Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Übung

• Fasse Eigenschaften von linear abhängigen und linear unabhängigen Vektoren zusammen.

  Tipps

  Drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig, wenn man einen Vektor als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen kann. Wir schreiben beispielsweise:

  $\vec{a} = r \cdot \vec{b} + s \cdot \vec{c}$

  Hier siehst du die drei Einheitsvektoren im dreidimensionalen Raum ($\mathbb{R}^3$).

  Es sind drei Aussagen richtig.

  Lösung

  Drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ sind linear abhängig, wenn man einen Vektor als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen kann. Wir schreiben beispielsweise:

  $\vec{a} = r \cdot \vec{b} + s \cdot \vec{c}$

  Das bedeutet auch, dass drei Vektoren, die in einer Ebene ($\mathbb{R}^2$) liegen, immer linear abhängig sind.
  $\mapsto \quad$ Die Aussage „Drei Vektoren in der Ebene können nicht linear abhängig sein.“ ist also falsch, sie sind immer linear abhängig.

  Im dreidimensionalen Raum hingegen können drei Vektoren linear unabhängig sein. Das ist immer dann der Fall, wenn sie nicht in einer Ebene liegen. Das heißt auch, dass man einen der drei Vektoren nicht als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen kann.
  $\mapsto \quad$ Die Aussage „Drei Vektoren, die in einer Ebene liegen, sind linear abhängig.“ ist somit richtig.

  Ein Beispiel für drei unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum ($\mathbb{R}^3$) sind die drei Einheitsvektoren:

  $\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $~\vec{e_2} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $~\vec{e_3} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Mithilfe dieser drei Einheitsvektoren kann jeder weitere beliebige Vektor im dreidimensionalen Raum als Linearkombination erzeugt werden.
  $\mapsto \quad$ Die Aussage „Jeder Vektor im dreidimensionalen Raum kann mithilfe der drei Einheitsvektoren erzeugt werden.“ ist also ebenfalls richtig.

  Das bedeutet auch, dass, wenn wir einen vierten Vektor hinzunehmen, diese vier Vektoren im Raum ($\mathbb{R}^3$) nicht mehr linear unabhängig sein können.
  $\mapsto \quad$ Die Aussage „Vier Vektoren sind im dreidimensionalen Raum immer linear abhängig.“ ist also gleichfalls richtig.

• Zeige, dass die drei Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig sind.

  Tipps

  Beginne mit dem Aufstellen der Gleichung $r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} = 0$.

  Erstelle aus dem Gleichungssystem eine Matrix, die du dann schrittweise in Dreiecksform bringst.

  Der letzte Schritt ist die Schlussfolgerung zur linearen Abhängigkeit der Vektoren.

  Lösung

  Diese drei Vektoren sind gegeben:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

  Damit können wir eine Gleichung aufstellen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  Wir wollen nun herausfinden, ob es drei Zahlen $r$, $s$ und $t$ gibt, die nicht gleich null sind und die obige Gleichung erfüllen. In diesem Fall wären die Vektoren linear abhängig, andernfalls linear unabhängig.

  Wir schreiben dazu die Gleichung zunächst als lineares Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I} & r & - & 2s & + & 4t & = &0 \\ \text{II} & 2r & +& s & + & 3t & = &0 \\ \text{III} & r & +& 3s & - & t & = &0 \end{array}$

  Dieses können wir als Matrix ausdrücken:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\!\right)$

  Wir rechnen $\text{II} - 2 \cdot \text{I}$:

  $\begin{array}{rrrrr} & 2r & + & s & + & 3t & = &0 \\ & -2r & +& 4s & - & 8t & = &0 \\ \hline & & & 5s & - & 5t & = &0 \end{array}$

  Wir setzen dies in die zweite Zeile der Matrix ein und erhalten:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\!\right)$

  Wir rechnen $\text{III} - \text{I}$:

  $\begin{array}{rrrrr} & r & + & 3s & - & t & = &0 \\ & -r & +& 2s & - & 4t & = &0 \\ \hline & & & 5s & - & 5t & = &0 \end{array}$

  Wir setzen dies in die dritte Zeile der Matrix ein und erhalten:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 0 \end{array} \!\right)$

  Wir rechnen jetzt $\text{III} - \text{II}$:

  $\begin{array}{rrrrr} & & & 5s & - & 5t & = &0 \\ & & -& 5s & + & 5t & = &0 \\ \hline & & & & &0 & = &0 \end{array}$

  Somit erhalten wir die Matrix:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\!\right)$

  Sie enthält eine Nullzeile. Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen.

  Wir können daraus schlussfolgern, dass die Vektoren linear abhängig voneinander sind.

  Hinweis: Das Verfahren, mit dem hier das lineare Gleichungssystem in eine Matrix überführt und gelöst wird, ist als Gauß-Algorithmus bekannt.

