Integralrechnung – Anwendung in der Physik

Integralrechnung – Anwendung in der Physik Übung

• Gib die Formel für die Berechnung der verrichteten Arbeit $W$ an.

  Tipps

  Stellst du die Kraft in Abhängigkeit von dem Weg in einem Koordinatensystem dar, so entspricht die Fläche unter dem Graphen der verrichteten Arbeit.

  Ist die Kraft konstant, so erhältst du im Koordinatensystem eine zur $x$-Achse parallele Gerade für $F$.

  Lösung

  Wirkt eine Kraft $F$ längs eines Weges $s$, so wird Arbeit $W$ verrichtet. Sie ist definiert als das Produkt dieser beiden Größen:

  • $W=F\cdot s$

  Ist die Kraft $F(s)$ allerdings veränderlich, also nicht konstant über dem Weg $s$, dann entspricht die Arbeit der Fläche unterhalb des Graphen $F(s)$. Dazu nutzt du die Integralrechnung, es gilt dann:

  • $W=\int_a^bF(s)ds$

• Berechne die verrichtete Arbeit.

  Tipps

  Wird ein Körper angehoben, wird Hubarbeit verrichtet. Diese entspricht dem Produkt aus Kraft und Weg.

  Achte bei der Zuordnung der gegebenen Größen auf die Einheiten.

  $n$ gibt die Anzahl dafür an, wie oft Mike die Hantel hochhebt. Diesen Wert benötigst du für die Berechnung der gesamten Hubarbeit.

  Lösung

  Folgende Größen sind uns bekannt:

  • Masse der Hantel: $m=70~\text{kg}$
  • Höhe, bis zu der Mike die Hantel hebt: $s=2,2~\text{m}$
  • Anzahl dafür, wie oft Mike die Hantel hebt: $n=10$

  Zudem wissen wir, dass die Beschleunigung auf der Erde rund $9,81~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$ beträgt.

  Damit können wir zunächst die Kraft berechnen, die Mike aufbringen muss, um die Hantel zu heben. Wir erhalten:

  $\begin{array}{lll} F &=& m\cdot a \\ &\approx & 70~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}} \\ &= & 686,7 ~\text{N} \end{array}$

  Nun können wir mit der Höhe und der Kraft zunächst die Arbeit für das einmalige Hochheben der Hantel berechnen:

  $\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &\approx & 686,7 ~\text{N}\cdot 2,2~\text{m} \\ &=& 1510,74 ~\text{J} \end{array}$

  Multipliziert mit $n=10$ ergibt sich die Hubarbeit, die bei $10$ Mal Hochheben der Hantel verrichtet wird:

  $\begin{array}{lll} W_{\text{gesamt}} &=& 10\cdot W \\ &\approx & 10\cdot 1510,74 ~\text{J} \\ &=& 15107,4~\text{J} \end{array}$

• Ermittle die verrichtete Hubarbeit.

  Tipps

  Die Hubarbeit wird wie folgt berechnet:

  • $W=F\cdot s$

  Die Kraft $F$ entspricht hier der Gewichtskraft des Körpers.

  Die Gewichtskraft eines Körpers mit der Masse $m$ kannst du wie folgt berechnen:

  • $F_G=m\cdot a$

  Dabei ist $a$ die Beschleunigung auf der Erde.

  Die Beschleunigung auf der Erde beträgt rund $9,81~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$.

  Beachte:

  • Rechne den Weg immer in Meter um.
  • Ist die Masse oder die Gewichtskraft gegeben?

  Lösung

  Die Hubarbeit wird wie folgt berechnet:

  • $W=F\cdot s$

  Die Kraft $F$ entspricht in unseren Beispielen der Gewichtskraft des Körpers. Die Gewichtskraft eines Körpers mit der Masse $m$ kannst du wie folgt berechnen:

  • $F_G=m\cdot a$

  Dabei ist $a$ die Beschleunigung auf der Erde. Sie beträgt rund $9,81~\frac{\text{N}}{\text{kg}}$.

  Wir müssen immer genau hinschauen, welche Größen gegeben sind. Ist die Masse gegeben, so müssen wir die Gewichtskraft berechnen. Manchmal ist aber auch schon die Gewichtskraft bekannt und wir können die verrichtete Arbeit berechnen. Bei dem Weg müssen wir auf die Einheit achten und gegebenenfalls in Metern umrechnen.

  Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

  Beispiel 1: Ein Körper wiegt $20~\text{kg}$ und wird $60~\text{m}$ angehoben.

  Gegeben: $m=20~\text{kg}$ und $s=60~\text{m}$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& m\cdot a\cdot s \\ &\approx & 20~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}}\cdot 60~\text{m} \\ &=& 11772~ \text{J} \end{array}$

  Beispiel 2: Ein Körper übt eine Gewichtskraft von $392,4~\text{N}$ aus und wird $20~\text{m}$ angehoben.

  Gegeben: $F=392,4~\text{N}$ und $s=20~\text{m}$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& 392,4~\text{N}\cdot 20~\text{m} \\ &=& 7848 ~\text{J} \end{array}$

  Beispiel 3: Ein Körper wiegt $30~\text{kg}$ und wird $300~\text{cm}$ angehoben.

  Gegeben: $m=30~\text{kg}$ und $s=300~\text{cm}=3~\text{m}$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& m\cdot a\cdot s \\ &\approx& 30~\not\text{kg}\cdot 9,81~\frac{\text{N}}{\not\text{kg}}\cdot 3~\text{m} \\ &=& 882,9 ~\text{J} \end{array}$

  Beispiel 4: Ein Körper übt eine Gewichtskraft von $490,5~\text{N}$ aus und wird $50~\text{cm}$ angehoben.

