Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem

Horizontale und vertikale Geraden im Koordinatensystem Übung

• Bestimme die Eigenschaften horizontaler und vertikaler Geraden.

  Tipps

  Die $y$-Achse ist eine vertikale Gerade.

  Läuft 8bit-Bot längs einer horizontalen Geraden, so ändert sich nur seine $x$-Koordinate.

  Mit dem Steigungsdreieck bestimmt Stefanie die Steigung einer Geraden.

  Lösung

  Stefanie programmiert die Bewegung des Charakters 8bit-Bot entlang der Geraden $y=-2$. Diese Gerade ist horizontal. Alle Punkte auf der Geraden haben dieselben $y$-Werte und verschiedene $x$-Werte. Mit dem Steigungsdreieck rechnet Stefanie nicht etwa die Länge der Geraden aus, sondern die Steigung. Dazu wählt sie zwei verschiedene Punkte auf der Geraden aus. Die $y$-Werte der beiden Punkte sind dieselben, daher ist die Steigung der Geraden $0$.

  Beim Hoch- oder Runterklettern einer Leiter bewegt sich 8bit-Bot entlang einer vertikalen Geraden. Die Gerade hat z. B. die Gleichung $x=5$. Je zwei verschiedene Punkte auf der Geraden haben dieselben $x$-Werte, aber ihre $y$-Werte sind verschieden. Setzt Stefanie z. B. die $x$- und $y$-Werte der Punkte $(5|2)$ und $(5|3)$ in die Formel für die Steigung ein, so erhält sie den Bruch $\frac{-1}{0}$. Da dieser Bruch nicht existiert, ist die Steigung dieser vertikalen Geraden nicht definiert. Gleiches gilt für alle vertikalen Geraden.

• Gib die Punkte und Eigenschaften der Geraden an.

  Tipps

  Zwei verschiedene Punkte einer horizontalen Geraden haben dieselben $y$-Koordinaten und verschiedene $x$-Koordinaten.

  Die Steigung einer vertikalen Gerade ist nicht definiert.

  Die Punkte $(2|0)$ und $(2|-1)$ liegen auf der Gerade $x=2$.

  Lösung

  Die Gerade $y=-2$ ist horizontal. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $-2$. Die Steigung ist $0$. Das findest Du heraus, wenn Du zwei Punkte der Geraden in die Steigungsformel einsetzt.

  Die Gerade $x=5$ ist vertikal. Alle Punkte der Geraden haben den $x$-Wert $5$. Die Steigung der Geraden ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein, so ergibt sich ein Bruch mit $0$ im Nenner.

  Du erhältst also folgende Zuordnung:

  Gerade $y=-2$

  • $(0|-2)$

  • $(-5|-2)$

  • $(-3|-2)$

  • horizontal

  • $m=0$

  Gerade $x=5$

  • $(5|3)$

  • $(5|2)$

  • $(5|0)$

  • vertikal

  • $m$ nicht def.

• Charakterisiere die Geraden.

  Tipps

  Die Gleichung $y=0$ beschreibt eine horizontale Gerade, nämlich die $x$-Achse.

  Die Steigung der $x$-Achse ist $0$.

  Die Steigung der $y$-Achse ist nicht definiert.

  Lösung

  Horizontale Geraden haben eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer Konstanten $C$. Für vertikale Geraden lautet die Gleichung $x=C$.

  Horizontale Geraden sind parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse. Damit sind sie dann auch orthogonal zu allen Parallelen der $y$-Achse, also zu allen vertikalen Geraden. Bei vertikalen Geraden ist es umgekehrt.

  Alle Punkte einer horizontalen Geraden haben denselben $y$-Wert, nämlich den Wert $C$ der Konstanten aus der Gleichung $y=C$. Die Punkte einer horizontalen Geraden $x=C$ haben alle den $x$-Wert $C$. Damit erhältst Du folgende Zuordnung:

  Die Steigung horizontaler Geraden ist $0$, die Steigung vertikaler Geraden ist nicht definiert.

  horizontale Geraden:

  • $y=5$

  • $y=-2$

  • $m=0$

  • parallel zu $x$-Achse

  • orthog. zu $x=-2$

  • gleiche $y$-Werte

  vertikale Geraden:

  • $x=-2$

  • $x=5$

  • $m$ nicht def.

  • parallel zu $y$-Achse

  • orthog. zu $y=5$

  • gleiche $x$-Werte

• Ermittle die Geradengleichung.

  Tipps

  Wenn zwei Punkte beide den $x$-Wert $5$ haben, so liegen sie auf der Geraden $x=5$.

  Lösung

  Eine horizontale Gerade erfüllt eine Gleichung der Form $y=C$ mit einer beliebigen Konstanten $C$. Alle ihre Punkte haben den $y$-Wert $C$. Für eine horizontale Gerade lautet die Gleichung $x=C$ mit einer Konstanten $C$ und alle ihre Punkte haben den $x$-Wert $C$.

  Zu zwei Punkten im Koordinatensystem gibt es genau eine Gerade, die beide Punkte enthält. Haben die beiden Punkte denselben $x$-Wert $C$, so ist dies die vertikale Gerade $x=C$. Haben die Punkte dagegen denselben $y$-Wert $C$, so lautet die Gerade $y=C$ und ist horizontal.

