Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – h-Methode

Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – h-Methode Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen durch die h-Methode.

  Tipps

  Welche Bedeutung hat bei der Grenzweltbetrachtung $\lim\limits_{x \to x_0}$ das $x_0$?

  Statt $x$ gegen $x_0$ gehen zu lassen, kann auch $x-x_0$ gegen 0 gehen.

  Lösung

  Die h-Methode ist eine Methode zur Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen für $x\to x_0$ an einer Definitionslücke $x_0$. Dabei wird wie folgt vorgegangen:

  1. Bestimmung des Definitionsbereiches und der Definitionslücken
  2. Ersetzen von $x$: $x=h+x_0$
  3. Grenzweltbetrachtung von $\lim\limits_{h\to 0}$ statt $\lim\limits_{x \to x_0}$
  4. Anwenden von binomischen Formeln
  5. Kürzen von $h$ und Grenzwertberechnung

• Bestimme den Grenzwert von $f(x)=\frac{x^3-2x+1}{x-1}$ an der Definitionslücke.

  Tipps

  Die Definitionslücke ist dadurch erklärt, dass an dieser Stelle die Funktion nicht definiert ist.

  Statt $x$ gegen $x_0$ gehen zu lassen, kann auch $h:=x-x_0$ gegen 0 gehen.

  Es gilt $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

  Lösung

  Die Definitionslücke der Funktion $f(x)=\frac{x^3-2x+1}{x-1}$ ist die Nennernullstelle, also $x_0=1$.

  Anstatt nun $x$ gegen $x_0$ gehen zu lassen, kann auch $h=x-x_0$ gegen 0 gehen. Also ist $x=x_0+h$ und in diesem Beispiel $x=1+h$.

  Der Grenzwert kann nun wie folgt berechnet werden:

  • Anstatt den Grenzwert $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{x^3-2x+1}{x-1}$ zu bestimmen, wird der Grenzwert $\lim\limits_{h\to 0} \frac{(h+1)^3-2(h+1)+1}{h}$ betrachtet.
  • $(h+1)^3=h^3+3h^2+3h+1$. Also gilt mit Termumformungen, Kürzen von h und Anwendung der Grenzwertsätze für Summen:

  \begin{align*} \lim\limits_{h\to 0} \frac{(h+1)^3-2(h+1)+1}{h}&= \lim\limits_{h\to 0} \frac{h^3+3h^2+3h+1-2h-2+1}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^3+3h^2+h}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0} \frac{h(h^2+3h+1)}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0} (h^2+3h+1)=1\\ \end{align*}

• Ermittle jeweils, wie x bei der Anwendung der h-Methode ersetzt wird.

  Tipps

  Bestimme jeweils die Definitionslücke.

  Bei der h-Methode wird der Grenzwert $x$ gegen $x_0$ ersetzt durch $h=x-x_0$ gegen 0.

  Lösung

  Die h-Methode ist ein Verfahren zur Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen für $x \to x_0$ an einer Definitionslücke $x_0$. Hierbei wird wie folgt ersetzt: $x=x_0+h$. Somit kann der Grenzwert für $h\to 0$ betrachtet werden.

  • $\mathbf{\frac{x^4-x-2}{x+1}}$: Hier ist $x_0=-1$ und somit $x=-1+h=h-1$.
  • $\mathbf{\frac{x^3+1}{x-1}}$: Hier ist $x_0=1$ und somit $x=1+h=h+1$.
  • $\mathbf{\frac{x^4-16}{x+2}}$: Hier ist $x_0=-2$ und somit $x=-2+h=h-2$.
  • $\mathbf{\frac{x^2+2x-3}{x+3}}$: Hier ist $x_0=-3$ und somit $x=-3+h=h-3$.

• Untersuche die Funktion $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ auf Konvergenz an der Definitionslücke.

  Tipps

  Es gilt $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

  Wenn der Grenzwert existiert, so lässt sich $h$ kürzen.

  Lösung

  Die Definitionslücke von $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$ ist $x_0=2$. Statt den Grenzwert von $x$ gegen 2 zu betrachten, kann auch der von $h=x-2$ gegen 0 betrachtet werden. Dies führt zu der Ersetzung von $x$ durch $x=2+h$.

  \begin{align*} \lim\limits_{h\to 0} \frac{(2+h)^3-8}{h}&= \lim\limits_{h\to 0} \frac{8+12h+6h^2+h^3-8}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^3+6h^2+12h}{h} \end{align*}

  Hier wurde die Formel $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ mit $a=2$ und $b=h$ verwendet.

  $\lim\limits_{h\to 0} \frac{h^3+6h^2+12h}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{h(h^2+6h+12)}{h}$

  Nun kann $h$ gekürzt und der Grenzwert berechnet werden.

  $\lim\limits_{h\to 0} \frac{h(h^2+6h+12)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} (h^2+6h+12)=12$.

• Benenne die drei Verfahren zur Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen für $x\to x_0$ mit Definitionslücke $x_0$.

  Tipps

  Es gibt Grenzwertsätze zur Berechnung von Grenzwerten, welche Aussagen darüber treffen, wie Grenzwerte von Summenfunktionen, Differenzfunktionen, Produktfunktionen und Quotientenfunktionen berechnet werden können.

  Der $\epsilon$-Schlauch wird zur Erklärung eines Grenzwertes betrachtet.

  Lösung

  Der Grenzwert einer Funktion an einer Definitionslücke kann berechnet werden, indem

  • man verschiedene $x$-Werte, welche sich dem $x_0$ nähern, in die Funktionsgleichung einsetzt. Das wird als Testeinsetzung bezeichnet.
  • man den Term, dessen Grenzwert berechnet werden soll, umformt. Dies geschieht zum Beispiel durch binomische Formeln oder durch Polynomdivision. Dabei handelt es sich um eine Termumformung.
  • man die Grenzwertbetrachtung $\lim\limits_{x \to x_0}$ ersetzt durch $\lim\limits_{h \to 0}$, wobei $h=x-x_0$ ist. Das ist unter dem Stichwort h-Methode bekannt.

  Egal, welches dieser Verfahren angewendet wird: Wenn es einen Grenzwert gibt, so lässt sich dieser mit jedem dieser Verfahren bestimmen.

• Ermittle den Grenzwert der Funktion $f(x)=\frac{x^4-16}{x-2}$ an der Definitionslücke.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Stelle $x_0$, wo die Funktion nicht definiert ist, und ersetze $x=x_0+h$.

  Es gilt $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

  Es gilt $(2+h)^4=16+32h+24h^2+8h^3+h^4$.

  Lösung

  Zunächst wird die Definitionslücke bestimmt. Diese ist die Nennernullstelle, also $x_0=2$.

  Nun wird wie folgt ersetzt: $x=2+h$.

  In der Grenzwertberechnung $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^4-16}{x-2}$ wird $x \to 2$ durch $h \to 0$ ersetzt und $x$ wie oben angegeben:

  $\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2+h)^4-16}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{16+32h+24h^2+8h^3+h^4-16}{h}$.

  Dies erhält man unter Verwendung der Formel $(2+h)^4=16+32h+24h^2+8h^3+h^4$. Der Term ohne $h$ fällt heraus und $h$ kann ausgeklammert werden:

  \begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\frac{16+32h+24h^2+8h^3+h^4-16}{h}&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{32h+24h^2+8h^3+h^4}{h}\\ &=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(32+24h+8h^2+h^3)}{h} \end{align*}

  Nun wird $h$ gekürzt und somit der Grenzwert berechnet:

  $\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(32+24h+8h^2+h^3)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(32+24h+8h^2+h^3)=32$.