Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene

Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene Übung

• Beschreibe, welche verschiedenen Lagen ein Punkt zu einem Kreis haben kann.

  Tipps

  Zeichne jeden der Punkte in das gleiche Koordinatensystem wie den Kreis. Dann kannst du die entsprechende Lage erkennen.

  Setze die jeweiligen Koordinaten der Punkte in der Koordinatengleichung des Kreises ein.

  Die Koordinatengleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ und dem Radius $r$ sieht wie folgt aus

  $k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.

  Lösung

  Hier sind die drei Punkte zu erkennen. Dabei ist auch schon zu sehen, dass

  • $R$ innerhalb des Kreises,
  • $P$ auf dem Kreisrand und
  • $Q$ außerhalb des Kreises liegen.

  Im Folgenden wird gezeigt, wie man dies auch rechnerisch nachweisen kann. Zunächst benötigt man die Koordinatengleichung des Kreises

  $k:(x-2)^2+(y-1)^2=4$.

  $\mathbf{P(2|3)}$

  Es ist $(2-2)^2+(3-1)^2=2^2=4$.

  Dieser Punkt liegt also auf dem Kreisrand.

  Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt ebenso groß ist wie der Radius, liegt der Punkt auf dem Kreisrand.

  $\mathbf{Q(4|4)}$

  Es ist $(4-2)^2+(4-1)^2=13>4$.

  Dieser Punkt liegt außerhalb des Kreises.

  Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt größer ist als der Radius, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.

  $\mathbf{R(3|2)}$

  Es ist $(3-2)^2+(2-1)^2=2<4$.

  Dieser Punkt liegt innerhalb des Kreises.

  Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt kleiner ist als der Radius, liegt der Punkt innerhalb des Kreises.

  Übrigens: Alle obigen Aussagen gelten auch für den quadrierten Abstand und den quadrierten Radius.

• Bestimme die Positionen der Flugzeuge, welche von dem Tower aus beobachtet werden können.

  Tipps

  Beachte: Alle Flugzeuge innerhalb des Kreises oder auf dem Kreisrand können vom Tower aus beobachtet werden.

  Sei $M(m_1|m_2)$ der Mittelpunkt des Kreises und $r$ der Radius. Dann ist die Kreisgleichung in Koordinatenform wie folgt gegeben

  $k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.

  Es kann nur ein Flugzeug nicht vom Tower aus beobachtet werden.

  Lösung

  Der Tower befindet sich im Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius $r=100$, alle Angaben in Kilometer.

  Dies führt zu der Kreisgleichung

  $k:x^2+y^2=10000$.

  Nun können die Koordinaten von jedem der drei Flugzeuge in dieser Gleichung eingesetzt werden:

  $\mathbf{A(-40|90)}$

  Es ist $(-40)^2+90^2=9700<10000$.

  Das bedeutet, dass Flugzeug $A$ von dem Tower aus beobachtet werden kann.

  $\mathbf{B(80|-70)}$

  Es ist $80^2+(-70)^2=11300>10000$.

  Dieses Flugzeug befindet sich außerhalb des Kreises und kann somit nicht vom Tower aus beobachtet werden.

  $\mathbf{C(-60|80)}$

  Es ist $(-60)^2+80^2=10000$.

  Dieses Flugzeug befindet sich auf dem Kreisrand und kann also auch vom Tower aus beobachtet werden.

  Insgesamt können also die Flugzeuge $A$ und $C$ vom Tower aus beobachtet werden.

• Entscheide, welche Punkte sich innerhalb des Kreises, auf dem Kreisrand oder außerhalb des Kreises befinden.

  Tipps

  Stelle zunächst die Kreisgleichung in Koordinatenform auf.

  Die Kreisgleichung in Koordinatenform lautet

  $k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.

  Setze nun für $x$ und $y$ die Koordinaten der jeweiligen Punkte ein.

  Merke dir:

  • Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt ebenso groß ist wie der quadrierte Radius, liegt der Punkt auf dem Kreisrand.
  • Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt größer ist als der quadrierte Radius, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
  • Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt kleiner ist als der quadrierte Radius, liegt der Punkt innerhalb des Kreises.

  Lösung

  Die Kreisgleichung dieses Kreises in Koordinatenform lautet

  $k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.

  Nun kann für jeden der folgenden Punkte die x- sowie y-Koordinate in dieser Gleichung eingesetzt werden:

  • $A(1|1)$ führt zu $(1-2)^2+(1-3)^2=5<9$, also liegt der Punkt $A$ innerhalb des Kreises.
  • $B(5|1)$ führt zu $(5-2)^2+(1-3)^2=13>9$, also liegt der Punkt $B$ außerhalb des Kreises.
  • $C(4|1)$ führt zu $(4-2)^2+(1-3)^2=8<9$, also liegt der Punkt $C$ innerhalb des Kreises.
  • $D(2|0)$ führt zu $(2-2)^2+(0-3)^2=9$, also liegt der Punkt $D$ auf dem Kreisrand.
  • $E(0|2)$ führt zu $(0-2)^2+(2-3)^2=5<9$, also liegt der Punkt $E$ innerhalb des Kreises.
  • $F(1|6)$ führt zu $(1-2)^2+(6-3)^2=10>9$, also liegt der Punkt $F$ außerhalb des Kreises.

