Lösen von Extremwertproblemen

Lösen von Extremwertproblemen Übung

• Gib an, welche Hinweise in der Textaufgabe vorkommen.

  Tipps

  Lies die Aufgabe mehrmals in Ruhe, um herauszufinden, was gesucht und was gegeben ist.

  Überlege: Wo muss eingespart werden, damit die Dose möglichst wenig Blech verbraucht?

  Eine Dose hat die Form von einem geraden Kreiszylinder.

  Bei der Oberfläche und dem Volumen eines Kreiszylinders spielt die Kreiszahl $\pi$ eine besondere Rolle.

  Lösung

  Schau noch einmal in die Aufgabe: Das Fassungsvermögen der Dose ist dort als einzige Angabe genannt mit $500~ml$. Um möglichst wenig Blech bei diesem festgelegten Volumen zu verbrauchen, suchen wir die Dose mit der kleinsten Oberfläche.

  Die Dose hat die Form eines geraden Kreiszylinders.

  Als Hauptbedingung formulieren wir also die Oberflächenformel für einen Kreiszylinder, nämlich:

  $O(r,h)=2\cdot \pi \cdot r^2+ 2\cdot \pi \cdot r \cdot h$.

  Doch wir suchen nicht irgendeine Dosenoberfläche, sondern es gibt noch eine zweite Bedingung: Das Volumen der Dose muss $500~ml$ bzw. $500~cm^3$ betragen. Daher ist die Nebenbedingung dann auch

  $V=\pi \cdot r^2\cdot h=500~ml$.

• Bestimme den Extremwert mit Hilfe von notwendiger und hinreichender Bedingung.

  Tipps

  Was hat mit der ersten Ableitung zu tun? Hinreichende oder notwendige Bedingung?

  Ist die zweite Ableitung größer als Null, handelt es sich bei der Extremstelle um ein Minimum.

  Lösung

  Um die Zielfunktion zu ermitteln, stellst du die Nebenbedingung nach einer Variable um, zum Beispiel $h$, und setzt sie in die Hauptbedingung ein.

  Mit Hilfe der Zielfunktion kannst du nun das Minimum bestimmen. Dafür setzt du die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich.

  Hast du einen möglichen Wert ermittelt, dann bildest du noch die zweite Ableitung der Zielfunktion. Ist sie größer als $0$, handelt es sich um ein Minimum.

• Berechne, mit welchem Radius der Glasverbrauch bei einem Volumen von $400~ml$ minimal ist.

  Tipps

  Lies die Aufgabe ganz genau, um herauszubekommen, welche Angaben gegeben und gesucht sind.

  Das Trinkglas hat keinen Deckel.

  Ein Extremwert ist ein Maximum, wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist.

  Die Hauptbedingung lautet, dass der Glasverbrauch minimal sein soll.

  Die zweite Ableitung der Zielfunktion muss bei dieser Aufgabe größer als Null sein.

  Lösung

  Gegeben ist das Volumen von $400~ml$. Das Glas ist zylinderförmig. Gesucht ist der Radius, bei dem der Glasverbrauch minimal ist. Eigentlich ist der Lösungsweg sehr ähnlich zu den bisherigen Aufgaben, allerdings ist hier zu beachten, dass ein Glas keinen Deckel hat. Insofern ist die Formel zu Berechnung der Oberfläche etwas anders:

  $O=\pi \cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h$.

  Anschließend stellst du die Gleichung der Nebenbedingung so um, dass eine Variable isoliert ist und setzt dies in die Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu ermitteln.

  Dann setzt du die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich, um den Extremwert zu berechnen. Um zu prüfen, ob sich sich bei dem Extremwert auch um ein Minimum handelt, wie es in der Aufgabe gefordert ist, muss die zweite Ableitung der Zielfunktion größer als Null sein. Ist dies gegeben, hast du den Radius errechnet für einen minimalen Glasverbrauch bei einem Volumen von $400$ Millilitern.

  Der Radius beträgt: $r=\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.

• Bestimme rechnerisch die Höhe des Tunnels, wenn sein Querschnitt maximal ist.

  Tipps

  Seite $a$ des Rechtecks gleicht auch dem Durchmesser (bzw. dem doppelten Radius) des Halbkreises.

  Die Nebenbedingung stellst du so um, dass du eine Variable isolierst. Dies setzt du dann in die Gleichung der Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu erhalten.

  Der Umfang $U$ setzt sich zusammen aus der Seite $a$ des Rechtecks, zweimal der Seite $b$ des Rechtecks sowie dem Umfang des Halbkreises.

  Lösung

  Gegeben ist der Umfang des Tunnels mit $25$ Metern sowie seine Form, die sich aus einem Rechteck und einem passenden Halbkreis zusammensetzt.

