Ganze Zahlen vergleichen
Ganze Zahlen können mithilfe einer Zahlengeraden verglichen werden: Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie. Negative Zahlen sind immer kleiner als positive. Vergleichszeichen wie < und > helfen dabei. Interessiert? Mehr Beispiele und Übungen findest du im Text!
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Grundlagen zum Thema Ganze Zahlen vergleichen
Ganze Zahlen vergleichen und ordnen
Um ganze Zahlen miteinander vergleichen zu können, sind Zahlengeraden eine große Hilfe. Darauf können die verschiedenen ganzen Zahlen abgetragen werden. Wie genau das funktioniert, erfährst du im Video über ganze Zahlen auf der Zahlengeraden. Fassen wir das Wichtigste noch einmal kurz zusammen:
- Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist auf einer Zahlengeraden immer derselbe.
- Von der Null aus liegen rechts die positiven Zahlen. Links der Null liegen die negativen Zahlen.
Es gilt: Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto größer ist sie. Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.
Schauen wir uns nun anhand von Beispielen an, wie man ganze Zahlen mithilfe einer Zahlengeraden miteinander vergleichen kann.
Ganze Zahlen vergleichen – Erklärung
Beginnen wir mit den Zahlen $40$ und $20$. Zunächst können wir beide Zahlen auf einer Zahlengeraden markieren:
Um die Zahlen nun miteinander vergleichen zu können, schauen wir, welche Zahl weiter rechts und welche Zahl weiter links steht. Wir sehen, dass die $40$ weiter rechts als die $20$ steht. Daraus schließen wir, dass die $40$ größer als die $20$ ist, da Zahlen, die weiter rechts auf der Zahlengeraden stehen, größer sind. Das können wir schreiben als:
$20 < 40 \quad$ Gelesen als: $20$ ist kleiner als $40$.
Dieses Vergleichszeichen wird Kleiner-als-Zeichen genannt. An der Spitze steht die kleinere Zahl, die größere Zahl steht an der großen Öffnung. Wir können genauso schreiben:
$40 > 20 \quad$ Gelesen als: $40$ ist größer als $20$.
Hierbei handelt es sich um ein Größer-als-Zeichen. Auch hier zeigt die Spitze wieder auf die kleinere Zahl. Diese steht nun aber rechts vom Vergleichszeichen.
Ganze Zahlen vergleichen – Übungen
Vergleichen wir nun die Zahlen $20$ und $-10$. Zunächst tragen wir beide Zahlen wieder auf der Zahlengeraden ab.
Die $-10$ steht weiter links auf der Zahlengeraden, also ist sie die kleinere Zahl. Wir können schreiben:
$-10 < 20 \quad$ oder:$\quad 20 > -10$
Wollen wir nun die beiden negativen Zahlen $-10$ und $-25$ miteinander vergleichen, so können wir diese zunächst wieder auf der Zahlengeraden markieren:
Wir sehen, dass die $-25$ weiter links steht. Sie ist demnach die kleinere der beiden Zahlen. Wir können schreiben:
$-25 < -10 \quad$oder:$\quad -10 > -25$
Wir können auch mehrere Zahlen auf der Zahlengeraden miteinander vergleichen. Schauen wir uns die Zahlen $-25$, $-10$, $20$ und $40$ an. Die Zahl $-25$ steht weiter links als $-10$, ist also kleiner als $-10$. Diese ist wiederum kleiner als $20$, die kleiner als $40$ ist. Wir können schreiben:
$-25 < -10 < 20 < 40$
Allgemein gilt: Negative Zahlen sind immer kleiner als positive Zahlen.
Abstände ganzer Zahlen zur Null
Vergleichen wir nun zuerst im positiven Bereich die Abstände zur Null. Im Vergleich zur $20$ hat die $40$ einen größeren Abstand zur Null, da sie die größere Zahl ist.
Es gilt: Je größer der Abstand einer positiven Zahl zur Null ist, desto größer ist diese Zahl.
Im negativen Bereich ist es umgekehrt. Die $-25$ hat einen größeren Abstand zur Null als die $-10$, da sie die kleinere Zahl ist.
Es gilt: Je größer der Abstand einer negativen Zahl zur Null ist, desto kleiner ist diese Zahl.
Wie vergleicht man ganze Zahlen? – Zusammenfassung
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zur Frage Wie vergleicht man ganze Zahlen? zusammen:
- Beim Vergleich ganzer Zahlen miteinander hilft eine Zahlengerade, auf der die Zahlen markiert werden können.
- Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto größer ist diese Zahl. Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto kleiner ist sie.
- Negative Zahlen sind immer kleiner als positive Zahlen.
- Um zwei ganze Zahlen miteinander zu vergleichen, können wir ein Kleiner-als-Zeichen oder ein Größer-als-Zeichen zwischen beide Zahlen schreiben. Die Spitze des Zeichens zeigt dabei auf die kleinere Zahl.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Ganze Zahlen vergleichen.
