Hypothesentest – Signifikanzniveau

Hypothesentest – Signifikanzniveau Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei einem linksseitigen Hypothesentest.

  Tipps

  Lege bei einem Hypothesentest immer zuerst das Signifikanzniveau fest.

  Das größtmögliche $k$ mit $P(X\leq k)\leq S$ erhältst du aus dem Signifikanzniveau. Mit diesem Wert $k=33$ legst du den Ablehnungsbereich fest.

  Erst im letzten Schritt kannst du die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ berechnen.

  Lösung

  Bei einem Hypothesentest mit vorgegebenen Parametern $p$ und $n$ bestimmt das Signifikanzniveau $S$ die anderen Größen. Daher musst du immer zuerst das Signifikanzniveau $\boldsymbol{S}$ wählen.
  Mit dem Wert $S=10\,\%$ kannst du nun das größtmögliche $\boldsymbol{k}$ bestimmen, für das $P(X\leq k)\leq S$ gilt.

  Diesen Wert $k=33$ liest du aus dem Histogramm ab. Der Wert $k=33$ ist der größte Wert im Ablehnungsbereich. Du erhältst also $\overline A=[0;33]$.
  Der Annahmebereich ist die Komplementärmenge zum Ablehnungsbereich, also $A=[34;100]$.

  Schließlich kannst du die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs berechnen: $P(\overline A)$ ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ des Hypothesentests.

  
  

  Du erhältst also folgende richtige Reihenfolge:

  1. Lege das Signifikanzniveau auf $S=10\,\%$ fest.

  2. Bestimme das größtmögliche $k$ mit $P(X\leq k)\leq S$.

  3. Lege den Ablehnungsbereich als $\overline A=[0;33]$ fest.
  $\quad$Dadurch ergibt sich auch automatisch der Annahmebereich $A = [34;100]$.

  4. Berechne die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha = P(\overline A)$.

• Gib die Bedeutung der Größen bei einem einseitigen Hypothesentest an.

  Tipps

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs.

  Ein Test heißt linksseitig, wenn die $p$-Werte der Alternativhypothese auf dem Zahlenstrahl links von dem Wert der Nullhypothese liegen.

  Bei einem rechtsseitigen Test ist die obere Grenze von $A$ das kleinstmögliche $k$ mit ${P(X \leq k) > 1 - S}$.

  Lösung

  Bei einem linksseitigen Hypothesentest liegen die $p$-Werte der Alternativhypothese auf dem Zahlenstrahl links von dem Wert der Nullhypothese. In unserem Beispiel ist also $H_1$: $p<0,\!4$.
  Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ des Ablehnungsbereiche.
  Das Signifikanzniveau $\boldsymbol{S}$ legt fest, wie groß die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ des Ablehnungsbereichs höchstens sein darf. Der Wert von $S$ ist daher eine Obergrenze für $P(\overline A)$, das heißt für die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$.
  Mit dem Signifikanzniveau $S$ wird nicht nur die Größe der Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ festgelegt, sondern auch der Ablehnungsbereich $\overline A$ selbst. Das größtmögliche $\boldsymbol{k}$ mit ${P(X \leq k) \leq S}$ ist die obere Intervallgrenze von $\overline A$.

  
  

  Wir erhalten also folgende Zuordnung:

  • Obergrenze der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ $\Leftrightarrow$ Signifikanzniveau $S$
  • Test mit $H_1$: $p < 0,\!4$ $\Leftrightarrow$ linksseitiger Hypothesentest
  • größtmögliches $k$ mit ${P(X \leq k) \leq S}$ $\Leftrightarrow$ Intervallgrenze von $\overline A$
  • $P(\overline A)$ $\Leftrightarrow$ Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$

• Entscheide, welche Alternativhypothese, welches Signifikanzniveau und welche Grenze des Annahmebereichs zu den Diagrammen passen.

  Tipps

  Die Spitze des Ungleichheitszeichens in der Alternativhypothese zeigt immer in Richtung des Ablehnungsbereichs.

  Je größer der Ablehnungsbereich ist, desto größer ist das Signifikanzniveau.
  Das heißt, $S = 1\,\%$ gehört zu dem Histogramm mit dem kleinsten Ablehnungsbereich und $S = 10\,\%$ zu dem Histogramm mit dem größten Ablehnungsbereich.

  Die Grenze des Annahmebereichs ist der kleinste Wert beziehungsweise der größte Wert, über dem das Histogramm noch eine grüne Säule zeigt.

  Dieses Histogramm gehört zu einem Test mit Alternativhypothese ${H_1 : p>0,\!8}$, Signifikanzniveau $S=10~\%$ und Annahmebereich ${A= [0;85]}$, also $k=85$.

