Gegenseitige Lage Gerade-Ebene

Gegenseitige Lage Gerade-Ebene Übung

• Erstelle die Parametergleichung der Ebene $E$.

  Tipps

  Einen Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt man, indem man die Koordinaten des Startpunktes von den Koordinaten des Endpunktes subtrahiert.

  Ein Beispiel: Sei $M= (1|2|3)$ und $N=(3|4|5)$. Dann gilt:

  $\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Den Ortsvektor des Punktes $A$ kannst du direkt an den Koordinaten von $A$ ablesen.

  Lösung

  Unsere Ebene soll die Punkte $A(4|2|0)$, $B(6|4|-1)$ und $C(-1|3|4)$ enthalten und wie folgt aufgebaut sein:

  $E:\vec{x}=\vec{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$

  Dazu benötigen wir die beiden Spannvektoren der Ebene, denn den Stützvektor können wir direkt übernehmen – es ist der Ortsvektor von $A$.

  Allgemein berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten $M$ und $N$ so:

  $\overrightarrow{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

  Das tun wir jetzt mit unseren gesuchten Spannvektoren der Ebene:

  $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 4-2 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

  $\overrightarrow{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -1-4 \\ 3-2 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

  Damit erhalten wir folgende Parametergleichung für die Ebene:

  $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

• Zeige die Lage der Ebene zu den einzelnen Geraden auf.

  Tipps

  Es gibt nur windschiefe Geraden. Eine Gerade und eine Ebene können nicht windschief sein, da sie sich, wenn sie nicht parallel verlaufen, irgendwann schneiden müssen.

  Geraden können parallel zu Ebenen sein, sie schneiden oder in ihnen liegen.

  Man setzt die Zeilen der Geradengleichung g, h bzw. l in die Koordinatengleichung für E ein und löst die Gleichung in $\alpha$, $\beta$ bzw. $\gamma$.

  Die Anzahl der Lösungen für $\alpha$, $\beta$ bzw. $\gamma$ gibt an, wie viele Punkte die Gerade und die Ebene gemeinsam haben.

  Lösung

  Wir wollen die Geraden der Reihe nach auf ihre Lage zur Ebene $E$ prüfen.

  Wir beginnen mit der Gerade $g$. Um ihre Lage zur Ebene zur ermitteln, setzen wir Zeile für Zeile der Geradengleichung in die Koordinatengleichung ein.

  Hier noch einmal die Ebene und die Geradengleichung für $g$:

  $E: 3x -y +4z =10$

  $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Jetzt setzen wir $g$ in $E$ ein:

  $\begin{align} 3 \cdot (0+0\alpha) - (-2+4\alpha) + 4 \cdot (2+\alpha) &= 10 \\ 2-4\alpha + 8 + 4\alpha &= 10 \\ 10 &= 10 \end{align}$

  Das bedeutet, dass jede Lösung für $\alpha$ bei dieser Gleichung stimmt. Somit gibt es unendlich viele Lösungen der Gleichung. Daher können wir sagen, dass die Gerade in der Ebene liegt.

  Weiter mit Gerade $h$:

  $h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Hier verfahren wir genauso wie vorher:

  $\begin{align} 3\cdot (1+2\beta) - (2+10\beta) + 4 \cdot (3+\beta) &=10 \\ 3+ 6\beta - 2 - 10\beta + 12 + 4\beta &= 10\\ 13 &= 10 \end{align}$

  Da aber $13 \neq 10$ gilt, haben wir hier einen Widerspruch. Somit existiert keine Lösung für $\beta$. Das bedeutet, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

  Zum Schluss Gerade $l$:

  $l:\vec{x}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

  Wir setzen ein:

  $\begin{align} 3\cdot (-3+2\gamma) - (3+\gamma) +4\cdot (1+\gamma) &= 10 &\\ -9 + 6\gamma - 3 -\gamma + 4 + 4\gamma &=10 & \\ -8 + 9\gamma &= 10 &\quad |+8\\ 9\gamma &= 18 &\quad |:9 \\ \gamma &=2 & \end{align}$

  Es existiert genau eine Lösung für diese Gleichung. Somit können wir sagen, dass die Gerade die Ebene schneidet. Man kann sogar den Schnittpunkt genau bestimmen, indem man den soeben berechneten Wert für $\gamma$ in die Geradengleichung einsetzt.

  Falls du es nachrechnen möchtest: Der Schnittpunkt ist $S(1|5|3)$.

• Bestimme den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $E$.

  Tipps

  Man setzt die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Eben ein, um einen passenden Wert für $t$ zu ermitteln.

  Wenn man bei der Überprüfung der Lage von Gerade und Ebene für den Parameter genau ein Ergebnis erhält, die Gleichung also genau eine Lösung hat, kann man den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene genau bestimmen.

