Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform

Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform Übung

• Gib den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$ an.

  Tipps

  Zeichne dir Hilfslinien in das Koordinatensystem, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Welche Sätze und Verhältnisse gelten in einem rechtwinkligen Dreieck?

  Die Länge des Zeigers entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Verwende den Satz des Pythagoras, um den Betrag von $z$ zu berechnen.

  Du kannst einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck auf mehrere Wege berechnen. Beispielsweise mit Hilfe des Kosinus: $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Die Ankathete entspricht dem Realteil von $z$ und die Gegenkathete dem Imaginärteil.

  Lösung

  Da die Länge des Zeigers zu $z$ der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, können wir mithilfe des Satzes von Pythagoras den Betrag von $z$ berechnen:

  $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}= 2$.

  Nun können wir beispielsweise mit Hilfe des Kosinus den von der komplexen Zahl aufgespannten Winkel $\phi$ berechnen:

  $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\sqrt 3}{2} \qquad \Leftrightarrow \phi=30°$.

• Bestimme die korrekte Darstellung der komplexen Zahl in Normalform, Polarform und Exponentialform.

  Tipps

  Beginne mit der Normalform, indem du den gegebenen Real- und Imaginärteil passend einsetzt.

  Berechne $r$ für die Polar- und Exponentialform, indem du den Betrag der komplexen Zahl, also die Wurzel aus der Summe des quadrierten Real- und des quadrierten Imaginärteils, berechnest.

  Der Winkel $\phi$, der von der komplexen Zahl aufgespannt wird, beträgt {30}°.

  Wie lauten die Polar- und Exponentialform allgemein? Setze $r$ und $\phi$ ein.

  Lösung

  Wir stellen als erstes die komplexe Zahl in Normalform auf:

  $z=a+ib = \sqrt 3 +1\cdot i$.

  Um die komplexe Zahl in Polarform darstellen zu können, müssen wir $r =|z|$ und den Winkel $\phi$, der von der komplexen Zahl aufgespannt wird, berechnen:

  $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}= 2$,

  $\cos(\phi)=\frac{a}{r}=\frac{\sqrt 3}{2} \qquad \Leftrightarrow \phi=30°$.

  Nun setzen wir die Werte ein und erhalten $z$ in Polarform:

  $z=r\cdot (\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))=2\cdot (\cos30° + i \cdot \sin30°)$

  und in Exponentialform:

  $z=r \cdot e^{i\cdot \phi}=2\cdot e^{30°\cdot i}$.

• Bestimme, welche komplexe Zahl jeweils in der Gauß'schen Ebene dargestellt ist.

  Tipps

  Bestimme jeweils $|z|$ und den Winkel $\phi$ jeder komplexen Zahl. Vergleiche dann anschließend mit den gegebenen Zahlen.

  Merke dir für die Exponentialform von komplexen Zahlen folgenden Merksatz: $r$ mal $e^i$nheitszeiger mit dem Winkel $\phi$.

  Die Exponentialform einer komplexen Zahl lautet $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$

  Lösung

  Eine komplexe Zahl kann man in Exponentialform notieren: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$, wobei $r$ dem Betrag von $z$ entspricht.

  Wir bestimmen dafür also als Erstes anhand der Darstellungen jeweils den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.

  1. Gegeben sind $\phi = 37°$ und $z=4+3i$. Somit beträgt $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$ und die Exponentialform lautet: $z=5 \cdot e^{37°\cdot i}$.
  2. Nun sind $|z|=10$ und der Realteil $a=5$ gegeben. Mithilfe des Kosinus berechnen wir den Winkel: $\cos(\phi)=\frac{5}{10} ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \phi= 60°$. Somit lautet die Exponentialform: $z=10 \cdot e^{60°\cdot i}$.
  3. Gegeben ist hier der Real- und Imaginärteil der komplexe Zahl $z=1+3i$. Wir erhalten für den Betrag $|z|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ und für den Winkel $\phi \approx 72°$. Die Exponentialform lautet daher: $z=\sqrt{10} \cdot e^{72°\cdot i}$.

  Auf dieselbe Weise berechnen wir $|z|$ und $\phi$ weiterhin.

• Ermittle, welche Formen die gleiche komplexe Zahl darstellen.

  Tipps

  Betrachte die komplexen Zahlen in Normalform. Bestimme jeweils den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.

  $\phi$ kannst du mithilfe des Kosinus $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ berechnen.

  $r$ entspricht dem Betrag von $z$. Wie berechnet man $|z|$?

  Lösung

  Wir haben vier komplexe Zahlen in Normalform gegeben. Man berechnet jeweils deren Betrag von $z$ und den jeweiligen Winkel $\phi$, um damit die Polar- und Exponentialform aufstellen zu können.

  Allgemein lauten die Formeln zur Berechnung:

  $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}~~~$ und $~~~\cos(\phi)=\frac{a}{|z|}$.

  $a$ gibt jeweils den Realteil und $b$ den Imaginärteil von $z$ an. Nachdem die Werte mithilfe der Formeln berechnet wurden, setzt man diese in die allgemeinen Formeln für Polar- und Exponentialform ein:

  • Polarform: $z=r\cdot(\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))$

  • Exponentialform: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$

• Vervollständige die Angaben zu komplexen Zahlen.

  Tipps

  In z=a+ib gibt a den Realteil und b den Imaginärteil von z an.

  Merke dir für die Exponentialform von komplexen Zahlen folgenden Merksatz: r mal $e^i$nheitszeiger mit dem Winkel $\phi$.

  Lösung

  Wir kennen nun drei verschiedene Formen, um komplexe Zahlen anzugeben:

  1. Die Normalform: $z=a+ib$, wobei $a \in \mathbb R$ den Realteil und $b \in \mathbb R$ den Imaginärteil von $z$ angibt.
  2. Die Polarform: $z=r\cdot(\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))$ mit $r=|z|$ und dem Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.
  3. Die Exponentialform: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$ ebenfalls mit $r=|z|$ und dem Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.

  Wir nutzen die Gauß'sche Zahlenebene, bei der die horizontale Achse den Realteil a von z und die vertikale Achse den Imaginärteil b von z angibt.

• Bestimme die Normalform der gegebenen komplexen Zahlen.

  Tipps

  Verwende zum Zeichnen kariertes Papier oder sogar Millimeterpapier.

  Die horizontale Achse gibt den Realteil von z an.

  Lösung

  Man zeichnet als Erstes eine Gauß'sche Ebene, wobei die horizontale Achse stets den Realteil und die vertikale Achse den Imaginärteil von z angibt.

  Anschließend zeichnet man beispielsweise für $z=\sqrt 5 \cdot e^{63°\cdot i}$ in einem Winkel von 63° einen Zeiger, welcher $\sqrt 5 \approx 2,2$ Längeneinheiten lang ist. Mithilfe von Hilfslinien ermitteln wir nun den Real- und Imaginärteil von z. In diesem Fall entspricht der Realteil a=1 und der Imaginärteil b=2. Somit lautet die komplexe Zahl in Normalform:

  $z=1+2i$.

  Auf dieselbe Weise ermitteln wir die weiteren Normalformen.