Gebrochenrationale Funktionen – Definitionslücken und Asymptoten

Gebrochenrationale Funktionen – Definitionslücken und Asymptoten Übung

• Entscheide, um welche Art von Definitionslücke es sich handelt.

  Tipps

  Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f(x)$.

  • Hebbare Definitionslücke: Die entsprechende Nullstelle des Nenners ist auch eine Nullstelle des Zählers. Sie würde sich also kürzen lassen.

  • Polstelle: Polstellen sind nicht hebbare Definitionslücken. Die Nullstelle des Nenners ist hier also keine Nullstelle des Zählers.

  Lösung

  Definitionslücken einer Funktion sind $x$-Werte, für die die Funktion nicht definiert ist: Sie nimmt für den $x$-Wert keinen Funktionswert an.
  Bei gebrochenrationalen Funktionen kann man die Definitionslücken mit den Nullstellen des Nenners identifizieren. Der Grund liegt darin, dass man nicht durch null teilen darf: Diese Operation ist nicht definiert. Der Nenner darf also nicht den Wert null annehmen.

  Wir unterscheiden zwischen:

  • hebbaren Definitionslücken und
  • Polstellen.

  
  

  Hebbare Definitionslücke:
  Die entsprechende Nullstelle des Nenners ist auch eine Nullstelle des Zählers. Sie würde sich also kürzen lassen.
  Am Funktionsgraphen ist eine hebbare Definitionslücke nur durch einen kleinen Kringel darstellbar, der Graph verläuft ansonsten normal und macht keine Sprünge.

  Polstelle:
  Polstellen sind nicht hebbare Definitionslücken. Die Nullstelle des Nenners ist hier also keine Nullstelle des Zählers.
  Der Funktionsgraph nähert sich an diesen Stellen an senkrechte Asymptoten an.

  
  

  Wir betrachten nun die gegebene Funktion:

  $f(x) = \dfrac{(x+3)(x-5)}{(x-3)(x-1)(x+3)}$

  Wir können die Nullstellen des Nenners direkt ablesen:

  $x_1=3 \quad x_2=1 \quad x_3=-3$

  • $x=5$ ist keine Nullstelle des Nenners, sondern nur eine Nullstelle des Zählers. Es handelt sich daher hierbei um keine Definitionslücke. Die Stelle weist auch im Funktionsgraphen keine Auffälligkeiten auf.
  • $x=-3$ ist sowohl Nullstelle des Nenners als auch Nullstelle des Zählers. Es handelt sich also hierbei um eine hebbare Definitionslücke. Sie ist im Funktionsgraphen lediglich durch einen kleinen Kringel symbolisiert.
  • $x=1$ ist nur eine Nullstelle des Nenners und somit eine Polstelle. Der Funktionsgraph macht hier einen Vorzeichenwechsel $- \rightarrow +$.
  • $x=3$ ist ebenfalls nur eine Nullstelle des Nenners und somit eine Polstelle. Der Funktionsgraph macht hier einen Vorzeichenwechsel $+ \rightarrow -$.

• Gib an, welche Aussagen zu Asymptoten richtig sind.

  Tipps

  Eine Asymptote ist eine Kurve beziehungsweise meistens eine Gerade, an die sich eine Funktion immer weiter annähert.

  Wir unterscheiden zwischen:

  • senkrechten Asymptoten
  • waagerechten Asymptoten
  • schrägen Asymptoten
  • kurvenförmigen Asymptoten

  Es sind drei Aussagen richtig.

  Lösung

  Eine Asymptote ist eine Kurve beziehungsweise meistens eine Gerade, an die sich eine Funktion immer weiter annähert.

  Wir unterscheiden zwischen:

  • senkrechten Asymptoten: Diese treten bei Polstellen auf.
  • waagerechten Asymptoten: Diese treten immer dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Häufig ist die $x$-Achse eine waagerechte Asymptote.
  • schräge oder kurvenförmige Asymptoten: Diese liegen vor, wenn der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist.

  
  

  Wir überprüfen damit die Aussagen:

  
  

  • Asymptoten sind immer senkrechte Geraden, an die sich der Funktionsgraph immer weiter annähert.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Es gibt auch waagerechte oder schräge Asymptoten.

  
  

  • Wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, dann treten waagerechte Asymptoten auf.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig: Allgemein treten waagerechte Asymptoten auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist.

  
  

  • Es gibt auch kurvenförmige Asymptoten.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig: Kurvenförmige Asymptoten treten dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms um mehr als $1$ größer ist als der Grad des Nennerpolynoms.

  
  

  • An einer Polstelle nähert sich der Funktionsgraph immer einer senkrechten Asymptote an.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.