  Lösung

  Bei einem linksseitigen Hypothesentest liegt der im Histogramm rot eingefärbte Ablehnungsbereich links, während der grün eingefärbte Annahmebereich rechts ist. Bei einem solchen Test ist die Alternativhypothese $H1$: $p<0,\!7$.
  Als Merkregel gilt: Bei einem einseitigen Hypothesentest zeigt die Spitze des Ungleichheitszeichens immer in Richtung des Ablehnungsbereichs.

  Je größer das Signifikanzniveau ist, desto größer ist auch der rot eingefärbte Ablehnungsbereich. Der kleinste Ablehnungsbereich gehört also zu $S=1\,\%$, der mittlere zu $S=5\,\%$ und der größte zu $S=10\,\%$.
  Das Signifikanzniveau $S$ bestimmt die Größe des Annahmebereichs und des Ablehnungsbereichs. In der Aufgabe ist die Grenze $k$ des Annahmebereichs gefragt. Dies ist der kleinste beziehungsweise der größte Wert, der noch zu dem Annahmebereich beziehungsweise zu dem Ablehnungsbereich gehört. Den Wert kannst du direkt aus dem Histogramm ablesen: Er steht unter der grünen Säule, die direkt neben einer roten Säule liegt.

  
  

  Die korrekten Ergebnisse sind:

  
  

  1. Test:

  • Alternativhypothese $H_1$: $p<0,\!7$
  • Signifikanzniveau: $S=10\,\%$
  • Untergrenze: $k=64$

  2.Test:

  • Alternativhypothese $H_1$: $p>0,\!7$
  • Signifikanzniveau: $S=1\,\%$
  • Obergrenze: $k=80$

  3.Test:

  • Alternativhypothese $H_1$: $p<0,\!7$
  • Signifikanzniveau: $S=5\,\%$
  • Untergrenze: $k=62$

• Bestimme die Obergrenze das Annahmebereichs.

  Tipps

  Die Obergrenze $k$ von $A=[0;k]$ ist der kleinstmögliche Wert mit $P([0;k]) \geq 1-S$.

  Bei einem Signifikanzniveau von $S=15\,\%$ muss gelten:

  $P(A) \geq 85\,\%$ bzw. $P(\overline A)\leq 15\,\%$

  In diesem Beispiel mit $S=5\,\%$ ist $k= 77$, denn ${P([0;76]) = 0{,}924 \leq 95\,\%}$ und ${P([0;77]) = 0{,}952 > 95\,\%}$.

  Lösung

  Das Signifikanzniveau $S$ legt den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline A$ des Hypothesentests fest. Bei einem rechtsseitigen Test mit Stichprobenumfang $n=100$ ist $A=[0;k]$ und $\overline A=[k+1;100]$. Die Obergrenze $k$ von $A=[0;k]$ ist der kleinstmögliche Wert, für den $P([0;k])\geq 1-S$ beziehungsweise $P([k+1;100]) \leq S$ gilt.

  
  

  Bei einem Signifikanzniveau von $S=1\,\%$ muss die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ des Annahmebereichs mindestens $1-S$, also mindestens $100\,\%-1\,\%=99\,\%$ betragen. Denn diese Bedingung stellt sicher, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha = P(\overline A)$ den Wert $S$ des Signifikanzniveaus nicht überschreitet.
  Das kleinstmögliche $k$ mit $A = [0;k]$ und $P(A) \geq 99~\%$ ist $k=51$. Denn aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass ${P([0;51]) = 0,990 \geq 99\,\%}$, aber $P([0;50])=0,\!983<99\,\%$.

  
  

  Bei dem Signifikanzniveau $S=5\,\%$ lautet die Bedingung $P(A) \geq 95\,\%$. Der zugehörige Annahmebereich ist $A=[0;48]$, denn $P([0;48])=0,\!958 \geq 95\,\%$, aber $P([0;47]) = 0,\!936 < 95\,\%$.

  
  

  Bei einem Signifikanzniveau von $S=10\,\%$ schließlich ist die Bedingung für den Annahmebereich $P(A) \geq 90\,\%$. Der passende Annahmebereich dazu ist $A=[0;46]$, denn $P([0;46])=0,\!907 \geq 90\,\%$, aber ${P([0;45]) = 0,\!869 < 90\,\%}$.

• Beschrifte den linksseitigen Hypothesentest mit den entsprechenden Fachbegriffen.

  Tipps

  Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist kleiner als das Signifikanzniveau.

  Der Annahmebereich ist größer als der Ablehnungsbereich.

  Der Annahmebereich ist grün markiert.

