Geradengleichungen in Parameterform im Raum

Wozu braucht man eine Geradengleichung in Parameterform?

Eine Gerade ist eine unendlich ausgedehnte Strecke und kann durch ${y=m\cdot x + b}$ beschrieben werden. In der analytischen Geometrie verwendet man allerdings eine andere Darstellung der Geraden, die mit Vektoren und einem Parameter aufgestellt wird. Den Aufbau dieser sogenannten Parameterform der Geraden lernst du im folgenden Lerntext kennen. Mit der Parameterform kannst du Geraden auch im dreidimensionalen Raum darstellen und verschiedene Probleme lösen, wie z. B. Schnittpunkte und Schnittwinkel zu berechnen.

Die Parameterform der Geraden in der Ebene

Wir betrachten zunächst eine Gerade $g$ im zweidimensionalen Koordinatensystem. Eine Gerade ist eindeutig definiert durch zwei Punkte. Wir verwenden als Beispiel die beiden Punkte $A(1\vert 2)$ und $B(4\vert 3)$. Zuerst berechnen wir den Verbindungsvektor

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Es ist ersichtlich, dass dieser Vektor parallel zur Geraden $g$ ist. Wir nennen ihn Richtungsvektor $\vec v$:

$\vec v=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Als Nächstes benötigen wir einen Punkt, der auf der Geraden liegt, wir nennen diesen Stützpunkt oder Aufpunkt. Für unser Beispiel verwenden wir den Punkt $A$, bestimmen dessen Ortsvektor und nennen diesen Stützvektor $\vec u$:

$\vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Mit der Vektoraddition können wir rechnerisch und zeichnerisch die Summe aus $\vec u$ und $\vec v$ bestimmen und erhalten den Ortsvektor von $B$:

$\vec u+ \vec v= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\overrightarrow{OB}$

Somit können wir den Punkt $B$ erreichen, indem wir vom Ursprung zum Stützpunkt und anschließend entlang des Richtungsvektors „laufen“. Dieser Gedanke ist wichtig für die Vorstellung, wie sich die Gerade durch den Stütz- und Richtungsvektor aufbaut. Um nicht nur Punkt $B$, sondern alle Punkte auf der Geraden erreichen zu können, müssen wir noch eine Änderung vornehmen: Wenn wir nun den Richtungsvektor skalar multiplizieren, verändert sich dessen Länge bzw. Richtung, aber er bleibt parallel zur Geraden.

Wir bilden für zwei Beispiele das Vielfache des Richtungsvektors und addieren diesen zum Stützvektor. Die Summe bilden wir wieder rechnerisch und zeichnerisch und stellen fest, dass das Ergebnis jeweils der Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden ist:

• Beispiel 1 (lila)

$\vec u + 0,5 \cdot \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+0,5 \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}$

• Beispiel 2 (orange)

$\vec u + (-1) \cdot \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+(-1) \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Damit wird anschaulich, dass wir für beliebige Zahlen $r$, die wir in die Gleichung

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$

einsetzen, als Ergebnis den Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden erhalten.

Da auch die Umkehrung gilt, schreiben wir als Geradengleichung:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Alle Vektoren $\vec x$, für die die rechte Seite der Gleichung erfüllt ist, sind Ortsvektoren zu einem Punkt auf der Geraden.

Die Parameterform im Raum

Die Parameterform im Raum hat den gleichen Aufbau wie jene in der Ebene, allerdings haben Stütz- und Richtungsvektor jeweils drei Koordinaten. Wir bearbeiten typische Aufgabenstellungen für die Parameterform im Raum.

Punkte angeben und Punktprobe durchführen

Wir betrachten als Beispiel die Parameterform:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Wie kann man Punkte angeben, die auf der Geraden liegen?

Setze einen Wert für $r$ ein und berechne.

• Beispiel 1

$r = 3 \implies \vec x_P = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 0 \\ 13 \end{pmatrix}$

$P(5\vert 0\vert 13)$ ist ein Punkt auf $g$.

• Beispiel 2

$r=0 \implies \vec x_Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$Q(1\vert 2\vert 3)$ ist ein Punkt auf $g$.

Wie kann man prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt (Punktprobe durchführen)?

Setze die Koordinaten bei $\vec x$ ein und prüfe komponentenweise, ob die Gleichung erfüllt ist.

• Beispiel 1

Liegt $S(3 \vert 1\vert 8)$ auf $g$? Betrachte die Gleichung:

$\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} $

Wir prüfen die Vektorgleichung komponentenweise, betrachten also die drei Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&3 &=& 1 + r\cdot 2\\ \text{II}& 1 &=& 2+r \cdot ({-}1)\\ \text{III}& 8 & = & 3+r\cdot 5 \end{array}$

In allen drei Gleichungen ergibt sich der gleiche Wert für den Parameter, nämlich $r=1$, damit ist die Vektorgleichung erfüllt und $S$ liegt auf $g$.

