Faktorregel bei Ableitungen

Faktorregel bei Ableitungen Übung

• Beschreibe die Faktorregel.

  Tipps

  Die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Faktor vor der Potenz von $x$ beim Ableiten einfach erhalten bleibt.

  Die Faktorregel hat ihren Namen daher, dass sie das Verhalten eines Faktors im Funktionsterm beim Ableiten beschreibt.

  Lösung

  Die Faktorregel können wir beim Ableiten verwenden:
  Wenn wir eine Funktion ableiten wollen, die sich aus einem Term $u(x)$, der ein $x$ enthält, und einem beliebigen konstanten Faktor $k$ zusammensetzt, dann bleibt dieser Faktor beim Ableiten erhalten und wir müssen nur den Term ableiten, der das $x$ enthält.

  Wir schreiben:

  $f(x)= k \cdot u(x) \quad f'(x) = k \cdot u'(x)$

  Die Faktorregel besagt also, dass ein konstanter Faktor vor einer Potenz von $x$ beim Ableiten erhalten bleibt.

  Beispiel:
  $f(x) = 4 \cdot x^5 \quad f'(x)=4 \cdot 5x^4 = 20x^4$

  Hierbei ist $4$ der Faktor und $x^5$ der Term $u(x)$, der $x$ enthält.

• Vervollständige die Ableitungen.

  Tipps

  Allgemein gilt:

  $f(x)= k \cdot u(x) \quad f'(x) = k \cdot u'(x) \quad\quad$ (Faktorregel)

  Beispiel:
  $f(x) = 4 \cdot x^5 \quad f'(x)=4 \cdot 5x^4 = 20x^4$

  Lösung

  Ist ein Funktionsterm das Produkt aus einem konstanten Faktor $k$ und einer Potenz von $x$, so können wir den Faktor beibehalten und die Potenz wie gewohnt ableiten. Es gilt:
  $f(x)= k \cdot u(x) \qquad f'(x) = k \cdot u'(x)\quad\quad$ (Faktorregel)

  Wir wenden diese Regel auf die gegebenen Funktionen an und berechnen:

  Beispiel 1:
  $f(x)=5x^3 \quad \rightarrow \quad f'(x)=5 \cdot 3x^2 = 15x^2$
  Wir haben hierbei die Ableitungsregel für Potenzen angewendet und zum Schluss die beiden Faktoren $5$ und $3$ multipliziert.

  Beispiel 2:
  $f(x)=3x^7 \quad \rightarrow \quad f'(x)=3 \cdot 7x^6 = 21x^6$
  Auch hier haben wir die Ableitungsregel für Potenzen angewendet und zum Schluss die beiden Faktoren multipliziert.

  Beispiel 3:
  $f(x)=\frac{x^4}{2} = \frac{1}{2} \cdot x^4 \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = \frac{4}{2}x^3 = 2x^3$
  Um hier die Faktorregel einfach anwenden zu können, ist es sinnvoll, den Term zunächst als Produkt zu schreiben. Dann können wir beim Ableiten den Faktor $\frac{1}{2}$ beibehalten. Zum Schluss fassen wir zusammen.

• Entscheide, bei welchen Funktionen die Faktorregel beim Ableiten angewendet wird.

  Tipps

  Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

  Achte darauf, dass es sich um einen konstanten Faktor handeln muss.

  Faktor $\cdot$ Faktor = Produkt

  Lösung

  Faktorregel:
  Wenn wir eine Funktion ableiten wollen, die sich aus einem Term $u(x)$, der die Variable $x$ enthält, und einem beliebigen konstanten Faktor $k$ zusammensetzt, dann bleibt dieser Faktor beim Ableiten erhalten und wir müssen nur den Term ableiten, der das $x$ enthält. Wichtig ist dabei, dass der Faktor konstant ist, er darf also nicht die Variable $x$ enthalten.

  Bei folgenden Funktionen kann die Faktorregel angewendet werden:
  Wir können sie in der Form $k \cdot u(x)$ schreiben.

  • $f(x) =-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} \qquad$ Es ist $k = -\frac{1}{2}$ und $u(x) = \sqrt{x}$.
  • $f(x) = 1,1 \cdot \sin(x) \qquad$ Es ist $k = 1,1$ und $u(x) = \sin(x)$.
  • $f(x) = \frac{2}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{x^2} \qquad$ Es ist $k = 2$ und $u(x) = \frac{1}{x^2}$.
  • $f(x) =-4 \frac{2}{x+5} = -4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{x+5} = -8 \cdot \frac{1}{x+5} \qquad$ Es ist $k = -8$ und $u(x) = \frac{1}{x+5}$.

