Kumulierte Häufigkeiten

Kumulierte Häufigkeiten Übung

• Bestimme die kumulierten Häufigkeiten.

  Tipps

  Um die kumulierten absoluten Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.

  Alle kumulierten Häufigkeiten steigen mit zunehmender Putzzeit an.

  Die kumulierte relative Häufigkeit der letzten Merkmalsausprägung ist immer $1$.

  Lösung

  Kumulierte Häufigkeiten geben an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Damit man kumulierte Häufigkeiten angeben kann, muss das betrachtete Merkmal daher in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden können.
  Dies ist in unserem Beispiel zu den Putzzeiten schon der Fall.

  Um die kumulierten absoluten Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf:

  • Die erste Merkmalsausprägung $(0~\text{bis}~1~\text{h})$ bleibt stehen: $6$.
  • Um die kumulierte Häufigkeit für die zweite Merkmalsausprägung $(1~\text{bis}~2~\text{h})$ zu berechnen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten Ausprägung $(0~\text{bis}~1~\text{h})$ mit der der zweiten Ausprägung: $6+14=20$.
  • Um die kumulierte Häufigkeit für die dritte Merkmalsausprägung $(2~\text{bis}~3~\text{h})$ zu berechnen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten, zweiten und dritten Ausprägung: $6+14+9=29$.
  • Dieses Prinzip setzen wir weiter fort, bis wir schließlich bei der letzten Merkmalsausprägung alle $50$ teilnehmenden Personen der Befragung abgedeckt haben.

  Kumulierte relative Häufigkeiten funktionieren nach demselben Prinzip: Wir addieren die relativen Häufigkeiten aller vorangegangenen Merkmalsausprägungen auf. Bei der letzten Merkmalsausprägung erhalten wir dann als Summe aller relativen Häufigkeiten immer $1$.

  Auch kumulierte Prozentangaben funktionieren so: Wir addieren die Prozentangaben aller vorangegangenen Merkmalsausprägungen auf. Bei der letzten Merkmalsausprägung erhalten wir dann immer $100\,\%$.

  Insgesamt ergibt sich damit die folgende Tabelle:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Putzzeit pro Woche} & \text{kumulierte abs. Häufigkeit} & \text{kumulierte rel. Häufigkeit}\\ \hline 0~\text{bis}~1~\text{h}& 6 & 0,\!12 \\ \hline 1~\text{bis}~2~\text{h}& 20 & 0,\!40 \\ \hline 2~\text{bis}~3~\text{h}& 29 & 0,\!58 \\ \hline 3~\text{bis}~4~\text{h}& 37 & 0,\!74 \\ \hline \text{mehr als}~4~\text{h}& 50 & 1 \\ \end{array}$

  $\begin{array}{l|c} \text{Putzzeit pro Woche} & \text{kumulierter prozentualer Anteil} \\ \hline 0~\text{bis}~1~\text{h} & 12\,\%\\ \hline 1~\text{bis}~2~\text{h}& 40\,\%\\ \hline 2~\text{bis}~3~\text{h} & 58\,\%\\ \hline 3~\text{bis}~4~\text{h} & 74\,\%\\ \hline \text{mehr als}~4~\text{h}& 100\,\%\\ \end{array}$

  Du kannst nun auch gut erkennen, dass alle Werte mit zunehmender Merkmalsausprägung ansteigen.

• Gib an, ob in dem Beispiel kumulierte Häufigkeiten angegeben werden können.

  Tipps

  Kumulierte Häufigkeiten können immer dann angegeben werden, wenn das betrachtete Merkmal in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden kann.

  Kumulierte Häufigkeiten können sowohl aus absoluten als auch aus relativen Häufigkeiten gebildet werden.

  Überlege jeweils, ob sich Häufigkeiten zu „mindestens ...“ oder „höchstens ...“ bilden lassen.

  Lösung

  Kumulierte Häufigkeiten können immer dann angegeben werden, wenn das betrachtete Merkmal in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden kann. Die kumulierten Häufigkeiten geben dann an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Kumulierte Häufigkeiten können sowohl aus absoluten als auch aus relativen Häufigkeiten gebildet werden.