• Prüfe mithilfe der Determinante, ob die Vektoren linear abhängig sind.

  Tipps

  Du kannst die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mit folgender Formel berechnen:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

  Ist die Determinante der zugehörigen Matrix gleich null, so sind die Vektoren linear abhängig, andernfalls sind sie linear unabhängig.

  Lösung

  Wir können drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen, indem wir die Determinante der zugehörigen Matrix bestimmen: Ist die Determinante der zugehörigen Matrix gleich null, so sind die Vektoren linear abhängig, andernfalls sind sie linear unabhängig.

  $\,$

  Die Determinante der $3{\times}3$-Matrix können wir mit folgender Formel berechnen:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

  $\,$

  Somit ergeben sich folgende Lösungen:

  Erstes Beispiel:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} &= ({-}1) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 0\cdot 1 \\ &= -4 + (-2) + 0 - 4 - 0 - 0 \\ &= -10 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

  Zweites Beispiel:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 7 & 5 \end{vmatrix} &= 1 \cdot (-1) \cdot 5 + 7 \cdot 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 \cdot 7 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 - 7 \cdot 1 \cdot 1 - 5 \cdot 2 \cdot 7 \\ &= -5 + 28 + 42 - (-12) - 7 - 70 \\ &= 0 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante gleich null ist, sind die Vektoren linear abhängig.

  Drittes Beispiel:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 9 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 9 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) \cdot 5 + 1 \cdot 0 \cdot 2 - 5 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-5) \cdot 9 - 1 \cdot 0 \cdot (-2) \\ &= 36 + 50 + 0 - 20 - (-90) - 0 \\ &= 156 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

• Entscheide, welche der Vektoren linear unabhängig voneinander sind.

  Tipps

  Schreibe zunächst die drei Vektoren als Matrix.

  Eine Möglichkeit der Lösung dieser Aufgabe ist es, die Determinante der Matrix zu berechnen.
  Zur Berechnung der Determinanten addieren wir die Produkte der Hauptdiagonalen und ziehen die Produkte der Nebendiagonalen ab.
  Die Haupt- und Nebendiagonalen können wir dabei gut erkennen, wenn wir die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben ergänzen:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix} \quad \begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}$

  Drei der gegebenen Kombinationen sind linear unabhängig.

  Lösung

  Um drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit zu prüfen, schreiben wir sie zunächst in eine Matrix.
  Wir können dann entweder den Gauß-Algorithmus anwenden und prüfen, ob eine Nullzeile entsteht, oder die Determinante der Matrix bestimmen und überprüfen, ob sie $0$ ergibt.

  $\,$

  In den folgenden Lösungswegen verwenden wir die Lösung mittels der Determinante. Dabei verwenden wir die Regel von Sarrus:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

  Erste Kombination:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix}1 \\-1 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Wir schreiben die Vektoren als Matrix und bestimmen die Determinante:

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2& -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} &= 0\cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1) \cdot 0 - 1 \cdot 0\cdot 1 \\ &= 0 + (-2) + 0 - 4 - 0 - 0 \\ &= -6 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

  Zweite Kombination:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Wir schreiben die Vektoren als Matrix und bestimmen die Determinante:

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 0 & -1& -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) \cdot 2 - 0 \cdot (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 0\cdot 3 \\ &= -4 + (-3) + 0 - (-2) - 0 - 0 \\ &= -5 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

  Dritte Kombination:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Wir schreiben die Vektoren als Matrix und bestimmen die Determinante:

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3& 2 & 1 \\ 3 & 2& 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} &=2\cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 3 - 2 \cdot 3\cdot 2 \\ &= 4 + 0 + 12 - 4 - 0 - 12 \\ &= 0 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante gleich null ist, sind die Vektoren linear abhängig.

  Vierte Kombination:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix}$

  Wir schreiben die Vektoren als Matrix und bestimmen die Determinante:

  $\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 9 & 4 & -6 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} &= 0 \cdot 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-6) \cdot 2 + 0 \cdot 9 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 \cdot 0 - (-1) \cdot (-6) \cdot 0 - 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= 0 + 24 + 0 - 0 - (-54) \\ &= 78 \end{array}$

  $\implies$ Da die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

  $\,$

  Wir können die Aufgabe, wie oben beschrieben, auch mithilfe des Gauß-Algorithmus lösen. Wir führen dies exemplarisch an der dritten Kombination durch:

  Diese drei Vektoren sind gegeben:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Damit können wir eine Gleichung aufstellen:

  $r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

  Wir wollen nun herausfinden, ob es drei Zahlen $r$, $s$ und $t$ gibt, die nicht gleich null sind und die obige Gleichung erfüllen. In diesem Fall wären die Vektoren linear abhängig, andernfalls linear unabhängig.