  Bei folgenden Funktionen kann die Faktorregel nicht angewendet werden:

  • $f(x) = 3x \cdot x^2 \qquad$ Der Faktor enthält die Variable $x$.
  • $f(x) = -24 + x^5 \qquad$ Es wird addiert, somit handelt es sich um einen Summanden.
  • $f(x) = \frac{x-1}{x+1} \qquad$ Es gibt keinen konstanten Faktor.
  • $f(x) = -x \cdot \frac{1}{x^2+2} \qquad$ Der Faktor enthält die Variable $x$.

• Bestimme die Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Die Potenzregel besagt: $f(x)=x^n \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

  Du kannst sie auch auf negative Exponenten und auf Brüche und Dezimalzahlen im Exponenten anwenden.

  Du kannst eine Wurzel auch als Exponent schreiben, es gilt:
  $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

  Beispiel:
  $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

  Lösung

  Wir können die Funktionen ableiten, indem wir die Faktorregel und die Potenzregel anwenden:

  • Faktorregel: $f(x)= k \cdot u(x) \quad f'(x) = k \cdot u'(x)$
  • Potenzregel: $f(x)=x^n \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

  Wir betrachten die einzelnen Funktionen und rechnen Schritt für Schritt:

  Beispiel 1:
  $f(x)=-3x^5 \quad \rightarrow \quad f'(x) = -3 \cdot 5x^4 = -15x^4$

  Beispiel 2:
  $f(x)=-\frac{4}{x^2} = -4 \cdot \frac{1}{x^2} = -4 \cdot x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -4 \cdot -2x^{-3} = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3} $

  Beispiel 3:
  $f(x)=2x^{-3} \quad \rightarrow \quad f'(x)= 2 \cdot -3x^{-4} = -6 \cdot x^{-4} = \frac{-6}{x^4}$

  Beispiel 4:
  $f(x)=\frac{-2}{\sqrt{x}} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = -2 \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = -2 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \quad \rightarrow \quad f'(x)= -2 \cdot -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}-1} = x^{-\frac{3}{2}}$

• Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)$ mithilfe der Potenzregel.

  Tipps

  Die Potenzregel lautet:

  $f(x)=x^n \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

  Du kannst die Potenzregel auch auf negative Exponenten anwenden.

  Beispiel:

  $f(x)=x^{-3} \quad f'(x)=-3x^{-4}$

  Lösung

  Zum Ableiten von Potenzen verwenden wir die Potenzregel. Sie lautet:

  $f(x)=x^n \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

  Wir schreiben beim Ableiten also den Exponenten als Faktor vor die Potenz und verringern den Exponenten der Potenz dann um eins.

  Wir wenden diese Regel auf die gegebenen Funktionen an:

  • $f(x)=x^3 ~~\quad \rightarrow \quad f'(x)=3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$
  • $f(x)=x^4 ~~\quad \rightarrow \quad f'(x)=4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$
  • $f(x)=x^7 ~~\quad \rightarrow \quad f'(x)=7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$
  • $f(x)=x^{-1} \quad \rightarrow \quad f'(x)=-1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2}$

• Ermittle den Faktor bei der Ableitung.

  Tipps

  Schreibe den Funktionsterm jeweils zuerst so, dass du den konstanten Vorfaktor gut erkennst.

  Es gilt:

  $f(x)=\sin(x) \quad f'(x)=\cos(x)$
  $f(x)=\cos(x) \quad f'(x)=-\sin(x)$

  $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

  Lösung

  Wir können die Funktionen ableiten, indem wir die Faktorregel und die Potenzregel anwenden. Dazu schreiben wir den Funktionsterm zunächst so, dass wir den konstanten Vorfaktor und die Potenz gut erkennen können.
  Wir betrachten die einzelnen Funktionen und rechnen Schritt für Schritt:

  Funktion 1:
  $f(x)=3 \frac{4}{\sqrt{x}} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = 12 \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  $f'(x)=12 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} = -6 \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -6 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}^3}$

  Funktion 2:
  $f(x)=-3 \frac{\sin(x)}{4} = -3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sin(x) = -\frac{3}{4} \cdot \sin(x) = -0,75 \cdot \sin(x)$
  $f'(x)= -0,75 \cdot \cos(x)$

  Funktion 3:
  $f(x)=3 \frac{4x^2}{x^3} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{x^2}{x^3} = 12 \cdot \frac{1}{x} = 12 \cdot x^{-1}$
  $f'(x)= 12 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -12 \cdot x^{-2} = -12 \cdot \frac{1}{x^2}$

  Funktion 4:
  $f(x) = 6 \cdot \sqrt[3]{x^4} = 6 \cdot x^{\frac{4}{3}}$
  $f'(x) = 6 \cdot \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{4}{3}-1} = 8 \cdot x^{\frac{1}{3}} = 8 \cdot \sqrt[3]{x}$