  Dazu setzt man den ermittelten Parameterwert für $t$ in die Geradengleichung ein.

  Lösung

  Um den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene zu ermitteln, muss man die Geradengleichung zeilenweise in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen.

  Die Geradengleichung und die Ebene in Koordinatenform sind bereits gegeben, sodass wir direkt $g$ in $E$ einsetzen können:

  $\begin{align} -1,5\cdot (0+t) +3\cdot (-1+2t) -1,5\cdot (-1 + 4t) &= -3 \\ -1,5t -3 +6t +1,5 - 6t &= -3 \\ -1,5 -1,5t &= -3 &|& +1,5 \\ -1,5t &= -1,5 &|& :(-1,5)\\ t &=1 \end{align}$

  Diesen Wert für $t$ können wir nun in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunktes zu erhalten:

  $\begin{align} \vec{OS}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$

  Somit ist unser gesuchter Schnittpunkt $S(1|1|3)$.

• Prüfe die Lage der Ebene $E$ zur Gerade $g$.

  Tipps

  Bilde zuerst die Parametergleichung der Ebene und daraus ihre Koordinatenform.

  Einen Vektor zwischen zwei Punkten bestimmt man, indem man die Koordinaten des Startpunktes von den Koordinaten des Endpunktes subtrahiert.

  In Formeln geschrieben: $\overrightarrow{MN} = \vec{ON} - \vec{OM}$

  Einen Normalenvektor zu $E$ erhält man durch das Vektorprodukt ihrer Spannvektoren.

  So entsteht ein Vektorprodukt:

  $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  Hast du die Normalengleichung der Ebene bestimmt, so setzt du die Koordinaten der Geradengleichung ein.

  Die Anzahl der Lösungen der entstehenden Gleichung stimmt mit der Anzahl der Schnittpunkte von $g$ und $E$ überein.

  Lösung

  Zunächst müssen wir eine Ebenengleichung für die Ebene aufstellen, die durch die Punkte $A(3|1|1)$, $B(2|1|2)$ und $C(4|2,5|3)$ festgelegt ist.

  Da die drei gegebenen Punkte in der Ebene liegen sollen, könnte eine passende Gleichung so aussehen:

  $E:\vec{x}= \vec{OA} + s\cdot \overrightarrow{AB} + t\cdot \overrightarrow{AC}$

  Mit den gegebenen Punkten berechnen wir:

  $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Wir benennen die Spannvektoren mit $u$ und $v$ und bilden ihr Vektorprodukt, um einen Normalenvektor zur Ebene $E$ zu bestimmen. In unserem Fall sind diese Vektoren folgendermaßen gegeben:

  $\vec{u}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~~ \vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  Allgemein berechnet man das Vektorprodukt so:

  $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  Für das Produkt unser beiden Spannvektoren erhalten wir $\vec{n}=\begin{pmatrix} -1,5 \\ 3 \\ -1,5 \end{pmatrix}$ als Normalenvektor der Ebene. Daraus erstellen wir jetzt die Koordinatengleichung. Allgemein lautet sie:

  $E: a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z = d$

  Hierbei sind $a, b$ und $c$ die Koordinaten des Normalenvektors.

  Parameter $d$ erhält man, wenn man die Koordinaten eines Punktes der Ebene für $x$, $y$ und $z$ einsetzt. Dazu verwenden wir einfach den Punkt $A$ und bekommen:

  $-1,5\cdot 3 + 3 \cdot 1 -1,5\cdot 1 = -3 = d$

  Die Koordinatengleichung für die Ebene lautet also:

  $E: -1,5x + 3y - 1,5z = -3$

  Nun setzen wir für $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten der Geradengleichung ein, um so ihre Lage zu $E$ zu überprüfen.

  $\begin{align} -1,5\cdot (1+2t) +3\cdot (3+3t) -1,5\cdot (2+4t)&= -3\\ -1,5 -3t +9 +9t -3 -6t &= -3 \\ 4,5 &= -3 \end{align}$

  Hier sehen wir einen Widerspruch, da natürlich $4,5 \neq -3$ gilt.

  Damit lässt sich folgende Aussage treffen:

  Die Ebene $E$ und die Gerade $g$ haben keinerlei gemeinsame Punkte und verlaufen damit parallel zueinander.

• Bestimme die wahren Aussagen über Geraden und Ebenen.

  Tipps

  Führt die Rechnung beim Überprüfen der Lage zu einem Widerspruch, so gilt $E \parallel g$.

  Erhältst du ein eindeutiges Ergebnis beim Überprüfen der Lage, existiert ein gemeinsamer Punkt von Gerade und Ebene.

  Wir setzen die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und lösen die Gleichung. Die Anzahl dieser Lösungen stimmt mit der Anzahl der gemeinsamen Punkte zwischen Gerade und Ebene überein.

