Graphisches Aufleiten

Graphisches Aufleiten Übung

• Bestimme die Funktionsgleichung von $f$.

  Tipps

  Der Graph der Ableitung gibt die Steigung von $f$ an.

  $f$ muss an jeder Stelle die Steigung $m=3$ besitzen.

  Lösung

  Wie wir wissen, beschreibt der Verlauf der Ableitungsfunktion die Steigung der Ausgangsfunktion.

  Wenn der Ableitungsgraph im negativen Bereich verläuft, ist die Steigung von $f$ negativ.

  Wenn der Ableitungsgraph im positiven Bereich verläuft, ist die Steigung von $f$ positiv.

  Unser Ableitungsgraph ist konstant bei $3$, was bedeutet, dass unsere Ausgangsfunktion an jeder beliebigen Stelle die Steigung $m=3$ besitzen muss.

  Also muss es sich bei der Ausgangsfunktion um eine lineare Funktion handeln.

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion sieht so aus:

  $f(x)=m\cdot x + n$

  Den $y$-Achsenabschnitt können wir nicht eindeutig bestimmen. Aber wir kennen bereits die Steigung $m=3$.

  $f(x)=3x + c$ mit $c\in \mathbb{R}$

  Beim graphischen Integrieren bzw. graphischen Aufleiten schreibt man in der Regel ein $c$, statt einem $n$, für die Konstante. Aber egal welchen $y$-Achsenabschnitt, also welches $c$ unsere Ausgangsfunktion besitzt, ihre Ableitung wäre immer $f'(x)=3$.

• Bestimme die Funktionsgleichung von $f$.

  Tipps

  Die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion (Bild) lautet:

  $f'(x)=2x-2$

  Leite die allgemeine Ausgangsfunktion aus der Aufgabe ab, um die fehlenden Parameter zu ermitteln.

  Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

  In diesem Beispiel ist dort der Tiefpunkt der Parabel.

  Lösung

  Zuerst bilden wir die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion.

  Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form:

  $f(x)=m\cdot x + n$ mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $n$.

  Wir sehen, dass der Graph die $y$-Achse bei $-2$ schneidet, also muss $n=-2$ sein. Man kann auch die Steigung ablesen, diese ist $2$. Wir erhalten als Ableitungsfunktion:

  $f'(x)=2x-2$

  Wir wissen, dass es sich bei $f$ um eine Parabel handeln muss, da wir eine Nullstelle des Ableitungsgraphen bei $x=1$ sehen. Also hat $f$ nur eine Extremstelle.

  Leiten wir die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) einmal ab:

  $f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}$

  $f'(x)= 2 \cdot a \cdot x + b$

  Das $b$ kennen wir schon, es muss $-2$ sein. Wenn wir $a=1$ wählen, erhalten wir auch die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion. Nur das $c$, also die Verschiebung nach oben oder unten, können wir nicht eindeutig festlegen.

  Wir erhalten also als Funktionsgleichung für $f$

  $f(x)=x^2-2x+c$ mit $c\in\mathbb{R}$.

• Ermittle den Term der Ausgangsfunktion.

  Tipps

  Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

  Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=m\cdot x+n$. Was sind $m$ und $n$?

  Lösung

  Da der Graph der Ableitung die Steigung der Ausgangsfunktion an jeder Stelle angibt, können wir sagen, dass die Funktion $f$ an jeder Stelle die Steigung $m=-2$ besitzt.

  Da es auch keine Nullstellen gibt, also keine Extremstellen, muss $f$ eine lineare Funktion sein.

  Die allgemeine Form sieht so aus:

  $f(x)=m\cdot x + n$

  Wir ersetzen das $n$ durch die Konstante $c \in \mathbb{R}$. Die Steigung können wir übernehmen und erhalten als Ausgangsfunktion:

  $f(x)=-2x+c$

• Bestimme $a$ und $b$ der Ausgangsfunktion $f$.

  Tipps

  Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

  In diesem Beispiel ist dort der Hochpunkt der Parabel.

  Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

  Leite die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion ab und vergleiche die Vorfaktoren (Koeffizientenvergleich).

  Lösung

  Betrachten wir den Graphen der Ableitungsfunktion.

  Bei $x=1$ sehen wir eine Nullstelle, links davon befindet sich die Gerade im positiven, rechts davon im negativen Bereich.