Transkript Ganze Zahlen vergleichen
Ob Kamel, Elch, Faultier oder Eisbär – Jeder hat seine bestimmte Wohlfühltemperatur. Um die Wohlfühltemperaturen miteinander vergleichen zu können, werden wir ganze Zahlen vergleichen. Und dabei hilft uns die Zahlengerade. Darauf können wir die ganzen Zahlen abtragen - immer im gleichen Abstand. Rechts von der 0 liegen die positiven Zahlen und links der 0 die negativen Zahlen. Dabei gilt: Je weiter nach rechts wir auf der Zahlengeraden gehen, desto größer werden die Zahlen und je weiter nach links, desto kleiner werden sie. In beide Richtungen gibt es noch unendlich viele weitere ganze Zahlen. Wollen wir links noch kleinere und rechts noch größere Zahlen eintragen, werden meist die Schritte zwischen den Markierungen größer. So entstehen hier zum Beispiel Fünfer-Schritte. Beginnen wir mit dem Vergleich von Kamel und Faultier. Diese beiden lieben Temperaturen von 40 beziehungsweise 20 Grad Celsius. Lassen wir der Einfachheit halber die Einheiten weg. Die 40 können wir auf der Zahlengeraden hier ablesen und die 20 hier. Wir erinnern uns: Je weiter rechts, desto größer sind die Zahlen und je weiter links, desto kleiner. Daran können wir schon sehen, dass 20 kleiner ist als 40. Um das mathematisch auszudrücken, nutzen wir dieses Vergleichszeichen. An der kleinen Spitze steht die kleinere der beiden Zahlen und an der großen Öffnung die größere Zahl. Schreiben wir die Werte genau anders herum, so muss auch das Vergleichszeichen anders herumstehen. Wir lesen: 40 ist größer als 20. Als nächstes vergleichen wir die Wohlfühltemperaturen von Elch und Faultier. Vom Elch liegt sie bei -10 Grad Celsius. Auf der Zahlengeraden befindet sich die -10 hier und die Temperatur vom Faultier hatten wir ja schon. Welche Zahl ist kleiner? -10 steht weiter links, also ist es die kleinere Zahl. Mit dem Vergleichszeichen schreiben wir: -10 ist kleiner als 20. Umgekehrt ist 20 größer als -10. Und was ist mit den Wohlfühltemperaturen vom Eisbären und dem Elch? Diesmal sind beide Werte negative Zahlen. Wir können sie auf der Zahlengeraden markieren und mithilfe der Regel vergleichen: Je weiter rechts, desto größer die Zahlen und je weiter links desto kleiner. So wissen wir, dass -25 kleiner als -10 ist. Nach demselben Prinzip können wir auch mehrere Zahlen auf der Zahlengeraden vergleichen. -25 ist kleiner als -10. Die ist kleiner als 20. Und die ist kleiner als 40. Allgemein sind übrigens negative Zahlen immer kleiner als positive. Lass uns nun die Abstände zu Null miteinander vergleichen. Zuerst nur im positiven Bereich: Im Vergleich zur 20 hat die 40 den größeren Abstand zur Null und 40 ist auch größer als 20. Je größer also der Abstand einer positiven Zahl zur Null ist, desto größer ist die Zahl. Im negativen Bereich ist es genau anders rum. Zum Beispiel beträgt der Abstand von -25 zur Null – 25 und der Abstand von -10 zur Null – nur 10. Klar, der Abstand 25 ist größer als der Abstand 10. Aber -25 steht auf der Zahlengeraden weiter links und ist deshalb kleiner. Wir sehen also: Je größer der Abstand einer negativen Zahl zur Null ist, desto kleiner ist die negative Zahl. Zeit für die Zusammenfassung. Um ganze Zahlen zu vergleichen, hilft es dir zunächst, die Zahlen auf der Zahlengeraden zu markieren. Dort gilt nämlich: Je weiter nach rechts wir auf der Zahlengeraden gehen, desto größer werden die Zahlen. Somit ist 10 größer als -5. Je weiter nach links wir gehen, desto kleiner werden die Zahlen. Deshalb ist -15 kleiner als -5. Und eine negative Zahl ist immer kleiner als eine positive Zahl. Du kannst dir bestimmt vorstellen, dass es vergleichsweise schwierig ist, eine passende Temperatur für alle Tiere zu finden.
Ganze Zahlen vergleichen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Zahlengeraden.
TippsSo kann eine Zahlengerade aussehen.
Es gibt unendlich große und unendlich kleine Zahlen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Rechts von der Null liegen auf der Zahlengeraden die negativen Zahlen.“
- Auf der Zahlengeraden liegen die positiven Zahlen rechts von der Null.
- Auf beiden Seiten der Zahlengeraden gibt es unendlich viele Zahlen.
- Du kannst beliebig große Schritte auf der Zahlengeraden gehen und einzeichnen. Besonders wenn du große Zahlen vergleichen möchtest, ist das hilfreich.
„Je weiter nach links wir auf der Zahlengeraden gehen, desto kleiner werden die Zahlen.“
„Negative Zahlen sind immer kleiner als positive.“
-
Beschreibe den Vergleich von ganzen Zahlen.
TippsPositive Zahlen sind immer größer als negative.
Bei den negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die weiter von der Null entfernt ist.
