Ganze Zahlen – Grundrechenarten

Ganze Zahlen – Grundrechenarten Übung

• Wurde richtig gerechnet?

  Tipps

  Zwei Rechnungen sind korrekt, bei zwei wurde falsch gerechnet.

  Achte auf die Vorzeichen!

  Wenn du eine positive Zahl addierts bewegst du dich auf den Zahlenstrahl nach rechts. Subtrahierst du eine positive Zahl bewegst du dich nach links.

  Für negative Zahlen gehst du in die entgegengesetzte Richtung.

  $10-(-2) = 12$

  Lösung

  Die Strichrechnung mit ganzen Zahlen kannst du dir an der Zahlengeraden veranschaulichen: Die Addition positiver Zahlen oder Subtraktion negativer Zahlen führt dich nach rechts, die Subtraktion positiver Zahlen oder Addition negativer Zahlen nach links.

  Richtig sind folgende Rechnungen:

  • $-5 + 1 = -4\quad$ Du gehst von $-5$ aus eins nach rechts.

  • $-9-2 = -11\quad$ Du gehst von $-9$ aus zwei nach links.

  $~$

  Falsch sind folgende Rechnungen:

  • $-11-(-4)=7\quad$ Du musst von $-11$ aus vier Schritte nach rechts: Richtig wäre daher $-11-(-4)=-7$.

  • $-4-5 = 9\quad$ Du musst von $-4$ fünf nach links. Die richtige Rechnung lautet also: $-4-5 = -9$.

• Beschreibe das Rechnen mit ganzen Zahlen.

  Tipps

  Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen nach rechts hin immer größer.

  Beim Addieren natürlicher Zahlen ist die Summe größer als die Summanden, d. h., das Ergebnis liegt weiter rechts auf dem Zahlenstrahl.

  $(-4) + (-5) = -9$

  Lösung

  Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen kannst du dir mithilfe der Schritte entlang der Zahlengeraden veranschaulichen. Addierst du eine positive Zahl, so gehst du nach rechts, subtrahierst du eine positive Zahl, so gehst du auf der Zahlengeraden nach links. Beim Rechnen mit negativen Zahlen ist es genau umgekehrt: Die Addition einer negativen Zahl führt dich nach links, die Subtraktion einer negativen Zahl nach rechts.

  Im konkreten Beispiel bedeutet das:

  $(-11) -(-4) =-7$

  Für die Multiplikation ganzer Zahlen gibt es kein so einfaches Bild wie das Voranschreiten auf der Zahlengeraden. Hier bestimmt die Anzahl der negativen Faktoren das Vorzeichen des Ergebnisses. Bei einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt positiv, bei einer ungeraden Zahl negativer Faktoren ist es negativ.

  Konkret heißt das:

  $(-2) \cdot (-3) =6$

  und

  $2 \cdot (-3) =-6$

  Bei der Division gilt nun etwas Ähnliches: Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis der Division positiv, haben sie verschiedene Vorzeichen, so ist es negativ.

  Im Beispiel bedeutet das:

  $(-8):2 =-4$

  und

  $(-8):(-2) = 4$

• Arbeite die Regeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen heraus.

  Tipps

  Die Gegenzahl der Gegenzahl ist die ursprüngliche Zahl.

  Um die Gegenzahl von $(3-4)$ zu bestimmen, kannst du entweder zuerst die Differenz ausrechnen und dann die Gegenzahl bestimmen, oder die Differenz mit $(-1)$ multiplizieren und dann die Klammern auflösen und ausrechnen.

  Die Anzahl negativer Vorzeichen bestimmt bei der Punktrechnung das Vorzeichen des Ergebnisses eindeutig, aber nicht bei der Strichrechnung.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „In den ganzen Zahlen kannst du jede beliebige Division ausführen und das Ergebnis ist wieder eine ganze Zahl.“ Die Division $1:(-2)$ hat kein ganzzahliges Ergebnis.

  • „Die Summe einer geraden Anzahl negativer Zahlen ist positiv.“ Gegenbeispiel: $(-2) + (-3) = -5$. Die Anzahl der negativen Vorzeichen legt nur bei der Punktrechnung das Vorzeichen des Ergebnisses fest.

