_f=\mathbb{R}^+ und der Wertebereich Wf=R\mathbb{W}_f=\mathbb{R}.

Beispiel

Wir schauen uns folgende Funktion an:

   f(x)=3ln(x1)2\quad~~~f(x)=3\ln(x-1)-2

Wir untersuchen erst einmal, für welche Argumente xx die Funktion überhaupt definiert ist. Es muss x1>0x-1>0 gelten, also x>1x>1. Damit ist Df={xR:x>1}\mathbb{D}_f=\{x\in\mathbb{R}:x>1\}.

Du kannst den Funktionsgraphen zeichnen, indem du eine Wertetabelle erstellst:

999_Wertetabelle.jpg

Den zugehörigen Funktionsgraphen kannst du hier sehen.

999_3ln(x-1)-2.jpg

Nun kannst du dich auch fragen, für welches xx der Funktionswert f(x)=19f(x)=19 angenommen wird. Dies führt zu einer Gleichung 19=3ln(x1)219=3\ln(x-1)-2, deren Lösung du hier siehst:

   19=3ln(x1)2+221=3ln(x1):37=ln(x1)e(   )e7=x1+1e7+1=x1097,6x\quad~~~\begin{array}{rclll} 19&=&3\ln(x-1)-2&|&+2\\ 21&=&3\ln(x-1)&|&:3\\ 7&=&\ln(x-1)&|&e^{(~~~)}\\ e^7&=&x-1&|&+1\\ e^7+1&=&x\\ 1097,6&\approx&x \end{array}

Bei den allgemeinen Logarithmusfunktionen ist bereits das Grenzwertverhalten erklärt worden. An diesem Beispiel kannst du erkennen, dass die Logarithmusfunktion „sehr langsam“ gegen \infty geht.

Alle Videos zum Thema

Videos zum Thema

Logarithmusfunktionen (1 Video)

Alle Arbeitsblätter zum Thema

Arbeitsblätter zum Thema

Logarithmusfunktionen (1 Arbeitsblatt)