  Gesucht ist die Höhe des Tunnels, wenn die Querschnittsfläche optimal ist. Dafür bestimmen wir zunächst einmal die optimale Querschnittsfläche.

  Wir formulieren zunächst die Hauptbedingung. Sie lautet, dass die Querschnittsfläche des Tunnels möglichst groß, also maximal, sein soll. Die Rechtecksfläche setzt sich aus $A_R=a\cdot b$ zusammen, wobei Seite $a$ auch dem Durchmesser, also dem doppelten Radius, des Halbkreises, also $2\cdot r$, gleicht. Wir können die Gleichung also ausdrücken durch $A_R=2\cdot r\cdot b$.

  Die Fläche des Halbkreises lässt sich berechen durch

  $A_H=\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2$.

  Die Querschnittsfläche des Tunnels beträgt also insgesamt:

  $A_T=2\cdot r\cdot b+\frac{1}{2}\cdot\pi \cdot r^2$.

  Nun formulieren wir die Nebenbedingung. Es gilt, dass der Umfang $U$ gleich $25$ Metern sein soll. Der Umfang $U$ setzt sich zusammen aus der Seite $a$ des Rechtecks, zweimal der Seite $b$ des Rechtecks, sowie dem Umfang des Halbkreises. Für die Seite $a$ können wir wieder $2\cdot r$ einsetzen. Die Formel für den Umfang des Tunnels lautet dann:

  $U_T=2\cdot b + 2\cdot r + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r =25~m$ .

  Aus Haupt- und Nebenbedingung formulieren wir die Zielfunktion, indem wir die Nebenbedingung zum Beispiel nach $b$ umstellen und dann in die Hauptbedingung einsetzen.

  $ \begin{align*} 2\cdot b + 2\cdot r + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r &=25~m \\ 2\cdot b + 2\cdot r + \pi \cdot r &=25~m\\ 2\cdot b&=-2\cdot r-\pi\cdot r +25~m\\ b&=12,5~m-r-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r \end{align*} $

  Eingesetzt in die Hauptbedingung ergibt sich

  $ \begin{align*} A&=(12,5-r-\frac{\pi}{2}\cdot r) \cdot 2\cdot r+ \pi\cdot r^2\cdot \frac{1}{2}\\ A&=25\cdot r-2 \cdot r^2-\pi\cdot r^2+\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2\\ A&=-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2-2\cdot r^2+25\cdot r\\ A&=(-\frac{1}{2}\cdot\pi -2)\cdot r^2+25\cdot r \end{align*} $.

  Anschließend bildet man die erste Ableitung der Zielfunktion und setzt diese mit $0$ gleich, um die Extremstelle zu bestimmen.

  $ \begin{align*} A&=(-\frac{1}{2}\cdot\pi -2)\cdot r^2+25\cdot r\\ A'&=(-\pi-4)\cdot r+25\\ 0&=(-\pi-4)\cdot r+25\\ -25&=(-\pi-4)\cdot r\\ r&=\frac{-25}{-\pi -4}\\ r&\approx 3,50~m\\ \end{align*} $.

  Um zu prüfen, ob es sich bei dieser Stelle auch um ein Maximum handelt, bilden wir die zweite Ableitung der Zielfunktion. Ist sie kleiner als $0$, handelt es sich bei der Extremstelle um ein Maximum.

  $A''=-\pi -4 < 0$

  Es handelt sich also um ein Maximum und insofern hat der Querschnitt des Tunnels die maximale Fläche, wenn der Radius $r=\frac{-25}{-\pi -4}$ beträgt.

  Nun setzen wir $r$ noch in die nach $b$ umgestellte Nebenbedingung ein, um einen Wert für $b$ zu erhalten. Schließlich setzt sich die Höhe des Tunnels aus der Summe von $b$ und $r$ zusammen.

  $ \begin{align*} r&=\frac{-25}{-\pi -4}\\ b&=12,5~m-\frac{-25}{-\pi -4}-\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot \frac{-25}{-\pi -4}\\ b&\approx 3,50~m\\ \end{align*} $.

  Nun addieren wir noch $b$ und $r$.

  $b+r \approx 3,50~m+3,50~m\approx 7~m.$

  Antwort: Die Höhe des Tunnels beträgt beim maximaler Querschnittsfläche und einem Umfang von $25$ Metern etwa $7$ Meter.

• Nenne die nötigen Schritte zur Lösung von Extremwertproblemen.

  Tipps

  Die Zielfunktion ermittelt man zum Beispiel durch das Einsetzungsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren.

  Die notwendige Bedingung hat etwas mit der ersten Ableitung der Zielfunktion zu tun.

  Für die hinreichende Bedingung muss eine bestimmte Ableitung der Zielfunktion größer als Null sein.