  Wir betrachten die gegebenen Beispiele:

  Schrittlängen im Kollegium:

  $\begin{array}{l|c} \text{Schrittlänge} & \text{absolute Häufigkeit} \\ \hline 0~\text{bis}~0,\!5~\text{m}& 12 \\ \hline 0,\!5~\text{bis}~0,\!7~\text{m}& 88 \\ \hline 0,\!7~\text{bis}~0,\!9~\text{m}& 72 \\ \hline \text{mehr als}~ 0,\!9~\text{m}& 2 \\ \end{array}$
  Die Schrittlängen können der Größe nach geordnet werden. Es kann beispielsweise betrachtet werden, wie viele Kollegen und Kolleginnen eine Schrittlänge von $0,\!7$ Meter oder weniger haben. Damit werden die ersten beiden Ausprägungen betrachtet.
  $\quad \Rightarrow $ Beispiel zu kumulierten Häufigkeiten

  Lieblingsfarben in Klasse 9a:

  $\begin{array}{l|c} \text{Lieblingsfarbe} & \text{absolute Häufigkeit} \\ \hline \text{rot}& 6 \\ \hline \text{blau}& 8 \\ \hline \text{gelb}& 12 \\ \hline \text{grün}& 10 \\ \end{array}$
  Die Farben können in keine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Somit können bei diesem Beispiel keine kumulierten Häufigkeiten betrachtet werden.
  $\quad \Rightarrow$ kein Beispiel zu kumulierten Häufigkeiten

  Geschwisteranzahl in Klasse 8b:

  $\begin{array}{l|c} \text{Anzahl Geschwister} & \text{relative Häufigkeit} \\ \hline 0& 0,\!3 \\ \hline 1& 0,\!4 \\ \hline 2& 0,\!2 \\ \hline \text{mehr als } 2& 0,\!1 \\ \end{array}$
  Die Anzahl der Geschwister kann in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Es kann beispielsweise betrachtet werden, wie viele Klassenmitglieder maximal $2$ Geschwister haben. Damit werden die ersten drei Ausprägungen betrachtet und deren Häufigkeiten aufsummiert.
  $\quad \Rightarrow$ Beispiel zu kumulierten Häufigkeiten

  Sitzplatzverteilung in Wagen C:

  $\begin{array}{l|c} \text{Abteilnummer} & \text{relative Häufigkeit} \\ \hline 6 & 0,\!25 \\ \hline 7 & 0,\!25 \\ \hline 8 & 0,\!25 \\ \hline 9& 0,\!25 \\ \end{array}$
  Die Abteilnummern werden zufällig vergeben und können in keine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Somit können bei diesem Beispiel keine kumulierten Häufigkeiten betrachtet werden.
  $\quad \Rightarrow$ kein Beispiel zu kumulierten Häufigkeiten

• Berechne die kumulierten Häufigkeiten.

  Tipps

  Um kumulierte Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.

  Du kannst die kumulierten relativen Häufigkeiten berechnen, indem du die kumulierten absoluten Häufigkeiten durch die Grundmenge teilst.

  Die Grundmenge sind die $32$ Mitglieder der Jugendmannschaft.

  Lösung

  Um kumulierte Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.

  Bei den kumulierten absoluten Häufigkeiten können wir die absoluten Häufigkeiten aus der gegebenen Tabelle verwenden. Es ergibt sich:

  • $12$-Jährige: $4$
  • $13$-Jährige: $4+11=15$
  • $14$-Jährige: $4+11+8=23$
  • $15$-Jährige: $4+11+8+9=32$

  Kumulierte relative Häufigkeiten funktionieren nach demselben Prinzip. Wir können sie berechnen, indem wir die kumulierten absoluten Häufigkeiten durch die Grundmenge, also $32$ Mitglieder, teilen:

  • $12$-Jährige: $4:32 = 0,\!125$
  • $13$-Jährige: $15:32 \approx 0,\!469$
  • $14$-Jährige: $23:32 \approx 0,\!719$
  • $15$-Jährige: $32:32 = 1$

  Insgesamt ergibt sich damit die folgende Tabelle:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Alter} & \text{kumulierte absolute Häufigkeit} & \text{kumulierte relative Häufigkeit} \\ \hline 12& 4 & 0,\!125\\ \hline 13& 15 & 0,\!469\\ \hline 14& 23 & 0,\!719\\ \hline 15& 32 & 1\\ \end{array}$

• Leite aus dem Diagramm die geforderten Informationen ab.