  • „Multiplizierst Du zwei ganze Zahlen, so ist das Produkt größer als jeder der beiden Faktoren.“ Gegenbeispiel: $(2-) \cdot 3 = -6$: Das Ergebnis ist kleiner als beide Faktoren.

  • „Die Gegenzahl des Produktes ist dasselbe wie das Produkt der Gegenzahlen.“ Bei der Multiplikation gilt die Regel Minus mal Minus ergibt Plus. Multiplizierst du zwei Gegenzahlen, so kannst du zweimal $(-1)$ ausklammern und erhältst das Produkt der beiden ursprünglichen Zahlen, nicht die Gegenzahl des Produktes.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Subtraktion der Gegenzahl ist dasselbe wie die Addition der ursprünglichen Zahl.“

  • „Die Division zweier Zahlen liefert dasselbe Ergebnis wie die Division der Gegenzahlen.“ Du kannst die beiden Faktoren $(-1)$ ausklammern. Sie ändern dann nichts daran, ob Dividend und Divisor dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben.

  • „Die Gegenzahl einer Differenz ist dasselbe wie die Differenz der Gegenzahlen.“ Auch hier kannst Du $(-1)$ ausklammern, bzw. in die Differenz hineinmultiplizieren. Ein Beispiel: $-(3-4) = ((-3) - (+4))$.

• Werte die Rechnungen aus.

  Tipps

  Bei der Multiplikation ganzer Zahlen gilt die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Die Subtraktion einer Zahl liefert dasselbe Ergebnis wie die Addition der Gegenzahl.

  $124:(-4) = -31$.

  Lösung

  Wenn du jede Aufgabe einzeln ausrechnest, findest du folgende Zuordnungen:

  • $(-7) \cdot 3 = -21 = 8-29 = -63:3 = 7-28$

  • $(-3) \cdot (-6) = 18 = 54:3 = 72-54 = 9-(-9) = 92-74$

  • $13+(-31) = -18 = 63-81 = -54:3 = 19-37 = -72:4$

  • $(-4)+(-19) = -23 = 40-63 = -69:3 = 11-34 = -69:3$

• Berechne die ganzen Zahlen.

  Tipps

  Die Addition einer positiven Zahl führt dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts, die Addition einer negativen Zahl nach links.

  Beachte bei der Multiplikation die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  $(-13)-(-2) = -11$.

  Lösung

  Die korrekte Zuordnung lautet wie folgt:

  • $-4+1 = -3$: Die Addition bedeutet einen Schritt auf der Zahlengeraden nach rechts.

  • $-4+(-5) = -9$: Die Addition von $-5$ bedeutet fünf Schritte auf der Zahlengeraden nach links: Du startest bei $-4$ und endest bei $-9$.

  • $-11-(-4)=-7$: Die Subtraktion von $-4$ ist dasselbe wie die Addition der Gegenzahl $4$. Du gehst also vier Schritte auf der Zahlengeraden nach rechts: von $-11$ bis zu $-7$.

  • $(-3) \cdot (-2)=6$: Du kannst zweimal $(-1)$ ausklammern und erhältst dann: $(-3) \cdot (-2) = (-1) \cdot (-1) \cdot 3 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$.

  • $(-3) \cdot 2 = -6$: Du kannst einmal $(-1)$ ausklammern und erhältst damit: $(-3) \cdot 2 = (-1) \cdot 3 \cdot 2 = (-1) \cdot 6 = -6$.

• Erschließe die Ergebnisse.

  Tipps

  Beachte beim Ausrechnen der Terme die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung.

  Lösung

  Du musst neben den üblichen Rechenregeln für die Grundrechenarten jetzt auch die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung berücksichtigen. Hier sind die richtigen Zuordnungen (mit Zwischenschritten):

  • $23-(-18):(-2) = 23 -9 = 14$

  • $11 \cdot (-8-(-3)) = 11 \cdot (-8+3) = 11 \cdot (-5) = -55$

  • $-11 \cdot 7 + (-27) \cdot (-3) = -77 + 81 = 4$

  • $42 - 14:(-2) = 42 -(-7) = 42 + 7 = 49$

  • $(14-42):2 = (-28):2 = -14$.