  Das bedeutet, dass der Graph der Ausgangsfunktion erst steigt, dann eine Extremstelle hat und danach wieder fällt. Es muss also eine nach unten geöffnete Parabel sein.

  Zunächst benötigen wir den Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion.

  Die Steigung kannst du an dem Bild oben gut erkennen. Man geht von dem $y$-Achsenabschnitt $S_y(0|1)$ um $1$ Einheit nach unten und $1$ Einheit nach rechts, um zu der Nullstelle $N(1|0)$ zu gelangen. Die lineare Funktion hat also die Steigung $m=-1$ und den $y$-Achsenabschnitt $n=1$. Die Ableitungsgleichung muss also lauten:

  $f'(x)=-x+1$

  Wir leiten nun die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Graph: Parabel) ab.

  $f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit $a,b,c\in\mathbb{R}$

  $f'(x)= 2 \cdot a \cdot x + b$

  Um ihn in die Form $-x+1$ zu bekommen, benötigen wir als Parameter $b=1$.

  Parameter $a$ ergibt sich so:

  $2\cdot a \cdot x=-x$ Dazu muss $a=-0,5$ sein.

  Unsere Funktionsgleichung lautet also:

  $f(x)=-0,5x^2 +x +c=-\frac12+x+c$

  Noch einmal abgeleitet wäre das:

  $f'(x)=-x+1$ - die Gleichung unserer Ableitungsfunktion.

• Ergänze die Aussage zur Ableitungsfunktion.

  Tipps

  Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

  Die Steigung an Extremstellen ist immer $0$.

  Lösung

  Da uns der Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion immer Auskunft darüber gibt, welche Steigung die Ausgangsfunktion an dieser Stelle besitzt, können wir mit seiner Hilfe auch die Extremstellen der Ausgangsfunktion bestimmen.

  Immer, wenn der Ableitungsgraph die $x$-Achse schneidet, also eine Nullstelle aufweist, hat der Ausgangsgraph an dieser Stelle eine Extremstelle mit der Steigung $0$.

• Ermittle die Gleichung der Ausgangsfunktion.

  Tipps

  Dort, wo die Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Ausgangsfunktion eine Extremstelle.

  Der Graph der Ableitungsfunktion gibt immer die Steigung der Ursprungsfunktion an jeder speziellen Stelle an.

  Die Ausgangsfunktion ist eine sogenannten kubische Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung:

  $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$

  Leite die allgemeine kubische Funktion ab und vergleiche die Vorzeichen mit der Ableitungsfunktion (Koeffizientenvergleich).

  Lösung

  Sehen wir uns den Graphen der Ableitungsfunktion genau an. Bei $x=0$ und $x=1,5$ muss die Ausgangsfunktion Extremstellen besitzen. Da die Ausgangsfunktion zwischen den beiden Extremstellen steigt (weil $f'$ dort positiv verläuft) muss es sich um einen Tiefpunkt bei $x=0$ und einen Hochpunkt bei $x=1,5$ handeln (Bild).

  Da es sich bei der Ableitungsfunktion um eine quadratische Funktion handelt, muss die Ausgangsfunktion eine Funktion dritten Grades sein (da beim Ableiten der Exponent ja immer um $1$ verringert wird). Man nennt diese Gruppe von Funktionen auch kubische Funktionen.

  Allgemein sähe die Funktionsgleichung so aus:

  $f(x)=a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

  Das leiten wir einmal ab:

  $f'(x)= 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$

  Wir kennen die Ableitungsfunktion bereits, sie lautet:

  $f'(x)=-2x^2+3x$

  Dort haben wir keinen Parameter $c$ mehr, er existiert also auch nicht bei$f(x)$. Also gilt $c=0$.

  $3\cdot a = -2$ also $a=-\frac{2}{3}$

  $2\cdot b=3$ also $b=\frac{3}{2}$

  Damit haben wir die Parameter $a$ und $b$ bestimmt. Parameter $d$ kann nicht eindeutig bestimmt werden, da jede Zahl für $d$ beim Ableiten gleich $0$ wird.

  Der Graph im Bild kann also beliebig entlang nach oben oder unten verschoben werden, aber nicht nach rechst oder links. Es gibt daher unendlich viele mögliche Ausgangsfunktionen und -graphen.

  Die Ausgangsfunktion lautet somit:

  $f(x)=-\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 +d$ mit $d\in\mathbb{R}$