  Tipps

  Um herauszufinden, wie viele Personen an der Umfrage teilgenommen haben, musst du dir die letzte Säule anschauen.

  An weniger als fünf Tagen bedeutet an maximal vier Tagen.

  Lösung

  Bei dem Diagramm handelt es sich um ein Diagramm zu kumulierten absoluten Häufigkeiten. Das bedeutet, es wurden jeweils alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Tagesanzahl aufsummiert. Anschaulich können wir uns dies so vorstellen, dass die Säulen übereinandergestapelt wurden. In einem Diagramm zu kumulierten Häufigkeiten werden die Säulen von links nach rechts daher immer höher.

  Wir betrachten nun die Aussagen:

  Aussage 1:
  Um herauszufinden, wie viele Personen an der Umfrage teilgenommen haben, müssen wir uns die letzte Säule anschauen, da hierfür alle Personen aufaddiert wurden:
  $\Rightarrow$ $110$ Personen haben an der Umfrage teilgenommen.

  Aussage 2:
  Um zu ermitteln, wie viele Personen gar keinen Sport treiben, müssen wir die Säule für $0$ Sporttage betrachten:
  $\Rightarrow$ $10$ Personen treiben gar keinen Sport.

  Aussage 3:
  Um zu bestimmen, wie viele Personen an maximal drei Tagen pro Woche Sport treiben, müssen wir die Säule für $3$ Sporttage betrachten, weil hierbei die Personenanzahlen für $0$, $1$, $2$ und $3$ Tage aufsummiert wurden:
  $\Rightarrow$ $81$ Personen treiben an maximal drei Tagen pro Woche Sport.

  Aussage 4:
  Um herauszufinden, wie viele Personen an weniger als fünf Tagen pro Woche Sport treiben, müssen wir die Säule für $4$ Sporttage betrachten. Weniger als fünf Tage bedeutet nämlich an maximal vier Tagen:
  $\Rightarrow$ $93$ Personen treiben an weniger als fünf Tagen pro Woche Sport.

  Aussage 5:
  Um ermitteln, wie viele Personen jeden Tag der Woche Sport treiben, müssen wir bestimmen, wie groß die Differenz der Säulen $6$ und $7$ ist. Da sich hier die Personenanzahl nicht verändert, gilt:
  $\Rightarrow$ $0$ Personen treiben jeden Tag der Woche Sport.

• Bestimme zu den absoluten Häufigkeiten die zugehörigen relativen Häufigkeiten.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Grundmenge, also die Gesamtzahl der Jugendlichen in der Jugendgruppe, indem du die absoluten Häufigkeiten addierst.

  Du kannst nun die relative Häufigkeit berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst.

  Je größer die absolute Häufigkeit in einem Beispiel ist, umso größer ist auch die relative Häufigkeit.

  Lösung

  Wir unterscheiden die absolute und die relative Häufigkeit wie folgt:

  • Die absolute Häufigkeit ist die genaue Anzahl, mit der ein Ereignis auftritt.
  • Die relative Häufigkeit gibt das Verhältnis zwischen absoluter Häufigkeit und Grundmenge an.

  Man kann also die relative Häufigkeit berechnen, indem man die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilt.

  In unserem Beispiel bestimmen wir die Grundmenge, also die Gesamtanzahl der Jugendlichen in der Jugendgruppe, indem wir die absoluten Häufigkeiten addieren:

  $12+18+8+2 = 40$

  Insgesamt sind also $40$ Jugendliche in der Gruppe.