• Beispiel 2

Liegt $T(-1 \vert 3\vert -7)$ auf $g$? Betrachte die Gleichung:

$\begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ -7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} $

Wir prüfen die Vektorgleichung komponentenweise, betrachten also die drei Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&-1 &=& 1 + r\cdot 2\\ \text{II}& 3 &=& 2+r \cdot ({-}1)\\ \text{III}& -7 & = & 3+r\cdot 5 \end{array}$

Für die ersten beiden Gleichungen ist $r=-1$ und für die dritte Gleichung ist $r=-2$. Es kann nicht ein $r$ für alle drei Gleichungen gefunden werden, damit liegt $T$ nicht auf $g$.

Geradengleichungen aufstellen

Es sind zwei Punkte $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$ gegeben, durch die eine Gerade verläuft. Stelle die Geradengleichung in Parameterform auf!

Wir benötigen einen Richtungsvektor, dazu können wir den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ oder dessen Gegenvektor $\overrightarrow{BA}$ oder ein beliebiges anderes Vielfaches von $\overrightarrow{AB}$ verwenden.

→ Es gibt unendlich viele verschiedene Richtungsvektoren für eine Gerade!

Beispiele für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$\vec v = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\3 \end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix} -50 \\ 30 \\30 \end{pmatrix} \text{ oder } \vec v = \begin{pmatrix} 5 \\ {-}3 \\{-}3 \end{pmatrix}$

Außerdem benötigen wir einen Stützvektor, also den Ortsvektor zu einem Punkt auf $g$. Dazu können wir den Ortsvektor zu $A$ oder zu $B$ oder zu einem beliebigen weiteren Punkt auf $g$ verwenden.

→ Es gibt unendlich viele verschiedene Stützvektoren für eine Gerade!

Beispiele für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$\vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}, \vec u= \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix} \text{ oder } \vec u = \begin{pmatrix} -9\\ 8 \\9 \end{pmatrix}$

Falls man nicht einen der gegebenen Punkte $A$ oder $B$ für den Stützvektor verwenden möchte, erhält man einen beliebigen weiteren Punkt auf der Geraden durch Einsetzen eines Werts für $r$ in der Geradengleichung.

Mögliche Lösungen für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -5\\ 3 \\ 3\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

$g:\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -15\\ 9 \\ 9\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

$g:\vec x = \begin{pmatrix} -9 \\ 8 \\9 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ -3\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Vertiefung: Identität von zwei Geraden prüfen

Da es unendlich viele Möglichkeiten zur Darstellung einer Geraden gibt, muss man bei zwei gegebenen Parameterformen prüfen können, ob diese dieselbe Gerade darstellen, also identisch sind.

Beispiel 1

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -4\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind kollinear, da der Richtungsvektor von $h$ das Doppelte des Richtungsvektors von $g$ ist (Multiplikation mit $2$). Damit sind die Geraden mindestens parallel. Außerdem liegt der Stützpunkt $(2\vert 3\vert 2)$ von $h$ auf $g$ (Punktprobe), denn die entsprechende Gleichung

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

ist erfüllt für $r=1$.

→ $g$ und $h$ sind identisch.

Beispiel 2

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ -7\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, da die Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind. Die Vektorgleichung

$\begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ -7\end{pmatrix} =r\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

führt auf die Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&6 &=& r\cdot 2\\ \text{II}& 3 &=& r \cdot 1\\ \text{III}& -7 & = & r\cdot (-2) \end{array}$

In den ersten beiden Gleichungen ist $r=3$ und in der dritten gilt $r=3,5$. Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, sind die Geraden nicht parallel und können daher auch nicht identisch sein.

→ $g$ und $h$ stellen nicht dieselbe Gerade dar.

Beispiel 3

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\5 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -2\\ -1 \\ 2\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind kollinear, da der Richtungsvektor von $g$ der Gegenvektor des Richtungsvektors von $h$ ist. Die Geraden sind parallel. Allerdings liegt der Stützpunkt $(2\vert 3\vert 5)$ von $h$ nicht auf $g$, denn für die Gleichung

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

kann nicht ein $r$ für alle drei Gleichungen (bei komponentenweiser Betrachtung) gefunden werden. Damit sind die Geraden nicht identisch.

→ $g$ und $h$ stellen nicht dieselbe Gerade dar (sie sind echt parallel).

Neben identisch gibt es noch drei weitere Fälle für die gegenseitige Lage von Geraden. Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, schau dir das Video zur Lagebeziehung von Geraden an.