Gegenseitige Lage Gerade-Gerade

Gegenseitige Lage Gerade-Gerade Übung

• Beschreibe ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Lage zweier Geraden zueinander.

  Tipps

  Überlege dir, welche möglichen Lagen zwei Geraden im Raum annehmen können.

  Welche Eigenschaften zeichnen diese Lagen aus und wie kannst du diese Eigenschaften mathematisch überprüfen oder bestimmen?

  Die Geraden haben einen Punkt gemeinsam, wenn es $s$ und $t$ gibt, so dass $ \vec p +t \cdot \vec u = \vec q +s \cdot \vec v$ gilt.

  Lösung

  Um die gegenseitige Lage zweier Geraden im Raum zu bestimmen, kannst du das folgende allgemeine Lösungsverfahren verwenden:

  1. Du untersuchst die beiden Richtungsvektoren auf ihre lineare Abhängigkeit. Sie können linear abhängig oder linear unabhängig voneinander sein.
  2. In jedem Fall setzt du nun die beiden Geradengleichungen miteinander gleich und erhältst daraus ein LGS, welches du im nächsten Schritt für s bzw. löst.
  3. Die Anzahl der Lösungen des LGS und die lineare (Un)abhängigkeit geben dir Aufschluss über die gegenseitige Lage der Geraden.

• Bestimme die Lagebeziehung der Geraden $g$ und $h$.

  Tipps

  Wodurch unterscheiden sich zwei identische bzw. echt parallele Geraden von windschiefen bzw. sich schneidenden?

  Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen in Form eines LGS erhält man genau eine Lösung. Was könnte das für die beiden Geraden bedeuten?

  Lösung

  Überprüfst du zuerst die Richtungsvektoren auf lineare Unabhängigkeit, so kannst du schon mal zwei der vier Fälle ausschließen. Das Gleichungssystems aus den Richtungsvektoren lautet:

  $\begin{align} 2 &= -2,5 \cdot r &|& :(-2,5) \\ 1 &= 4 \cdot r &|&:4 \\ -1 &= -5 \cdot r &|& :(-5) \end{align} $

  Du erhältst also für jede Zeile ein anderes $r$. Nämlich $r=-0,8$ in der ersten, $r=0,25$ in der zweiten und $r=0,2$ in der dritten Zeile. Die Vektoren sind also linear unabhängig. Anschaulich bedeutet das, dass die Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen. Die Geraden können also nur noch windschief sein oder sich schneiden.

  Addierst du nun die Gleichungen $\mathord{\mathrm{II}}$ und $\mathord{\mathrm{III}}$, so erhältst du eine neue Gleichung, die du nach $t$ umstellst.

  $\begin{align} 2&=4-t &|& +t \\ 2+t&=4 &|& -2 \\ t&=2 \end{align}$

  Nun setzt du $t=2$ in Gleichung $\mathord{\mathrm{I}}$ ein und stellst nach $s$ um.

  $\begin{align} -7+2s&=1 &|& +7 \\ 2s&=8 &|& :2 \\ s&=4 \end{align}$

  Du erhältst also eine Lösung für $t$ und $s$. Folglich schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

• Prüfe die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit.

  Tipps

  Die Richtungsvektoren entsprechen $\vec u$ und $\vec v$.

  Linear abhängig bedeutet, dass du für $\vec u= r \cdot \vec v$ in jeder Zeile dasselbe $r$ erhältst. Solltest du nicht in jeder Zeile dasselbe $r$ erhalten, sind die Vektoren linear unabhängig.

  Lösung

  Die Richtungsvektoren entsprechen $\vec u$ und $\vec v$. Um sie auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen, musst du sie in ein Gleichungssystem schreiben.

  1.: Für die Vektoren $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -2,5 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$ sieht das Gleichungssystem wie folgt aus:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -2,5 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align}$

  Stellst du die erste Gleichung nach r um, so erhältst du $r=-0,8$. Aus der zweiten Gleichung folgt $r=0,25$. Da r verschiedene Werte annimmt, sind die Vektoren linear unabhängig.

  2.: Das Gleichungssystem der Vektoren $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ lautet:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$

  Aus allen drei Gleichungen erhält man $r=-3$. Die Vektoren sind also linear abhängig.

  3.: Mit den Vektoren $\begin{pmatrix} 6 \\ -10\\ 15 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1,2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ erhält man das Gleichungssystem:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 15 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1,2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$

  Auch hier erhält man aus allen drei Gleichungen denselben Wert, nämlich $r=5$. Diese Vektoren sind also linear abhängig.

  4.: Für die Vektoren $\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ erhält man das Gleichungssystem:

  $\begin{align} \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix} \end{align}$

  Für die erste Gleichung erhält man $r=4$ und für die zweite Gleichung $r=0,25$. Es gibt verschiedene Werte für $r$. Die Vektoren sind also linear unabhängig.

• Erläutere die Vorgehensweise beim Bestimmen der Lage zweier Geraden im Raum.

  Tipps

  Sind zwei Vektoren linear abhängig, bedeutet das im Prinzip auch, dass sie in dieselbe Richtung zeigen.

  Um das LGS zu lösen, musst du zwei der Gleichungen so geschickt miteinander kombinieren, dass $s$ oder $t$ wegfällt.

  Was bedeutet es, wenn du zwei Geraden gleichsetzt und aus dem LGS eine Lösung erhältst?

  Lösung

  • Bei windschiefen oder sich schneidenden Geraden zeigen die Richtungsvektoren in verschiedene Richtungen. Sie sind also linear unabhängig. Rechnerisch kannst du dies mit dem Gleichungssystem

  $\begin{align} 1&=0,5r \\ -4&=-2r \\ -3&=1r \end{align}$

  prüfen. Für die ersten beiden Zeilen erhältst du $r=2$, in der dritten jedoch $r=-3$.

