Flächen unter Funktionsgraphen

Flächen unter Funktionsgraphen Übung

• Beschreibe, wie der Flächeninhalt unter Funktionsgraphen berechnet werden kann.

  Tipps

  In dem Beispiel der oben angegebenen Funktion sind die Nullstellen $x=1$ sowie $x=3$ die Integrationsgrenzen.

  Wenn eine Fläche unterhalb der x-Achse liegt, erhältst du beim bestimmten Integrieren einen negativen Wert.

  Achte bei dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf die Reihenfolge bei der Differenz:

  Es wird der Wert der Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze von dem Wert der Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze abgezogen.

  Lösung

  Entweder sind die Integrationsgrenzen in Form eines Intervalls bereits vorgegeben oder sie müssen noch bestimmt werden. Wenn Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse berechnet werden, sind die Nullstellen die Integrationsgrenzen.

  Diese können bei der gegebenen quadratischen Funktion mithilfe der p-q-Formel bestimmt werden:

  Hierfür wird die Gleichung $-x^2+4x-3=0$ zunächst mit $-1$ multipliziert: $x^2-4x+3=0$, sodass der Faktor vor dem $x^2$ gerade $1$ ist:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-4}2\pm\sqrt{\left(\frac{-4}2\right)^2-3}\\ &=&2\pm\sqrt 1\\ x_1&=&2+1=3\\ x_2&=&2-1=1 \end{array}$

  Der Graph der Funktion $f(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Diese liegt zwischen den beiden Nullstellen oberhalb der x-Achse. In diesem Fall gibt das bestimmte Integral mit den Nullstellen als Grenzen tatsächlich den Flächeninhalt an. Wenn die Parabel unterhalb der x-Achse liegt, ist das bestimmte Integral negativ.

  $A=\int\limits_1^3~(-x^2+4x-3)~dx=\left[-\frac13x^3+2x^2-3x\right]_1^3$.

  Hier kommt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an die Reihe:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Wichtig: Die Reihenfolge bei der Differenz darf nicht vertauscht werden, da die Subtraktion nicht kommutativ ist. Das Vorzeichen würde sich nämlich vertauschen.

  Somit ist

  $A=\left(-\frac13 3^3+2\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-\left(-\frac13 1^3+2\cdot 1^2-3\cdot 1\right)=0-\left(-\frac43\right)=\frac43=1,\bar3$ [FE].

• Berechne den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $I=[-2;1]$ mit der x-Achse einschließt.

  Tipps

  Es gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Beachte, dass du Betragsstriche beim bestimmten Integral verwenden musst, wenn du nicht weißt, ob das Flächenstück ober- oder unterhalb der x-Achse liegt.

  Du kannst bei der Funktion $f(x)$ den Faktor $x$ ausklammern.

  Danach wendest du auf die quadratische Gleichung $x^2+2x-3=0$ die p-q-Formel an.

  Es ist zum Beispiel

  $A_1=\left|\int\limits_{-2}^0~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$.

  Lösung

  Es soll der Inhalt der Fläche berechnet werden, die der Graph dieser kubischen Funktion auf dem Intervall $I=[-2;1]$ mit der x-Achse einschließt.

  Eine kubische Funktion kann maximal 3 Nullstellen haben. Diese müssen zunächst berechnet werden:

  $f(x)=0~\Leftrightarrow~x(x^2+2x-3)=0$

  Eine Nullstelle ist somit durch $x_1=0$ gegeben. Die beiden übrigen können mit Hilfe der p-q-Formel bestimmt werden:

  $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac22\pm\sqrt{\left(\frac22\right)^2-(-3)}\\ &=&-1\pm\sqrt 4\\ x_2&=&-1+2=1\\ x_3&=&-1-2=-3 \end{array}$

  Nun ist wichtig zu beachten, dass die Nullstelle $x_3=-3$ nicht in dem Intervall $I$ liegt.

  Nun muss zweimal das bestimmte Integral bestimmt werden:

  $A_1=\left|\int\limits_{-2}^0~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$

  sowie

  $A_2=\left|\int\limits_{0}^1~(x^3+2x^2-3x)~dx\right|$

  Die Betragsstriche werden verwendet, da ohne Skizze nicht klar ist, ob das Flächenstück oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

  Beide Male wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet. Nun muss noch eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ bestimmt werden. Diese ist

  $F(x)=\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2$.

  So, jetzt können die Teilflächen $A_1$ und $A_2$ berechnet werden:

  $\begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\left[\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2\right]_{-2}^0\right|\\ &=&\left|0-\left(\frac14 (-2)^4+\frac23(-2)^3-\frac32(-2)^2\right)\right|\\ &=&\frac{22}3 \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} A_2&=&\left|\left[\frac14 x^4+\frac23x^3-\frac32x^2\right]_{0}^1\right|\\ &=&\left|\left(\frac14 1^4+\frac231^3-\frac321^2\right)-0\right|\\ &=&\left|-\frac{7}{12}\right|=\frac7{12} \end{array}$

  Zuletzt werden die beiden Flächenstücke addiert und wir erhalten die gesuchte Fläche $A$:

  $A=A_1+A_2=\frac{22}3+\frac7{12}=\frac{95}{12}=7,91\bar6$ [FE]

• Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3-x^2-2x$.

