Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

• Beschreibe, wie die Höhenlinien einer Funktion mit mehreren Veränderlichen gezeichnet werden können.

  Tipps

  Stelle dir bei dem oben abgebildeten Paraboloid vor, du würdest einen Schnitt parallel zur x-z-Ebene durchführen: Welchen Graphen (einer Funktion mit einer Veränderlichen) erhältst du dann?

  Wenn $y=y_0$ konstant ist, dann ist

  $h(x)=f(x;y_0) =x^2+y_0^2$

  eine Funktion mit nur einer Veränderlichen, nämlich $x$.

  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese ist nach oben (unten) geöffnet, wenn der Faktor vor dem quadratischen Term positiv (negativ) ist.

  Lösung

  Da Flächen im Raum manchmal recht schwer zu erkennen sind, kann man auch den Graphen parallel zu einer Koordinatenebene betrachten:

  Die Höhenlinien eines Graphen erhält man, wenn man eine der beiden Variablen konstant hält.

  Wenn man zum Beispiel $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.

  Bei dem abgebildeten Paraboloid, dem Graphen der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ erhält man so eine nach oben geöffnete Normalparabel.

• Ergänze die Erklärung zu den Isoquanten.

  Tipps

  Der Funktionswert der Funktion $f(x;y)$ ist die z-Koordinate.

  Die Isoquanten können als Schnitt durch den Paraboloiden parallel zur x-y-Ebene verstanden werden.

  Betrachte die Gleichung $x^2+y^2=c$.

  Auf welchem geometrischen Gebilde liegen alle geordneten Paare $(x|y)$, die diese Gleichung erfüllen?

  Lösung

  Die Isoquanten sind spezielle Höhenlinien. Dabei wird weder $x$ noch $y$ konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$.

  Das bedeutet anschaulich, dass man von oben auf den Funktionsgraphen schaut.

  Bei dem Paraboloiden sieht man für verschiedene Werte von $z$ Kreise, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist.

• Bestimme die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$.

  Tipps

  Betrachte für $x=0$ konstant die Funktion in Abhängigkeit von $y$.

  Die Fläche zu der Funktion ist ein Paraboloid. Dieser hat jedoch nicht seinen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung.

  Die Isoquanten sind Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt.

  Lösung

  Hier sind zwei Isoquanten zu sehen. Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$ sind Kreise.

  Der Mittelpunkt dieser Kreise ist der tiefste Punkt des Paraboloids. Dieser ist $(0|1)$.

  Woran kann man dies erkennen?

  • Wenn man $x=0$ wählt, erhält man $y^2-2y+1=(y-1)^2$. Dies wird minimal für $y=1$.
  • Wenn man $y=1$ wählt, erhält man $x^2$. Dies wird minimal für $x=0$.

  Wie gelangt man nun zu den beiden Kreisen? Diese gehören zu verschiedenen Werten für $z$:

  Die Kreisgleichung lautet $x^2+(y-1)^2=z$. Dabei ist $z=r^2$ mit dem Radius $r$.

• Entscheide, welche der abgebildeten Höhenlinien zu welchem Funktionsterm gehört.

  Tipps

  Die graue Fläche deutet jeweils den Schnitt parallel zur x-z-Ebene an.

  Zu jeder Funktion sind jeweils Höhenlinien zu $x=x_0$ sowie $y=y_0$ angegeben.

  Von links nach rechts kannst du die Scheitelpunkte erkennen:

  • $S(0|1)$,
  • $S(0|1)$,
  • $S(-1|0)$,
  • $S(-1|0)$

  Dabei ist jeweils die erste Koordinate die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

  Lösung

  Jeweils zwei Abbildungen gehören zu einem Paraboloiden.

  In dieser Abbildung hier ist der Schnitt einer Funktion parallel zur x-z-Koordinatenebene zu sehen. Der Scheitelpunkt dieser nach oben geöffneten Parabel ist $S(x|y)=S(0|1)$, also ist der zugehörige Term $x^2$.