• Leite jeweils die fehlende Koordinate des Punktes her.

  Tipps

  Die Kreisgleichung lautet

  $k:x^2+y^2=10000$.

  Setze die jeweils bekannte Größe in der Gleichung ein und forme nach der unbekannten Größe um.

  Die Gerade $y=x$ ist die erste Winkelhalbierende: Wie oft schneidet diese den Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt?

  Lösung

  Die Kreisgleichung des Kreises mit dem Tower als Mittelpunkt und dem Radius $r=100$ lautet

  $k:x^2+y^2=10000$.

  Flugzeug A

  Die x-Koordinate ist konstant $x=30$. Diese kann in der Koordinatengleichung eingesetzt werden:

  $30^2+y^2=10000$.

  Nun wird $900$ auf beiden Seiten subtrahiert zu

  $y^2=9100$.

  Das bedeutet:

  • Für $-\sqrt{9100}<y<\sqrt{9100}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.
  • Für $-\sqrt{9100}=y$ oder $\sqrt{9100}=y$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand.
  • In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
  • Falls $y<-\sqrt{9100}$ oder $y>\sqrt{9100}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.

  Flugzeug B

  Dieses Mal ist $y=50$ konstant. Dies führt zu

  $x^2+2500=10000$

  oder, äquivalent dazu, $x^2=7500$.

  Das bedeutet:

  Für $-\sqrt{7500}<x<\sqrt{7500}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.

  • Für $-\sqrt{7500}=y$ oder $\sqrt{7500}=y$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand.
  • In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
  • Falls $y<-\sqrt{7500}$ oder $y>\sqrt{7500}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.

  Flugzeug C

  Dieses Mal wird $y=x$ in der Gleichung eingesetzt, was zu

  $2x^2=10000$

  führt. Division durch $2$ ergibt $x^2=5000$.

  Nun kann wieder gefolgert werden:

  Für $-\sqrt{5000}<y=x<\sqrt{5000}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.

  • Für $-\sqrt{5000}=y=x$ oder $\sqrt{5000}=y=x$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand. Es gibt also zwei Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreisrand.
  • In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
  • Falls $y=x<-\sqrt{5000}$ oder $y=x>\sqrt{5000}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.

• Gib an, wie die Koordinatengleichung eines Kreises aussieht.

  Tipps

  $x$ und $y$ sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand.

  Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat den gleichen Abstand zu dem Kreismittelpunkt, nämlich $r$.

  Der Abstand zweier Punkte wird wie folgt berechnet

  $d=d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$.

  Bei der Kreisgleichung wird der quadrierte Abstand betrachtet.

  Lösung

  Sei $M(m_1|_2)$ der Mittelpunkt und $r$ der Radius eines Kreises, dann ist die Kreisgleichung in Koordinatenform wie folgt gegeben

  $k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.

  Dabei sind $x$ und $y$ die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand.

• Gib die beiden Punkte der Geraden an, die sich auf dem Kreisrand befinden.

  Tipps

  Die Koordinatengleichung des Kreises lautet

  $k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.

  Wenn du in dieser Gleichung $y=x+4$ einsetzt, gelangst du zu einer quadratischen Gleichung in $x$, welche du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst.

  Zu jeder Lösung für $x$ erhältst du durch Einsetzen $y=x+4$.

  Alle Koordinaten sind ganzzahlig.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche Punkte der Geraden $y=x+4$ auf dem Kreisrand des abgebildeten Kreises liegen, muss man zunächst die Kreisgleichung in Koordinatenform aufstellen:

  $k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.

  Nun kann $y=x+4$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

  $(x-2)^2+(x+4-3)^2=9$.

  Diese Gleichung wird umgeformt zu

  $x^2-4x+4+x^2+2x+1=9$.

  Nun werden alle Terme zusammen gefasst und die Gleichung so umgeformt, dass auf der rechten Seite $0$ steht:

  $2x^2-2x-4=0$.

  Division durch $2$ führt zu $x^2-x-2=0$.

  Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel gelöst werden:

  $x_{1,2}=0,5+\sqrt{2,25}$.

  Also ist $x_1=0,5-1,5=-1$ und $x_2=0,5+1,5=2$.

  Damit können auch die y-Koordinaten berechnet werden:

  • $x_1=-1$ führt zu $y_1=-1+4=3$ also $S_1(-1|3)$.
  • $x_2=2$ führt zu $y_2=2+4=6$ also $S_2(2|6)$.