  Lösung

  Wir setzen die Koordinaten der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und lösen die Gleichung. Die Anzahl dieser Lösungen stimmt mit der Anzahl der gemeinsamen Punkte zwischen Gerade und Ebene überein.

  Es gibt drei mögliche Lagen, die eine Ebene und eine Gerade zueinander einnehmen können.

  • Die Gerade verläuft in der Ebene.

  • Die Gerade verläuft parallel zur Ebene.

  • Die Gerade schneidet die Ebene.

  Im ersten Fall würdest du beim Lösen der Gleichung zur Lageüberprüfung eine wahre Aussage, z.B. $10=10$ erhalten. Das würde bedeuten, dass Gerade und Ebene unendlich viele gemeinsame Punkte hätten und die Gerade somit in der Ebene liegt.

  Im zweiten Fall führt deine Gleichung zu einem Widerspruch wie z.B. $13=10$. Hier haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte und verlaufen daher parallel zueinander.

  Im dritten und letzten Fall erhältst du genau ein Ergebnis für den Parameter, z.B. für einen Parameter $\gamma$ den Wert $\gamma=2$. Damit ist gezeigt, dass genau ein Schnittpunkt existiert. Wenn du diesen Wert noch in die Geradengleichung einsetzt, kannst du sogar seine Koordinaten bestimmen.

• Ermittle die Koordinaten des gesuchten Punktes an.

  Tipps

  Wenn die gedachte Gerade $g$ senkrecht zu $E$ verläuft, dann muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene sein. Also brauchen wir zuerst den Normalenvektor zu $E$. Dieser ergibt sich aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren.

  So entsteht ein Vektorprodukt:

  $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3 - a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1 - a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  Wenn man bei der Überprüfung der Lage von Gerade und Ebene für den Parameter ein Ergebnis erhält, die Gleichung also genau eine Lösung hat, kann man den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene genau bestimmen.

  Man setzt die Zeilen der Geradengleichung in die Koordinatengleichung ein, um einen passenden Wert für den Parameter der Geradengleichung zu ermitteln.

  Die Koordinatenform von $E$ lautet:

  $E: -8x + 5y -3z = -43$

  Ein Normalenvektor ist:

  $\vec{n}= \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

  Lösung

  Fassen wir zunächst zusammen, was gegeben ist.

  Wir kennen diese Ebene:

  $E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}$

  Wir denken uns dazu eine Gerade, die durch den Punkt $P(13|-46|1)$ verläuft und die Ebene orthogonal schneidet.

  Jetzt brauchen wir nur die Koordinaten des Schnittpunktes.

  Wenn die gedachte Gerade $g$ senkrecht zu $E$ verläuft, dann muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene sein. Also brauchen wir zuerst den Normalenvektor zu $E$.

  Dieser ergibt sich aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren. Wenn du ihr Produkt berechnest, müsste dieser Normalenvektor herauskommen:

  $\vec{n}=\begin{pmatrix} -88 \\ 55 \\ -33 \end{pmatrix}= 11 \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

  Der Einfachheit halber rechnen wir mit dem Normalenvektor $\vec{n}=(-8;5;-3)^t$. Damit ergibt sich, wenn wir in die Koordinatenform $-8\cdot x+5\cdot y-3\cdot z=d$ noch den Stützvektor der Ebene einsetzen, folgende Koordinatengleichung für $E$:

  $\begin{align} -8\cdot 2 +5\cdot -3 -3\cdot 4=-43&=d \\ \Rightarrow E: -8x + 5y -3z &= -43 \end{align}$

  Für die Geradengleichung der gedachten Gerade können wir, wie schon festgestellt, den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor verwenden. Als Stützvektor nehmen wir den Ortsvektor von $P$, durch den die Gerade ebenso verlaufen soll.

  Daraus ergibt sich diese Geradengleichung:

  $g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 13 \\ -46 \\ 1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

  Nun haben wir sichergestellt, dass die Ebene und die Gerade orthogonal sind. Jetzt müssen wir den Schnittpunkt nur noch bestimmen. Dazu setzen wir die Koordinaten aus der Geradengleichung von $g$ in die Koordinatenform von $E$ ein:

  $\begin{align} -8\cdot (13-8t) +5\cdot (-46+5t) -3\cdot (1-3t) &= -43 & \\ -104 +64t -230 +25t -3 +9t &= -43 & \\ -337 + 98t &= -43&\quad |+337 \\ 98t &= 294 &\quad |:98 \\ t&= 3 & \end{align}$

  Jetzt setzen wir den Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um die gesuchten Koordinaten des Schnittpunkts $Q$ zu erhalten:

  $\vec{OQ}=\begin{pmatrix} 13 \\ -46 \\ 1 \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -31 \\ -8 \end{pmatrix}$

  Der gesuchte Schnittpunkt ist $Q(-11|-31|-8)$.