Logarithmusfunktionen
Logarithmengesetze, Umkehrfunktion, Definitionsbereich, Wertebereich, Eigenschaften
Inhaltsverzeichnis zum Thema
- Was ist der Logarithmus?
- Die allgemeine Logarithmusfunktion
- Der Definitionsbereich
- Der Wertebereich
- Spezielle Funktionswerte und Grenzwertverhalten
- Beispiel
- Einfluss der Basis auf den Funktionsgraphen
- Die natürliche Logarithmusfunktion
Was ist der Logarithmus?
Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren.
Wir beginnen mit einem Beispiel.
- Du weißt sicherlich, dass ist.
- Wenn du nun umgekehrt wissen möchtest, mit welcher Zahl du potenzieren musst, um zu erhalten, wie kannst du dann vorgehen?
Diese Frage führt zu der Gleichung . Hier hilft dir der Logarithmus weiter. Er beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl musst du potenzieren, damit herauskommt?“
Die Lösung lautet .
Allgemeiner kannst du dies auch so formulieren:
- Die Gleichung wird durch gelöst.
- Der rechte Teil der Gleichung wird „Logarithmus zur Basis von “ genannt.
- Dabei muss die Basis positiv sein.
Es gibt natürlich verschiedene Basen. Einige davon führen zu speziellen Logarithmen, welche besonders häufig verwendet werden:
- Der Logarithmus zur Basis wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abkürzend so: .
- Der Logarithmus zur Basis , der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: .
Diese beiden Logarithmen findest du auch auf deinem Taschenrechner.
Die allgemeine Logarithmusfunktion
Eine Logarithmusfunktion zur Basis hat folgende Gestalt:
Die Logarithmusfunktion zur Basis ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis .
Der Definitionsbereich
Da der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren ist und die Basis , welche potenziert wird, positiv ist, folgt daraus, dass auch positiv ist. Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist:
Der Wertebereich
Der Wertebereich der Logarithmusfunktion ist die Menge der reellen Zahlen:
Spezielle Funktionswerte und Grenzwertverhalten
- Es ist . Den Punkt haben alle Exponentialfunktionen unabhängig von der Basis gemeinsam, da gilt.
- Wenn du für einsetzt, erhältst du , da ist.
Diese beiden Funktionswerte hat jede Logarithmusfunktion unabhängig von der Basis , . Bei den Grenzwerten werden zwei Fälle unterschieden.
Erster Fall: , für
- „“ sowie
- „“.
Zweiter Fall: , für
„“ sowie
„“.
Hier siehst die Funktionsgraphen zu (grün) und den zu (rot).
Beispiel
Wir untersuchen folgende Funktion:
Dabei steht für die Anzahl von Menschen, die eine Neuigkeit erfahren haben, und für die Zeit in Tagen, zu der diese Neuigkeit so viele Menschen erreicht hat.
- Willst du wissen, nach wie vielen Tagen Menschen die Neuigkeit kennen, setzt du in die Funktionsgleichung ein:
- Nach etwas mehr als siebeneinhalb Tagen kennen Menschen die Neuigkeit.
- Möchtest du wissen, wie viele Menschen die Neuigkeit am Anfang, also , kennen, musst du eine Gleichung lösen:
- Zu Beginn kennen Menschen die Neuigkeit.
- Übrigens: Die zugehörige Exponentialfunktion lautet wie folgt:
Einfluss der Basis auf den Funktionsgraphen
Bei der Exponentialfunktion kannst du feststellen, dass diese umso steiler verläuft, je größer die Basis ist. Umgekehrt verläuft die entsprechende Logarithmusfunktion flacher.
Die natürliche Logarithmusfunktion
Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion .
Auch bei der natürlichen Logarithmusfunktion ist der Definitionsbereich und der Wertebereich .
Beispiel
Wir schauen uns folgende Funktion an:
Wir untersuchen erst einmal, für welche Argumente die Funktion überhaupt definiert ist. Es muss gelten, also . Damit ist .
Du kannst den Funktionsgraphen zeichnen, indem du eine Wertetabelle erstellst:
Den zugehörigen Funktionsgraphen kannst du hier sehen.
Nun kannst du dich auch fragen, für welches der Funktionswert angenommen wird. Dies führt zu einer Gleichung , deren Lösung du hier siehst:
Bei den allgemeinen Logarithmusfunktionen ist bereits das Grenzwertverhalten erklärt worden. An diesem Beispiel kannst du erkennen, dass die Logarithmusfunktion „sehr langsam“ gegen geht.
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