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Integralrechnung – Anwendung in der Physik
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Grundlagen zum Thema Integralrechnung – Anwendung in der Physik
Du wirst überrascht sein, wozu man die Integralrechnung im Alltag alles benutzen kann. Dir werden zunächst einige Beispiele gezeigt, bevor wir uns zwei Beispiele genauer ansehen. Wir betrachten dabei die Arbeit bei konstanter Kraft und die Arbeit bei veränderlicher Kraft. Zu jedem dieser Themen berechnen wir ein Beispiel. Du wirst merken, dass es gar nicht so schwierig ist und Physik wirklich Spaß machen kann.
Integralrechnung – Anwendung in der Physik Übung
-
Gib die Formel für die Berechnung der verrichteten Arbeit $W$ an.
TippsStellst du die Kraft in Abhängigkeit von dem Weg in einem Koordinatensystem dar, so entspricht die Fläche unter dem Graphen der verrichteten Arbeit.
Ist die Kraft konstant, so erhältst du im Koordinatensystem eine zur $x$-Achse parallele Gerade für $F$.
LösungWirkt eine Kraft $F$ längs eines Weges $s$, so wird Arbeit $W$ verrichtet. Sie ist definiert als das Produkt dieser beiden Größen:
- $W=F\cdot s$
- $W=\int_a^bF(s)ds$
-
Berechne die verrichtete Arbeit.
TippsWird ein Körper angehoben, wird Hubarbeit verrichtet. Diese entspricht dem Produkt aus Kraft und Weg.
Achte bei der Zuordnung der gegebenen Größen auf die Einheiten.
$n$ gibt die Anzahl dafür an, wie oft Mike die Hantel hochhebt. Diesen Wert benötigst du für die Berechnung der gesamten Hubarbeit.
LösungFolgende Größen sind uns bekannt:
- Masse der Hantel: $m=70~\text{kg}$
- Höhe, bis zu der Mike die Hantel hebt: $s=2,2~\text{m}$
- Anzahl dafür, wie oft Mike die Hantel hebt: $n=10$
Damit können wir zunächst die Kraft berechnen, die Mike aufbringen muss, um die Hantel zu heben. Wir erhalten:
$\begin{array}{lll} F &=& m\cdot a \\ &\approx & 70~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}} \\ &= & 686,7 ~\text{N} \end{array}$
Nun können wir mit der Höhe und der Kraft zunächst die Arbeit für das einmalige Hochheben der Hantel berechnen:
$\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &\approx & 686,7 ~\text{N}\cdot 2,2~\text{m} \\ &=& 1510,74 ~\text{J} \end{array}$
Multipliziert mit $n=10$ ergibt sich die Hubarbeit, die bei $10$ Mal Hochheben der Hantel verrichtet wird:
$\begin{array}{lll} W_{\text{gesamt}} &=& 10\cdot W \\ &\approx & 10\cdot 1510,74 ~\text{J} \\ &=& 15107,4~\text{J} \end{array}$
-
Ermittle die verrichtete Hubarbeit.
TippsDie Hubarbeit wird wie folgt berechnet:
- $W=F\cdot s$
Die Gewichtskraft eines Körpers mit der Masse $m$ kannst du wie folgt berechnen:
- $F_G=m\cdot a$
Die Beschleunigung auf der Erde beträgt rund $9,81~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$.
Beachte:
- Rechne den Weg immer in Meter um.
- Ist die Masse oder die Gewichtskraft gegeben?
LösungDie Hubarbeit wird wie folgt berechnet:
- $W=F\cdot s$
- $F_G=m\cdot a$
Wir müssen immer genau hinschauen, welche Größen gegeben sind. Ist die Masse gegeben, so müssen wir die Gewichtskraft berechnen. Manchmal ist aber auch schon die Gewichtskraft bekannt und wir können die verrichtete Arbeit berechnen. Bei dem Weg müssen wir auf die Einheit achten und gegebenenfalls in Metern umrechnen.
Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:
Beispiel 1: Ein Körper wiegt $20~\text{kg}$ und wird $60~\text{m}$ angehoben.
Gegeben: $m=20~\text{kg}$ und $s=60~\text{m}$
Gesucht: $W$
Lösung:
$\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& m\cdot a\cdot s \\ &\approx & 20~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}}\cdot 60~\text{m} \\ &=& 11772~ \text{J} \end{array}$
Beispiel 2: Ein Körper übt eine Gewichtskraft von $392,4~\text{N}$ aus und wird $20~\text{m}$ angehoben.
Gegeben: $F=392,4~\text{N}$ und $s=20~\text{m}$
Gesucht: $W$
Lösung:
$\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& 392,4~\text{N}\cdot 20~\text{m} \\ &=& 7848 ~\text{J} \end{array}$
Beispiel 3: Ein Körper wiegt $30~\text{kg}$ und wird $300~\text{cm}$ angehoben.