  Du erhältst daher die folgende Zuordnung:

  • Die Gerade der ersten Abbildung enthält die Punkte $(2|-1)$ und $(2|3)$. Da der $x$-Wert bei beiden Punkte derselbe ist, liegen die Punkte auf der Geraden $x=2$. Die markierten Punkte sind nur zwei von unendlich vielen Punkten auf der Geraden. Man hätte andere Punkte auf der Geraden auswählen können. Es handelt sich hierbei um eine vertikale Gerade und damit ist diese Zuordnung keine Funktion.

  • Bei der zweiten Geraden sind die beiden Punkte $(-1|-2)$ und $(3|-2)$ markiert. Sie haben beide denselben $y$-Wert. Die Gleichung lautet $y=-2$. Es ist eine horizontale Gerade und damit eine Funktion.

  • Die dritte Gerade verläuft vertikal durch die Punkte $(-1|-2)$ und $(-1|3)$. Der $x$-Wert ist jeweils gleich. Somit lautet die Geradengleichung: $x=-1$. Es handelt sich hierbei um keine Funktion.

  • Die vierte Gerade verläuft horizontal durch die Punkte $(-2|3)$ und $(2|3)$. Sie hat die Gleichung $y=3$ und ist somit eine Funktion.

• Bestimme die Eigenschaften der Geraden.

  Tipps

  Ist eine Gerade parallel zur $y$-Achse, so ändern sich längs dieser Geraden nur die $y$-Koordinaten, nicht die $x$-Koordinaten.

  Die $x$-Achse ist eine horizontale Gerade.

  Setzt Du die Punkte $(-1|-3)$ und $(-1|-2)$ der vertikalen Gerade $x=-1$ in die Formel für die Steigung ein, so kommst Du auf die Gleichung:

  $m = \frac{-1}{0}$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Eine horizontale Gerade ist orthogonal zur $y$-Achse.“ Diese Aussage gilt für jede horizontale Gerade.

  • „Die Gerade $y=-2$ ist nicht parallel zur $y$-Achse.“ Die Gerade enthält keinen $x$-Term und ist daher horizontal, also parallel zur $x$-Achse und orthogonal zur $y$-Achse.

  • „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier Punkte der Geraden in die Formel für die Steigung ein, so erhältst Du stets einen undefinierten Bruch mit $0$ im Nenner.

  • „Die Steigung jeder horizontalen Geraden ist $0$.“ Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte der Geraden in die Steigungsformel ein, so erhältst Du im Zähler $0$, im Nenner einen Wert $\neq 0$. Daher ist die Steigung einer horizontalen Geraden stets $0$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Eine vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse nicht.“ Jede vertikale Gerade schneidet die $x$-Achse. Erfüllt die Gerade die Gleichung $x=C$, so ist der Schnittpunkt $(0|C)$.

  • „Die Gerade $x=C$ ist parallel zur $x$-Achse.“ Diese Gerade ist vertikal, also parallel zur $y$-Achse und orthogonal zur $x$-Achse.

  • „Die Steigung einer vertikalen Geraden ist stets $0$.“ Diese Steigung ist nicht definiert. Setzt Du die $x$- und $y$-Werte zweier verschiedener Punkte einer vertikalen Geraden in die Steigungsformel ein, so erhältst Du einen Bruch mit $0$ im Zähler und einem Wert $\neq 0$ im Nenner. Dieser Bruch existiert nicht. Daher ist die Steigung nicht definiert.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Jede vertikale Gerade ist orthogonal zu jeder horizontalen Geraden.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Haben die Punkte einer Geraden alle dieselben $x$- oder $y$-Koordinaten, so ist die Gerade vertikal oder horizontal.“ Sind die $x$-Werte gleich, so ist die Gerade vertikal, sind die $y$-Werte gleich, so ist sie horizontal.

  • „Die Gerade $y=-x$ ist weder vertikal noch horizontal.“ Eine horizontale Gleichung hat die Form $ y=C$ mit einer Konstanten $C$, die Gleichung einer vertikalen Geraden lautet $x=C$.

  • „Ist die Steigung einer Geraden $m \neq 0$, so ist die Gerade weder vertikal noch horizontal.“ Die Steigung einer vertikalen Geraden ist nicht definiert, also auch nicht $\neq 0$. Die Steigung einer horizontalen Geraden ist $0$. Da beides nicht zutrifft, ist eine Gerade mit Steigung $\neq 0$ weder horizontal noch vertikal.

  • „Haben zwei Geraden mit konstanten $x$- oder $y$-Werten genau einen Schnittpunkt, so ist eine der beiden vertikal, die andere horizontal.“ Haben beide Geraden dieselben $x$-Werte, so sind die Geraden beide vertikal, also entweder identisch oder parallel. Dann können sie aber nicht genau einen Schnittpunkt haben. Dasselbe gilt für zwei horizontale Geraden. Also muss eine Gerade konstante $x$-Werte haben, die andere konstante $y$-Werte. Dann ist die eine Gerade vertikal, die andere horizontal, und sie haben genau einen Schnittpunkt.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jede zu $y=-2$ orthogonale Gerade ist horizontal.“ Die Gerade $y=-2$ ist selbst horizontal. Jede zu ihr orthogonale Gerade ist vertikal.

  • „Auf einer horizontalen Geraden gibt es keine zwei verschiedenen Punkte mit denselben Koordinaten, auf einer vertikalen Geraden aber schon.“ Sind die Koordinaten zweier Punkte gleich, so sind die Punkte identisch und nicht verschieden.

  • „Jede horizontale Gerade hat mit der $x$-Achse keinen Punkt gemeinsam.“ Die $x$-Achse ist selbst auch eine horizontale Gerade. Für sie stimmt die Aussage nicht. Für jede andere horizontale Gerade ist die Aussage aber richtig.