  • Durch Gleichsetzen der Geraden, kannst du überprüfen, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben. Das ist dann der Fall, wenn das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}}& 1+1s&=1+0,5t\\ \mathord{\mathrm{II}}& 1+-4s&=1-2t\\ \mathord{\mathrm{III}}& 3-3s&=3+1t \end{vmatrix}$

  eine Lösung hat.

  • Kombinierst du die zweite und dritte Gleichung wie folgt

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{II}}+2 \cdot \mathord{\mathrm{III}}): 7+2s&=7 &|& -7 \\ 2s&=0 &|& :2 \\ s&=0 \end{align}$

  erhältst du als Lösung $s=0$. Diese Lösung setzt du in die erste Gleichung ein:

  $\begin{align} 1&=1+0,5t &|& -1 \\ 0&=0,5t &|& :0,5 \\ t&=0 \end{align}$

  und erhältst $t=0$.

  • Das LGS ist also gelöst, wenn $s=0$ und gleichzeitig $t=0$ gilt. Das LGS hat damit eine Lösung und folglich gibt es einen Schnittpunkt. Die Geraden schneiden sich also.

• Bestimme die Lagebeziehung der Geraden im Raum.

  Tipps

  Windschiefe und parallele Geraden schneiden sich nie.

  S steht für Schnittpunkt.

  Lösung

  Es gibt genau vier Möglichkeiten für die Lage zweier Geraden im Raum:

  • Im erstem Bild ist ein Schnittpunkt S eingezeichnet. Ein eindeutiges Zeichen dafür, dass sich die Geraden schneiden.
  • Die Geraden im zweiten Bild sind parallel ausgerichtet und sind auch in keinem Punkt gleich. Sie sind also echt parallel.
  • Diese Gerade zeigen in verschiedene Richtungen, sind also linear unabhängig. Die gelbe, gestrichelte Gerade soll verdeutlichen, dass die Geraden sich in diesem Punkt nicht berührten. Sie sind windschief.
  • Man erkennt quasi bloß eine Gerade, da beide Geraden in dieselbe Richtung zeigen und dieselben Punkte haben. Sie sind identisch.

• Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$.

  Tipps

  Stelle dir zwei Geraden im Raum vor und wie sie zueinander liegen können.

  Betrachte z.B. zwei sich schneidende Geraden. Wie stehen ihre Richtungsvektoren zueinander?

  Was sagt die Anzahl der Lösungen des LGS über die Geraden aus?

  Lösung

  Um die Lagebeziehung der Geraden $g$ und $h$ zu bestimmen, überprüft man zum einen die Richtungsvektoren auf lineare (Un)abhängigkeit. Desweiteren setzt man die Geraden gleich und löst das LGS. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, können die Geraden nur echt parallel bzw. identisch sein. Das entspricht keiner bzw. unendlich vielen Lösungen des LGS. Sollten die Richtungsvektoren linear unabhängig sein, könne die Geraden nur windschief sein bzw. sich schneiden. Das entspricht dann keiner bzw. einer Lösung des LGS.

  1.: Du stellst mit den Richtungsvektoren ein Gleichungssystem auf.

  $\begin{align} 1 &= -3 \cdot r &|& :(-3) \\ -1 &= 3 \cdot r &|& :3 \\ 2 &= -6 \cdot r &|& :(-6) \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in jeder Zeile $r = -\frac{1}{3}$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun g und h miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = & 2 & -3t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -1 & +3t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = && -6t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= 1 \\ (2 \cdot \mathord{\mathrm{II}} + \mathord{\mathrm{III}}): \quad -2 & = -2 \end{align}$

  Du erhältst also nur wahre Aussagen, das LGS hat demnach unendlich viele Lösungen. Die Geraden sind also identisch.

  2.: In diesen Fall lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren

  $\begin{align} 1 &= 2,5 \cdot r &|& :2,5 \\ -1 &= -2,5 \cdot r &|& :(-2,5) \\ 2 &= 5 \cdot r &|& :5 \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in jeder Zeile $r = 0,4$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && 2,5t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -2 & -2,5t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & 1 & -5t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= -2 \end{align}$

  Du erhältst also eine falsche Aussage; das LGS hat demnach keine Lösungen. Die Geraden sind also echt parallel zueinander.

  3.: Hier lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren

  $\begin{align} 1 &= -2 \cdot r &|& :(-2) \\ -1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ 2 &= -1 \cdot r &|& :(-1) \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in den ersten beiden Zeilen $r = -\frac{1}{2}$. In der dritten jedoch $r = -2$. Du erhältst also nicht für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && -2t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & 1 & +2t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & -4 & -t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (2 \cdot \mathord{\mathrm{II}} + \mathord{\mathrm{III}}): \quad -2 &= -2 +3t &&|+2 \\ 0 &= 3t &|& :3 \\ t &=0 \end{align}$

  $\begin{align} (t~in~\mathord{\mathrm{I}}): \quad 1 +s &= 0 &|& -1 \\ s &= -1 \end{align}$

  Das LGS hat also eine Lösung, nämlich $t=0$ und $s=-1$ Die Geraden schneiden sich also.

  4.: Hier lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren

  $\begin{align} 1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ -1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ 2 &= 4 \cdot r &|& :4 \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in der ersten Zeile $r = \frac{1}{2}$. In der zweiten Gleichung jedoch $r = -\frac{1}{2}$. Du erhältst also nicht für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && 2t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -2 & +2t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & 1 & -4t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= -2 \end{align}$

  Das ist eine Falschaussage. Folglich hat das LGS keine Lösung. Die Geraden sind also windschief.