Gegeben: $m=30~\text{kg}$ und $s=300~\text{cm}=3~\text{m}$
Gesucht: $W$
Lösung:
$\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& m\cdot a\cdot s \\ &\approx& 30~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}}\cdot 3~\text{m} \\ &=& 882,9 ~\text{J} \end{array}$
Beispiel 4: Ein Körper übt eine Gewichtskraft von $490,5~\text{N}$ aus und wird $50~\text{cm}$ angehoben.
Gegeben: $F=490,5~\text{N}$ und $s=50~\text{cm}=0,5~\text{m}$
Gesucht: $W$
Lösung:
$\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& 490,5~\text{N}\cdot 0,5~\text{m} \\ &=& 245,25~ \text{J} \end{array}$
-
Bestimme die in den jeweiligen Abschnitten und insgesamt verrichtete Hubarbeit.
TippsIn jedem Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft $F_i$ konstant ist, wird die Arbeit $W_i$ verrichtet. Diese ist wie folgt definiert:
$W_i=F_i\cdot \Delta s$
Die gesamte Arbeit berechnet sich aus der Summe der in den jeweiligen Abschnitten verrichteten Arbeit:
$W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$
LösungIn jedem Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft $F_i$ konstant ist, wird die Arbeit $W_i$ verrichtet. Diese ist wie folgt definiert:
$W_i=F_i\cdot \Delta s$
Die gesamte Arbeit berechnet sich aus der Summe der in den jeweiligen Abschnitten verrichteten Arbeit:
$W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$
Damit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:
$\begin{array}{l|l|l|l} \text{Weg in cm}& \text{Masse in kg} & \text{Kraft in N} & \text{Arbeit in J} \\ \hline 0 \text{ bis } 50 & 20 & 196,2 & 98,1 \\ 50 \text{ bis } 100 & 30 & 294,3 & 147,15 \\ 100 \text{ bis } 200 & 50 & 490,5 & 490,5 \end{array}$
Die gesamte Arbeit, die Mike verrichtet, beträgt:
- $W_{\text{gesamt}}=98,1+147,15+490,5= 735,75 $
-
Gib die Formel für die Berechnung der Arbeit bei sprunghaft veränderlicher Kraft an.
TippsWenn sich eine Kraft sprunghaft ändert, können wir Abschnitte $\Delta s$ festlegen, in denen die Kraft jeweils konstant bleibt.
Die Kurve einer sprunghaft veränderlichen Kraft $F$ über dem Weg $s$ wird Treppenkurve genannt. Die Fläche jeder Säule der Treppenkurve entspricht der in diesem Abschnitt $\Delta s$ verrichteten Arbeit $W_i$.
LösungWenn sich die Kraft sprunghaft ändert, so können wir für den Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft konstant bleibt, die Arbeit wie folgt berechnen:
- $W_i=F_i\cdot \Delta s$
- $W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$
-
Erschließe mit Hilfe des Integrals von $F(s)$ die verrichtete Hubarbeit.
TippsDu kannst den Funktionsterm zunächst vollständig vereinfachen, indem du ausmultiplizierst und gleichartige Terme zusammenfasst.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
$\int_1^3(-(s-2)^2+1)ds=\int_1^3(-s^2+4s-3)ds=\left[ -\frac 13s^3+2s^2-3s\right]_1^3$
Sieh dir folgendes Beispiel an:
$\left[ -\frac 13s^3+2s^2-3s\right]_1^3=-\frac 13\cdot 3^3+2\cdot 3^2-3\cdot 3-(-\frac 13\cdot 1^3+2\cdot 1^2-3\cdot 1)=\frac 43$
LösungDer Graph stellt die Verteilung einer veränderlichen Kraft $F$ in Abhängigkeit vom Weg $s$ dar. Die Arbeit, die im Abschnitt $\Delta s=6~\text{m}-2~\text{m}$ verrichtet wird, kann wie folgt berechnet werden:
$W=\int_2^6F(s)ds$
Denn die Arbeit entspricht immer der Fläche unterhalb des Graphen von $F(s)$, also dem Integral von $F(s)$.
In unserem Beispiel wird die veränderliche Kraft $F$ durch $F(s)=-0,5(s-4)^2+2$ beschrieben. Im Abschnitt von $s_1=2~\text{m}$ bis $s_2=6~\text{m}$ wird folgende Hubarbeit verrichtet:
- $W=\int_2^6(-0,5(s-4)^2+2)ds$
$\begin{array}{llll} & W &=& \int_2^6(-0,5(s-4)^2+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5(s^2-8s+16)+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5s^2+4s-8+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5s^2+4s-6)ds \\ & &=& \left[ -\frac 16s^3+2s^2-6s\right]_2^6 \end{array}$
Damit folgt:
$\begin{array}{llll} & W &=& -\frac 16\cdot 6^3+2\cdot 6^2-6\cdot 6-(-\frac 16\cdot 2^3+2\cdot 2^2-2\cdot 2) \\ & &=& -36+72-36-(-\frac 43+8-4) \\ & &=& \frac {16}3 \\ & &=&5,\overline{3} \end{array}$
Also wird im Abschnitt $\Delta s$ eine Hubarbeit von $5,\overline{3}~\text{J}$ verrichtet.
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