LösungDu kannst den Lückentext so vervollständigen:
„Zuerst vergleichen wir die beiden Lieblingstemperaturen von Faultier und Kamel. Um das übersichtlicher zu gestalten, lassen wir die Einheiten weg. Auf der Zahlengeraden liegt $20$ weiter links als $40$. $20$ ist also kleiner als $40$. Mathematisch kannst du das auch so schreiben:
$20<40$“
- $20$ ist näher an der Null als $40$. Also ist diese Zahl kleiner.
$20>-10$“
- Positive Zahlen sind immer größer als negative.
$-25<-10$“
- Bei den negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die weiter von Null entfernt ist.
$-25<-10<20<40$“
- Willst du mehrere Zahlen vergleichen, schreibe sie der Größe nach auf und verbinde sie mit einem „Kleiner-als-Zeichen“ $<$.
-
Entscheide die Reihenfolge dieser Zahlen.
TippsBetrachte einen Zahlenstrahl und sieh nach, wo diese Zahlen stehen.
Negative Zahlen sind umso kleiner, je weiter entfernt sie von der Null stehen.
LösungBetrachte einen Zahlenstrahl und sieh nach, wo diese Zahlen stehen. So kannst du herausfinden, welche Zahl am kleinsten ist. Dann kannst du sie so sortieren:
$-45<-44<-20<-19<-13<-4<-3<0<1<4<14<23<28<33$
-
Erschließe die Größenverhältnisse der Zahlen.
TippsPositive Zahlen sind immer größer als negative.
Die geöffnete Seite des Vergleichszeichens (bzw. Größer-als-Zeichen und Kleiner-als-Zeichen) richtet sich immer zur größeren Zahl.
LösungDie Größe der Zahlen kannst du mithilfe des Zahlenstrahls einschätzen. Schreibe dann das entsprechende Zeichen. Beachte, dass die geöffnete Seite des Vergleichszeichens (<, >) sich immer zur größeren Zahl richtet. Dann erhältst du:
$1.$
$5>2$
$3<6$
$2>-5$
$2<3$
$1>-8$
$2.$
$-3<2$
$-2>-5$
$-5>-8$
$-1<1$
$-9>-31$
$3.$
$-13<12$
$-20<-19$
$123<132$
$300>32$
$-30<-7$
-
Bestimme die Zahlen, die auf der Zahlengeraden am nächsten liegen.
TippsMarkiere die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und überprüfe, wie weit sie voneinander entfernt sind.
So sieht ein Zahlenstrahl für diesen Zahlenbereich aus.
LösungMarkiere die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und zähle ab, wie weit sie voneinander entfernt sind. Dann kannst du die Zahlen, die am nächsten zueinander liegen, miteinander verbinden:
- $5 ~\rightarrow 8$: Sie sind nur $3$ Schritte auf dem Zahlenstrahl entfernt.
$5 ~\rightarrow -1$: $~~~6$ Schritte
$5 ~\rightarrow -4$: $~~~9$ Schritte
$5 ~\rightarrow 9$: $~~~4$ Schritte
Der geringste Abstand zu einer der Zahlen der rechten Seite sind $3$ Schritte, weshalb $8$ die Zahl ist, die am nächsten an der $5$ liegt.
- $-1 \rightarrow 1$: Sie sind zwei Schritte voneinander entfernt. Nur die Null liegt zwischen ihnen.
$-1 ~\rightarrow -4$: $~~~3$ Schritte
$-1 ~\rightarrow 8$: $~~~9$ Schritte
$-1 ~\rightarrow 9$: $~~~10$ Schritte
- $-3 \rightarrow -4$: Sie liegen direkt nebeneinander und sind somit nur einen Schritt voneinander entfernt.
- $13 \rightarrow 9$: Von der $13$ sind es auf dem Zahlenstrahl nur vier Schritte nach links zur $9$.
-
Ermittle, ob hier die richtigen Größenverhältnisse angegeben wurden.
TippsMöchtest du Brüche vergleichen, bringe sie auf den gleichen Nenner. Dann kannst du die Zähler vergleichen.
Im negativen Bereich sind Zahlen, die weiter von Null entfernt sind, kleiner.
Je mehr Nullen direkt auf ein „0,“ (Null-Komma) folgen, desto näher ist die Zahl an der Null.
LösungDiese Größenordnungen sind falsch:
„$\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$“
- Möchtest du Brüche vergleichen, bringe sie auf den gleichen Nenner. Dann kannst du die Zähler vergleichen. Also: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$
- Positive Zahlen sind immer größer als negative.
- Hier musst du die Zahlen wieder auf den gleichen Nenner bringen: $\frac{15}{2}=\frac{45}{6}>\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$
„$-12,3>-12,4$“
$-0,3<-0,03$
Im negativen Bereich sind Zahlen, die weiter von Null entfernt sind, kleiner.
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naja ein bischen einfach und wieder holungen am bessten vermeiden
Video sehr hilfreich<3!!!
Richtig gutes Video, und so hilfreich!!!!!!!!!!
Es war sehr hilfreich;–)😉😃
sehr gut erklärt
😊;-)