• Beschreibe das Verhalten der gebrochenrationalen Funktion.

  Tipps

  Du kannst im Nenner ein $x$ ausklammern und erhältst:

  $\dfrac{3x}{x(x+1)(x-2)^2}$

  Eine hebbare Definitionslücke ist gleichzeitig Nullstelle der Zählerfunktion und der Nennerfunktion.

  Lösung

  Wir betrachten die gegebene Funktionsgleichung:

  $\dfrac{3x}{(x^2+x)(x-2)^2}$

  Zunächst fällt auf, dass wir im Nenner ein $x$ ausklammern können, um die Nullstellen vom Nenner besser erkennen und mit dem Zähler vergleichen zu können:

  $\dfrac{3x}{x(x+1)(x-2)^2}$

  Wir sehen nun, dass $x=0$ eine Nullstelle des Nenners und gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist. Es handelt sich hierbei somit um eine hebbare Definitionslücke.

  Außerdem weist der Nenner noch die Nullstelle $x=-1$ auf. Hierbei handelt es sich um keine Nullstelle der Zählerfunktion – es ist also eine Polstelle. Auch $x=2$ ist eine Nullstelle des Nenners, aber keine Nullstelle des Zählers und deshalb eine Polstelle. Da es keine weiteren Nullstellen in der Nennerfunktion gibt, können wir festhalten, dass die Funktion genau zwei Polstellen hat. An diesen beiden Polstellen hat die Funktion senkrechte Asymptoten, also hat sie zwei senkrechte Asymptoten.

  Wir betrachten jetzt weitere Asymptoten. Dazu untersuchen wir den Grad des Zählers und des Nenners. Der Grad des Zählers ist $1$, denn $3x = 3x^1$. Der Grad des Nenners ist $4$. Das erkennen wir, weil beim Ausmultiplizieren aller Klammern der erste Summand $x^4$ wäre. Der Grad der Zählerfunktion ist also kleiner als der Grad der Nennerfunktion. Somit hat der Funktionsgraph eine waagerechte Asymptote. Dies ist in unserem Fall die $x$-Achse. Wir schreiben für das Verhalten im Unendlichen:

  $ \lim \limits_{x \to + \infty} f(x) = 0$ und $ \lim \limits_{x \to - \infty} f(x) = 0$

• Untersuche die Funktion auf Definitionslücken und Asymptoten.

  Tipps

  Die Nullstellen der Nennerfunktion sind $x_1=-3$ und $x_2=+3$.

  Die Geradengleichung der $x$-Achse ist $y=0$.

  Hier kannst du den Graphen $f$ sehen.

  Lösung

  Wir betrachten die gegebene Funktion:

  $f(x) = \dfrac{3x}{x^2-9}$

  Zunächst bestimmen wir die Nullstellen des Nenners:

  $\begin{array}{llll} x^2-9 & = & 0& |+9 \\ x^2 & = & 9 & | \pm \sqrt{} \\ x & = & \pm 3 & \end{array}$

  Wir erhalten also die Nullstellen der Nennerfunktion:

  $x_1=-3$ und ${x_2=+3}$

  Da es sich hierbei um keine Nullstellen des Zählers handelt, sind beides Polstellen. Somit hat die Funktion die senkrechten Asymptoten $x=-3$ und ${x=+3}$. Bei ${x=-3}$ macht die Funktion einen Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$, bei $x=+3$ macht die Funktion einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$. Dies können wir am Funktionsgraphen erkennen oder durch Einsetzen von Werten, welche etwas größer und etwas kleiner als der gegebene Wert sind.

  Außerdem können wir erkennen, dass der Grad der Zählerfunktion kleiner als der Grad der Nennerfunktion ist. Somit hat die Funktion eine waagerechte Asymptote – nämlich die $x$-Achse. Wir schreiben sie als $y=0$.

• Bestimme, ob der abgebildete Funktionsgraph Polstellen hat.

  Tipps

  Wir erkennen Polstellen im Funktionsgraphen daran, dass sich der Graph an diesen Stellen einer senkrechten Asymptote annähert.

  Dieser Funktionsgraph hat eine Polstelle.

  Drei der abgebildeten Graphen haben eine Polstelle.

  Lösung

  An einer Polstelle hat eine Funktion eine Definitionslücke – die Funktion nimmt hier keinen Funktionswert an. Wir erkennen Polstellen im Funktionsgraphen daran, dass sich der Graph an diesen Stellen einer senkrechten Asymptote annähert.

  Eine Asymptote ist eine Kurve beziehungsweise meistens eine Gerade, an die sich eine Funktion immer weiter annähert.