  Gegeben: $F=490,5~\text{N}$ und $s=50~\text{cm}=0,5~\text{m}$

  Gesucht: $W$

  Lösung:

  $\begin{array}{lll} W &=& F\cdot s \\ &=& 490,5~\text{N}\cdot 0,5~\text{m} \\ &=& 245,25~ \text{J} \end{array}$

• Bestimme die in den jeweiligen Abschnitten und insgesamt verrichtete Hubarbeit.

  Tipps

  In jedem Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft $F_i$ konstant ist, wird die Arbeit $W_i$ verrichtet. Diese ist wie folgt definiert:

  $W_i=F_i\cdot \Delta s$

  Die gesamte Arbeit berechnet sich aus der Summe der in den jeweiligen Abschnitten verrichteten Arbeit:

  $W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$

  Lösung

  In jedem Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft $F_i$ konstant ist, wird die Arbeit $W_i$ verrichtet. Diese ist wie folgt definiert:

  $W_i=F_i\cdot \Delta s$

  Die gesamte Arbeit berechnet sich aus der Summe der in den jeweiligen Abschnitten verrichteten Arbeit:

  $W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$

  Damit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:

  $\begin{array}{l|l|l|l} \text{Weg in cm}& \text{Masse in kg} & \text{Kraft in N} & \text{Arbeit in J} \\ \hline 0 \text{ bis } 50 & 20 & 196,2 & 98,1 \\ 50 \text{ bis } 100 & 30 & 294,3 & 147,15 \\ 100 \text{ bis } 200 & 50 & 490,5 & 490,5 \end{array}$

  Die gesamte Arbeit, die Mike verrichtet, beträgt:

  • $W_{\text{gesamt}}=98,1+147,15+490,5= 735,75 $

• Gib die Formel für die Berechnung der Arbeit bei sprunghaft veränderlicher Kraft an.

  Tipps

  Wenn sich eine Kraft sprunghaft ändert, können wir Abschnitte $\Delta s$ festlegen, in denen die Kraft jeweils konstant bleibt.

  Die Kurve einer sprunghaft veränderlichen Kraft $F$ über dem Weg $s$ wird Treppenkurve genannt. Die Fläche jeder Säule der Treppenkurve entspricht der in diesem Abschnitt $\Delta s$ verrichteten Arbeit $W_i$.

  Lösung

  Wenn sich die Kraft sprunghaft ändert, so können wir für den Abschnitt $\Delta s$, in dem die Kraft konstant bleibt, die Arbeit wie folgt berechnen:

  • $W_i=F_i\cdot \Delta s$

  Um die gesamte Arbeit zu erhalten, wird die Arbeit eines jeden Abschnitts addiert:

  • $W_{\text{gesamt}}=W_1+W_2+W_3+W_4+\dots$

  Die Kurve einer sprunghaft veränderlichen Kraft $F$ über dem Weg $s$ wird Treppenkurve genannt. Die Fläche jeder Säule der Treppenkurve entspricht der in diesem Abschnitt $\Delta s$ verrichteten Arbeit $W_i$.

• Erschließe mit Hilfe des Integrals von $F(s)$ die verrichtete Hubarbeit.

  Tipps

  Du kannst den Funktionsterm zunächst vollständig vereinfachen, indem du ausmultiplizierst und gleichartige Terme zusammenfasst.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\int_1^3(-(s-2)^2+1)ds=\int_1^3(-s^2+4s-3)ds=\left[ -\frac 13s^3+2s^2-3s\right]_1^3$

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\left[ -\frac 13s^3+2s^2-3s\right]_1^3=-\frac 13\cdot 3^3+2\cdot 3^2-3\cdot 3-(-\frac 13\cdot 1^3+2\cdot 1^2-3\cdot 1)=\frac 43$

  Lösung

  Der Graph stellt die Verteilung einer veränderlichen Kraft $F$ in Abhängigkeit vom Weg $s$ dar. Die Arbeit, die im Abschnitt $\Delta s=6~\text{m}-2~\text{m}$ verrichtet wird, kann wie folgt berechnet werden:

  $W=\int_2^6F(s)ds$

  Denn die Arbeit entspricht immer der Fläche unterhalb des Graphen von $F(s)$, also dem Integral von $F(s)$.

  In unserem Beispiel wird die veränderliche Kraft $F$ durch $F(s)=-0,5(s-4)^2+2$ beschrieben. Im Abschnitt von $s_1=2~\text{m}$ bis $s_2=6~\text{m}$ wird folgende Hubarbeit verrichtet:

  • $W=\int_2^6(-0,5(s-4)^2+2)ds$

  Um den genauen Wert der Hubarbeit zu ermitteln, können wir den Funktionsterm zunächst vollständig vereinfachen, indem wir ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen:

  $\begin{array}{llll} & W &=& \int_2^6(-0,5(s-4)^2+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5(s^2-8s+16)+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5s^2+4s-8+2)ds \\ & &=& \int_2^6(-0,5s^2+4s-6)ds \\ & &=& \left[ -\frac 16s^3+2s^2-6s\right]_2^6 \end{array}$

  Damit folgt:

  $\begin{array}{llll} & W &=& -\frac 16\cdot 6^3+2\cdot 6^2-6\cdot 6-(-\frac 16\cdot 2^3+2\cdot 2^2-2\cdot 2) \\ & &=& -36+72-36-(-\frac 43+8-4) \\ & &=& \frac {16}3 \\ & &=&5,\overline{3} \end{array}$

  Also wird im Abschnitt $\Delta s$ eine Hubarbeit von $5,\overline{3}~\text{J}$ verrichtet.