  Wir bestimmen nun die relativen Häufigkeiten:

  • keine Haustiere: $\quad 18 : 40 = 0,\!3$
  • ein Haustier: $\quad 12 : 40 = 0,\!45$
  • zwei Haustiere: $\quad 8 : 40 = 0,\!2$
  • mindestens drei Haustiere: $\quad 2 : 40 = 0,\!05$

  Übrigens:
  Absolute Häufigkeiten sind natürliche Zahlen zwischen $0$ und der Gesamtzahl in der Grundmenge.
  Relative Häufigkeiten sind Dezimal- oder Prozentzahlen zwischen $0$ und $1$ bzw. $0\,\%$ und $100\,\%$.

• Leite die Antworten aus den kumulierten Häufigkeiten ab.

  Tipps

  Du kannst mithilfe der Tabelle der kumulierten Häufigkeiten eine Tabelle mit „normalen“ Häufigkeiten erstellen.

  Um aus den kumulierten absoluten Häufigkeiten die absoluten Häufigkeiten zu berechnen, musst du subtrahieren.

  Überlege, welche Häufigkeit jeweils gesucht ist.

  Wir können also die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}$ berechnen, indem wir subtrahieren:

  $7-2=5$

  Lösung

  Wir betrachten die Tabelle zu den kumulierten Häufigkeiten:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Sprungweite} & \text{kumulierte absolute Häufigkeit} & \text{kumulierte relative Häufigkeit} \\ \hline 0~\text{bis}~2,\!5~\text{m}& 2 & 0,\!08 \\ \hline 2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}& 7 & 0,\!28 \\ \hline 3,\!0~\text{bis}~3,\!5~\text{m}& 19 & 0,\!76 \\ \hline 3,\!5~\text{bis}~4,\!0~\text{m}& 23 & 0,\!92 \\ \hline \text{mehr als}~4~\text{m}& 25 & 1 \\ \end{array}$

  Für die kumulierten Häufigkeiten wurden alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung aufsummiert. Dabei ist die kumulierte Häufigkeit der ersten Merkmalsausprägung (Sprungweite $0~\text{bis}~2,\!5~\text{m}$) gleich der „normalen“ Häufigkeit.

  
  

  Wir können also die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}$ berechnen, indem wir subtrahieren:

  $7-2=5$

  $\quad \Rightarrow$ $\mathbf{5}$ Kinder sind zwischen $\mathbf{2,\!5}$ und $\mathbf{3,\!0}$ Meter weit gesprungen.

  
  

  Um die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $3,\!0$ und $3,\!5$ Meter zu berechnen, subtrahieren wir die kumulierten Häufigkeiten von $3,\!0~\text{bis}~3,\!5$ Meter und $2,\!5~\text{bis}~3,\!0$ Meter:

  $19-7=12$

  $\quad \Rightarrow$ $\mathbf{12}$ Kinder sind zwischen $\mathbf{3,\!0}$ und $\mathbf{3,\!5}$ Meter weit gesprungen.

  
  

  Genauso gehen wir für Sprungweiten für $3,\!5$ und $4,\!0$ vor. Hierbei verwenden wir die relativen Häufigkeiten und wandeln diese in Prozent um:

  $0,\!92 - 0,\!76 = 0,\!16 = 16\,\%$

  $\quad \Rightarrow$ $\mathbf{16}\,\%$ der Kinder sind zwischen $\mathbf{3,\!5}$ und $\mathbf{4,\!0}$ Meter weit gesprungen.

  
  

  Um zu bestimmen, wie viele Kinder mehr als $3,\!5$ Meter weit gesprungen sind, subtrahieren wir von der Gesamtzahl der Kinder ($25$) die kumulierte absolute Häufigkeit für $3,\!0~\text{bis}~3,\!5$ Meter:

  $25-19=6$

  $\quad \Rightarrow$ $\mathbf{6}$ Kinder sind mehr als $\mathbf{3,\!5}$ Meter weit gesprungen.