  
  

  Wir betrachten die Funktionsgraphen:

  1. Graph: blaue Potenzfunktion
  $\Rightarrow$ Dieser Funktionsgraph weist keine Polstelle auf.

  2. Graph: grüne Hyperbel
  $\Rightarrow$ Dieser Funktionsgraph hat eine Polstelle bei $x=0$. Die $y$-Achse ist also in diesem Fall die Asymptote.

  3. Graph: orange Hyperbel
  Dieser Funktionsgraph hat eine Polstelle bei $x=2$. Die Asymptote ist gestrichelt eingezeichnet.

  4. Graph: grüne Parabel
  Dieser Funktionsgraph weist keine Polstelle auf.

  5. Graph: lila Potenzfunktion
  Dieser Funktionsgraph weist ebenfalls keine Polstelle auf.

  6. Graph: orange Hyperbel
  Dieser Funktionsgraph hat eine Polstelle bei $x=0$. Die $y$-Achse ist also auch in diesem Fall die Asymptote.

• Vervollständige den Funktionsgraphen jeweils so, dass die geforderte Eigenschaft erfüllt ist.

  Tipps

  Wir unterscheiden zwischen den folgenden Asymptoten:

  • senkrechte Asymptoten: Sie treten bei Polstellen auf.
  • waagerechte Asymptoten: Sie treten immer dann auf, wenn der Grad der Zählerfunktion kleiner oder gleich dem Grad der Nennerfunktion ist.
  • schräge Asymptoten: Sie treten auf, wenn der Grad der Zählerfunktion um $1$ größer als der Grad der Nennerfunktion ist.
  • kurvenförmige Asymptoten: Sie treten auf, wenn der Grad der Zählerfunktion um mehr als $1$ größer als der Grad der Nennerfunktion ist.

  Bei der ersten Funktion hilft es, im Zähler ein $x$ auszuklammern:

  $x^2-ax = x(x-a)$

  Lösung

  Definitionslücken einer Funktion sind $x$-Werte, für die die Funktion nicht definiert ist: Sie nehmen für diese $x$-Werte keinen Funktionswert an.

  Wir unterscheiden zwischen:

  • hebbaren Definitionslücken: Diese sind Nullstellen der Nennerfunktion und der Zählerfunktion.
  • Polstellen: Sie sind nur Nullstellen der Nennerfunktion.

  Eine Asymptote ist eine Kurve beziehungsweise meistens eine Gerade, an die sich eine Funktion immer weiter annähert.

  Wir unterscheiden:

  • senkrechte Asymptoten: Sie treten bei Polstellen auf.
  • waagerechte Asymptoten: Sie treten immer dann auf, wenn der Grad der Zählerfunktion kleiner oder gleich dem Grad der Nennerfunktion ist.
  • schräge Asymptoten: Sie treten auf, wenn der Grad der Zählerfunktion um $1$ größer als der Grad der Nennerfunktion ist.
  • kurvenförmige Asymptoten: Sie treten auf, wenn der Grad der Zählerfunktion um mehr als $1$ größer als der Grad der Nennerfunktion ist.

  
  

  Wir betrachten mit diesem Wissen die gegebenen Funktionen:

  
  

  Erste Funktion: $f(x)= \dfrac{x^2-ax}{(x-3)(x-4)(x+3)}$

  Sie soll eine hebbare Definitionslücke bei $x=-3$ haben. Dazu muss dies eine Nullstelle der Nennerfunktion und der Zählerfunktion sein. Im Nenner können wir die Nullstelle an dem Faktor $(x+3)$ erkennen. Im Zähler können wir ein $x$ ausklammern:

  $x^2-ax = x(x-a)$

  Also muss die Variable $a=-3$ sein, damit die Funktion bei $x=-3$ eine Zählernullstelle und somit eine hebbare Definitionslücke hat.

  
  

  Zweite Funktion: $g(x)= \dfrac{x^a}{x^3-2}$

  Sie soll eine schräge Asymptote haben. Dazu muss der Grad der Zählerfunktion um $1$ größer als der Grad der Nennerfunktion sein. Da der Grad $3$ ist, muss der Grad der Zählerfunktion $a=4$ sein.

  
  

  Dritte Funktion: $h(x)= \dfrac{x}{x^2-a}$

  Sie soll eine Polstelle bei $x=2$ haben. Dazu muss $x=2$ Nullstelle des Nenners sein (und keine Nullstelle des Zählers, was gegeben ist). Wir setzen also $2^2-a=0$ und erhalten durch Auflösen der Gleichung die Variable $a=4$.