  Der Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene hat den Scheitelpunkt in $S(x|y)=S(1|0)$. Dazu gehört $(y-1)^2=y^2-2y+1$.

  Diese beiden Höhenlinien gehören zum Paraboloiden mit der Funktionsgleichung $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$.

  Ebenso können die beiden anderen Höhenlinien der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1+y^2$ zugeordnet werden. Dieses Mal ist der Scheitelpunkt des Schnitts parallel zu x-z-Ebene der Punkt $S(x|y)=S(-1|0)$.

• Gib an, welche möglichen Darstellungen es für Funktionen mit mehreren Veränderlichen gibt.

  Tipps

  Du kannst entweder $x=x_0$ oder $y=y_0$ konstant betrachten. Dies entspricht einem Schnitt parallel zur xz- oder yz-Koordinatenebene.

  Hier siehst du ein Beispiel für einen 3-dimensionalen Funktionsgraphen.

  Du kannst auch den Funktionswert $z$ konstant halten. Dies entspricht einem Schnitt parallel zur x-y-Ebene.

  Lösung

  Der Graph einer Funktion mit zwei Veränderlichen kann

  • als Fläche im Raum,
  • in Form von Höhenlinien oder
  • in Form von besonderen Höhenlinien, den Isoquanten, dargestellt werden.

  Eine Fläche im dreidimensionalen Raum entspricht dem Graphen im x-y-Koordinatensystem einer Funktion mit einer Veränderlichen.

  Die Höhenlinien sind anschaulich der Schnitt der Fläche im Raum parallel zu einer der Koordinatenebenen: Es wird entweder $y=y_0$ oder $x=x_0$ als konstant betrachtet.

  Spezielle Höhenlinien sind die Isoquanten. Dieses Mal wird nicht eine der beiden Veränderlichen konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$. Das bedeutet, es werden alle Kombinationen der Veränderlichen betrachtet, welche diesen Funktionswert erzeugen.

• Bestimme die Gleichungen der Höhenlinien sowie Isoquanten.

  Tipps

  Setze jeweils den bekannten (konstanten) Wert in die Funktionsgleichung ein.

  Die Isoquanten sind Kombinationen von $x$ und $y$, die den gleichen Funktionswert $z=z_0$ haben.

  Diese Gleichung kann sowohl nach $x$ als auch nach $y$ umgeformt werden.

  Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Deren höchster oder tiefster Punkt wird auch als Scheitelpunkt bezeichnet.

  Der Scheitelpunkt der Funktion

  $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

  ist gegeben durch $S(x_s|y_s)$.

  Lösung

  Dies ist der Funktionsgraph zu der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1-y^2$.

  Dieser wird auch als hyperbolisches Paraboloid bezeichnet: Im Folgenden schauen wir uns für jeweils ein Beispiel sowohl Höhenlinien als auch Isoquanten dieser Funktion an:

  Parallelschnitt zur y-z-Ebene: Sei $x=-1$ konstant, dann ist

  $g(y)=f(-1;y)=(-1)^2+2\cdot (-1)+1-y^2=-y^2$.

  Der zugehörige Graph ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $y=0$ und $z=0$.

  Parallelschnitt zur x-z-Ebene: Sei $y=1$ konstant, dann ist

  $h(x)=f(x;1)=x^2+2x-1^2=x^2+2x$.

  Der zugehörige Funktionsgraph ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt in $x=-1$ und $z=-1$.

  Parallelschnitt zur x-y-Ebene: Sei $z=4$ konstant. Dies führt zu der Gleichung

  $x^2+2x+1-y^2=4$.

  Diese Gleichung wird nach $y$ umgeformt:

  • Es wird auf beiden Seiten $y^2$ addiert und $4$ subtrahiert und
  • dann die Wurzel gezogen.

  Dies führt zu den beiden Funktionen

  • $k_1(x)=y_1=\sqrt{x^2+2x-3}$ sowie
  • $k_2(x)=y_2=-\sqrt{x^2+2x-3}$.

  Die zugehörigen Funktionsgraphen sind die entsprechenden Isoquanten.