  Wir schreiben dazu die Gleichung zunächst als lineares Gleichungssystem:

  $\begin{array}{rrrrr} \text{I} & 3r & + & 2s & + & t & = &0 \\ \text{II} & 3r & +& 2s & + & t & = &0 \\ \text{III} & 2r & & & + & 2t & = &0 \end{array}$

  Dieses können wir als Matrix ausdrücken:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 3& 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2& 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}\!\right)$

  Wir rechnen $\text{II} - \text{I}$:

  $\begin{array}{rrrrr} & 3r & + & 2s & + & t & = &0 \\ & -3r & -& 2s & - & t & = &0 \\ \hline & & & & & 0 & = &0 \end{array}$

  Wir setzen dies in die zweite Zeile der Matrix ein und erhalten diese Matrix:

  $\left(\!\begin{array}{rrr|r} 3 & 2& 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}\!\right)$

  Sie weist eine Nullzeile auf. Das Gleichungssystem hat somit unendlich viele Lösungen.

  Wir können daraus schlussfolgern, dass die Vektoren linear abhängig voneinander sind, was wir auch im Determinanten-Verfahren ermittelt haben.

• Finde Paare linear abhängiger Vektoren.

  Tipps

  Zwei linear abhängige Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ lassen sich immer als Vielfache voneinander darstellen:

  $\vec{a} = r \cdot \vec{b}$

  Beispiel:

  • $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ ist linear abhängig von $\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}$, weil $2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Zwei Vektoren in einer Ebene sind linear abhängig voneinander, wenn sie kollinear sind. Das bedeutet, dass ihre Vektorpfeile parallel verlaufen.
  Zwei linear abhängige Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ lassen sich immer als Vielfache voneinander darstellen:

  $\vec{a} = r \cdot \vec{b}$ oder $\vec{b} = s \cdot \vec{a}$

  Zwei linear unabhängige Vektoren hingegen sind nicht kollinear und ihre Vektorpfeile verlaufen nicht parallel.
  Sie können nicht als Vielfache voneinander dargestellt werden.

  Wir betrachten die gegebenen Vektoren und erkennen:

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ist linear abhängig von $\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$, weil $2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist linear abhängig von $\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$, weil $-1 \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist linear abhängig von $\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 3 \end{pmatrix}$, weil $3 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 3 \end{pmatrix}$

  $~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $\begin{pmatrix} -4 \\ 40 \end{pmatrix}$ ist linear abhängig von $\begin{pmatrix} -2 \\ 20 \end{pmatrix}$, weil $0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 20 \end{pmatrix}$

• Vervollständige den Vektor $\vec{a}$ so, dass die drei Vektoren linear abhängig sind.

  Tipps

  Drei Vektoren sind linear abhängig voneinander, wenn die Determinante ihrer Matrix gleich null ist. Bestimme daher zunächst die Determinante ganz normal mithilfe der Regel von Sarrus. Nimm dabei die Variable $a$ wie eine Zahl mit.

  Regel von Sarrus zur Determinantenberechnung:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

  Die Berechnung der Determinante lautet:

  $1 \cdot 1 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) \cdot 4 + 7 \cdot a \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 7 - 5 \cdot (-1) \cdot 1 - 7 \cdot a \cdot 3$

  Vereinfache diesen Term und setze ihn gleich null.

  Lösung

  Wir betrachten die drei gegebenen Vektoren:

  $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 4 \end{pmatrix} \quad \vec{b}= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \vec{c}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$

  Dann schreiben wir die Vektoren in eine Matrix:

  $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ a & 1 & -1 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

  Wir wissen, dass drei Vektoren linear abhängig voneinander sind, wenn die Determinante ihrer Matrix gleich null ist. Wir betrachten daher zunächst die Determinante.
  Da es sich um eine $3{\times}3$-Matrix handelt, können wir ihre Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:

  $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$

  Nun berechnen wir die Determinante unter Verwendung der obigen Formel:

  $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 7 \\ a & 1 & -1 \\ 4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) \cdot 4 + 7 \cdot a \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 7 - 5 \cdot (-1) \cdot 1 - 7 \cdot a \cdot 3$

  Wir vereinfachen den so erhaltenen Term:

  $7 - 12 + 35a - 28 +5 -21a = -28+14a$

  Jetzt setzen wir den erhaltenen Term gleich $0$ und lösen nach $a$ auf:

  $\begin{array}{cll} -28+14a &= 0 &|+28 \\ 14a &= 28 &|:14 \\ a &= 2 & \\ \end{array}$

  Wenn wir für $\color{#00CC99}{a=2}$ einsetzen, ist die Determinante der Matrix genau $0$ und die Vektoren sind linear abhängig voneinander.