  Lösung

  Starte immer damit, dass du die Aufgabe mehrfach liest und ermittelst, was gegeben und was gesucht ist.

  Aus der Aufgabenstellung ermittelst du nun zwei Bedingungen: Eines ist die Hauptbedingung und eines die Nebenbedingung, die ebenfalls erfüllt sein muss.

  Aus diesen Angaben kannst du mit Hilfe der Formeln zu Volumen und Oberfläche und dem Einsetzungsverfahren oder dem Gleichsetzungsverfahren die Zielfunktion ermitteln, die nur noch eine Variable enthält.

  Anschließend ermittelst du den Extremwert mit Hilfe der notwendigen Bedingung: Die erste Ableitung der Zielfunktion muss gleich Null sein. Hast du den Wert bestimmt, für den diese Voraussetzung gilt, prüfst du noch, ob es sich denn auch um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt. Dafür muss die hinreichende Bedingung erfüllt sein, nämlich, dass die zweite Ableitung der Zielfunktion kleiner bzw. größer als Null ist.

• Berechne, wie viel $m^2$ Stoff Jana braucht.

  Tipps

  Das Zelt hat die Form eines Kegels.

  Ein Kegel hat das Volumen von

  $V=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$.

  Du kannst den Satz des Pythagoras anwenden.

  Die Nebenbedingung lautet:

  $s^2=h^2+r^2$.

  Die Mantelfläche eines Kegels berechnest du so:

  $M=\pi\cdot r\cdot s$.

  Lösung

  Gegeben ist die Seitenkante $s$ mit $3$ Metern. Gesucht ist die Höhe $h$ des Zeltes sowie die Mantelfläche $M$. Das Zelt hat die Form eines geraden Kegels. Die Hauptbedingung lautet, dass das Volumen maximal sein soll.

  Die Formel für das Volumen eines Kegels lautet:

  $V(h,r)=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$.

  Die Nebenbedingung lautet, dass die Seitenkante $s$ des Zeltes $3$ Meter betragen soll. Hier kannst du den Satz des Pythagoras anwenden:

  $s^2=h^2+r^2$.

  Nun formulierst du die Zielfunktion. Dafür stellst du die Gleichung der Nebenbedingung so um, dass du sie in die Hauptbedingung einsetzen kannst:

  $r^2 = (s^2-h^2)$.

  Eingesetzt in die Hauptbedingung erhältst du:

  $V(h)=\frac {1}{3}\cdot \pi \cdot (s^2-h^2)\cdot h$.

  Um das maximale Volumen zu bestimmen, formulierst du nun die notwendige Bedingung.

  $V'(h)=0$

  Um die Ableitung $V'(h)$ bilden zu können, multiplizierst du die Gleichung zunächst noch aus.

  $V(h)=\frac {\pi\cdot s^2\cdot h}{3}-\frac{\pi\cdot h^3}{3}$.

  Die Ableitung $V'(h)$ lautet nun:

  $V'(h)=\frac {\pi\cdot s^2}{3}-\frac{3\cdot\pi\cdot h^2}{3}$.

  Gekürzt und mit $0$ gleichgesetzt, erhältst du dann:

  $0=\frac {\pi\cdot s^2}{3}-(\pi\cdot h^2)$.

  Umgestellt, durch $\pi$ geteilt und mit Wurzelziehen erhältst du schließlich:

  $h=\sqrt{\frac{s^2}{3}}$.

  Wenn den Wert für $s=3~m$ einsetzt, erhältst du:

  $h=\sqrt{\frac{(3~m)^2}{3}} \approx 1,73~m$.

  Die hinreichende Bedingung für ein Maximum lautet:

  $V''(h)<0$

  Nun bildest du die zweite Ableitung und setzt dort den Wert für $h$ ein:

  $V''(h) = -\frac{6\cdot\pi\cdot h}{3}$

  $V''(h)= -\frac{6\cdot\pi\cdot\sqrt{3}}{3}$

  $V''(h)\approx -10,88<0$.

  Es handelt sich bei $h=\sqrt{3} \approx 1,73~m$ also um den gesuchten Wert für ein Maximum.

  Nun berechnest du noch den Radius $r$:

  $r=\sqrt{s^2-h^2}$.

  Wenn du dort die Werte einsetzt, erhältst du:

  $r=\sqrt{3~m^2-\sqrt{3}^2}\approx 2,45~m$.

  Abschließend berechnest du mit all den errechneten Werten noch die Mantelfläche:

  $M=\pi\cdot r\cdot s$

  $M=\pi\cdot 2,45~m\cdot 3~m \approx 23,09~m^2$.

  Antwort: Jana braucht für das Zelt etwa $23,09~m^2$ Stoff.