  Tipps

  Klammere zunächst $x$ aus. Damit ist bereits eine Nullstelle bekannt.

  Verwende die hier abgebildete p-q-Formel zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$.

  Du kannst eine Probe mit den Nullstellen durchführen. Setze diese in die Funktionsgleichung ein: Es muss $0$ herauskommen.

  Lösung

  Um Nullstellen von kubischen Funktionen $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ zu bestimmen, kann zunächst $x$ ausgeklammert werden. Dafür muss aber gelten: $d=0$ aber $b \neq 0$ und/oder $c \neq 0$:

  $x(x^2-x-2)=0$.

  Damit ist eine Nullstelle bereits bekannt: $x_1=0$.

  Nun kann auf die Gleichung $x^2-x-2=0$ die p-q-Formel angewendet werden:

  $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac {-1}2\pm\sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)}\\ &=&\frac12\pm\sqrt{\frac94}\\ x_2&=&\frac12+\frac32=\frac42=2\\ x_3&=&\frac12-\frac32=-\frac22=-1 \end{array}$

• Ermittle den Flächeninhalt, den die kubische Funktion mit der x-Achse einschließt.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Zur Bestimmung einer Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion benötigst du die Potenzregel der Integration:

  $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$

  für alle $x\neq -1$.

  Zum Beispiel ist eine Stammfunktion von $x^2$ gegeben durch $\frac13 x^3$.

  Ähnlich wie bei der Faktorregel der Differentiation kannst du bei der Integration einen Faktor aus der Integration herausziehen:

  $\int~(2x^2)~dx=2\cdot\int~(x^2)~dx=2\cdot \frac13x^3=\frac23x^3$.

  Lösung

  Mithilfe der Potenzregel der Integration

  $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}\cdot x^{n+1}+c$ für $n\neq0$

  kann zunächst eine Stammfunktion von $f(x)$ bestimmt werden. Diese benötigt man für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $F(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-x^2$.

  Zur Kontrolle kann diese Funktion abgeleitet werden. Es muss als Ableitung $f(x)$ heraus kommen.

  Somit ist

  $\begin{array}{rcl} A_1&=&\left|\int\limits_{-1}^0~(x^3-x^2-2x)~dx\right|\\ &=&\left|\left[\frac14x^4-\frac13x^3-x^2\right]_{-1}^0\right|\\ &=&\left|0-\left(-\frac5{12}\right)\right|=\frac5{12} \end{array}$

  $\begin{array}{rcl} A_2&=&\left|\int\limits_{0}^2~(x^3-x^2-2x)~dx\right|\\ &=&\left|\left[\frac14x^4-\frac13x^3-x^2\right]_{0}^2\right|\\ &=&\left|\left(-\frac8{3}-0\right)\right|=\frac8{3} \end{array}$

  Zuletzt werden diese beiden Teilflächen addiert zu

  $A=A_1+A_2=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}=3,08\bar3$ [FE].

• Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

  Tipps

  Betrachte die konstante Funktion $f(x)=2$ auf dem Intervall $I=[0;4]$.

  Das eingeschlossene Flächenstück ist ein Rechteck.

  Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $2\cdot 4$.

  Eine Stammfunktion von $f(x)=2$ ist $F(x)=2x$.

  $F(4)-F(0)=2\cdot 4-2\cdot 0=2\cdot 4$.

  Lösung

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist der zentrale Satz bei der Berechnung von Flächeninhalten.

  Der Satz ist hier zu sehen.

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Es gilt also $F'(x)=f(x)$.

  Ganz wichtig: Die Reihenfolge bei der Differenz muss beachtet werden.

• Leite die Gesamtfläche des Logos her.

  Tipps

  Es ist

  • $F(x)=-\frac16x^3+\frac34x^2+2x$ eine Stammfunktion von $f(x)$ und
  • $G(x)=\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x$ eine Stammfunktion von $g(x)$.

  Die untere Integrationsgrenze ist $-1$ und die obere $4$.

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Beachte: Die Fläche, welche von der grünen Parabel und der x-Achse eingeschlossen wird, liegt unterhalb der x-Achse.

  Lösung

  Beide Flächen werden mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet. Dafür benötigt man jeweils eine Stammfunktion:

  • Zu $f(x)=-\frac12x^2+\frac32x+2$ ist diese $F(x)=-\frac16x^3+\frac34x^2+2x$
  • und zu $g(x)=0,32x^2-0.96x-1,28$ ist diese $G(x)=\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x$.

  Es ist

  $\begin{array}{rcl} A_1&=&\int\limits_{-1}^4~f(x)~dx\\ &=&\left[-\frac16x^3+\frac34x^2+2x\right]_{-1}^4\\ &=&\frac{125}{12}=10,41\bar6\approx 10,42 \end{array}$

  sowie

  $\begin{array}{rcl} A_2&=&\int\limits_{-1}^4~g(x)~dx\\ &=&\left|\left[\frac{0,32}3x^3-0,48x^2-1,28x\right]_{-1}^4\right|\\ &=&\left|-\frac{20}{3}\right|=6,\bar6\approx 6,67 \end{array}$

  Zuletzt werden diese Flächenstücke addiert zu

  $A=A_1+A_2=\frac{125}{12}+\frac{20}3=\frac{205}{12}=17,08\bar3\approx 17,08$