  Lösung

  Das Signifikanzniveau $S$ legt sowohl den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich als auch die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ fest. Als Wert für das Signifikanzniveau wählt man zum Beispiel $S=10\,\%$.
  Der Ablehnungsbereich $\overline A$ ist der größtmögliche Teil des Histogramms, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit nicht größer als $S$ ist.

  Der Annahmebereich $A$ ist die Gegenmenge zum Ablehnungsbereich $\overline A$. Im Histogramm ist der Annahmebereich grün markiert und der Ablehnungsbereich ist rot markiert.

  Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ des Ablehnungsbereichs ist die sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$. Sie ist nach Konstruktion immer kleiner oder gleich $S$. Das heißt, es gilt $\alpha = P(\overline A) \leq S$.

  Im Bild hier siehst du die korrekte Zuordnung.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Überlege zunächst, wo Annahmebereich und Ablehnungsbereich jeweils liegen.
  Das Signifikanzniveau $S$ muss größer als die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ des Ablehnungsbereichs sein.

  Bei einem linksseitigen Test ist $A=[k;100]$ und $k$ ist der größtmögliche Wert mit $P([k;100])\geq 1-S$.

  Nur eine der Aussagen ist richtig.

  Lösung

  Ein Hypothesentest zur Nullhypothese $H_0$: $p=0,\!75$ heißt linksseitig, wenn die Alternativhypothese $H_1$ lautet:

  $p<0,\!75$

  Andernfalls, also für $H_1$: $p>0,\!75$, heißt der Test rechtsseitig.

  Das Signifikanzniveau $S$ legt den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline A$ fest. Die Bedingung dafür lautet $P(\overline A) \leq S$ beziehungsweise $P(A) \geq 1-S$.

  
  

  Bei einem linksseitigen Test ist der Ablehnungsbereich $\overline A$ ein Intervall der Form $[0;k]$.
  Bei einem Signifikanzniveau von $S=10\,\%$ ist $k$ der größtmögliche Wert mit $P([0;k]) \leq 10\,\%$.
  Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass $k=68$ ist. Denn wir sehen, dass $P([0;68])=0,\!069<0,\!1$ und $P([0;69])=0,\!104>0,\!1$ ergibt.
  Aus dem Ablehnungsbereich $\overline A=[0;68]$ erhalten wir den Annahmebereich $A=[69;100]$.

  Analog sehen wir, dass bei einem Signifikanzniveau von $S= 5\,\%$ der Ablehnungsbereich $\overline A = [0;67]$ und somit auch der Annahmebereich $A=[68;100]$ sein muss.

  
  

  Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest gehen wir ähnlich vor:
  Bei einem Signifikanzniveau von $S=5\,\%$ suchen wir einen Ablehnungsbereich der Form $[k;100]$. Wir suchen somit das kleinstmögliche $k$, sodass $P(\overline A) \leq 5\,\%$ gilt.
  Da diese Wahrscheinlichkeiten nicht in der Tabelle stehen, betrachten wir den Annahmebereich: Es muss $P(A) \geq 95\,\%$ gelten.
  Aus der Tabelle entnehmen wir $P([0;81]) = 0,\!937<0,\!95$ und $P([0;82]) = 0,\!962 \geq 0,\!95$. Daher ist $A=[0;82]$ und $\overline A=[83;100]$.

  Analog erhalten wir für ein Signifikanzniveau von $S= 10\,\%$ einen Annahmebereich von $A=[0;80]$ und somit einen Ablehnungsbereich von $\overline A = [81;100]$.

  
  

  Folgende Aussage ist richtig:

  • Bei einem rechtsseitigen Test mit $S=5\,\%$ ist $A=[0;82]$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Bei einem linksseitigen Test mit $S=10\,\%$ ist $\overline A=[0;69]$.

  $\Rightarrow$ Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass $P([0;69])=0,\!104>0,\!1$. Dieser Ablehnungsbereich überschreitet also das festgelegte Signifikanzniveau. Korrekt wäre $\overline A=[0;68]$, denn hierfür gilt $P([0;68]) = 0,\!069\leq 0,\!1$.

  • Bei einem rechtsseitigen Test mit $S=10\,\%$ ist $\overline A=[80;100]$.

  $\Rightarrow$ Denn $P([0;80]) = 0,\!901 \geq 0,\!9$, aber $P([0;79])=0,\!851<0,\!9$. Daher ist $A=[0;80]$ und $\overline A=[81;100]$.

  • Bei einem linksseitigen Test mit $S=5\,\%$ ist $A=[0;67]$.

  $\Rightarrow$ Denn der Annahmebereich eines linksseitigen Tests liegt rechts. Es ist $\overline A=[0;67]$ und $A=[68;100]$.