Faktorisieren durch Zerlegen und Ausklammern
Beim Faktorisieren werden mathematische Ausdrücke vereinfacht, indem sie in ihre Primfaktoren zerlegt werden. In dem Text erfährst du, wie du Terme faktorisierst, indem du ausklammerst und zerlegst. Möchtest du mehr darüber wissen? Schau dir das Video zu den Binomischen Formeln an! Interessiert? Dies und noch vieles mehr kannst du im folgenden Text finden.
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Grundlagen zum Thema Faktorisieren durch Zerlegen und Ausklammern
Faktorisieren – Mathe
Was versteht man unter dem Begriff Faktorisieren?
- Beim Faktorisieren wird aus einem Term, der eine Summe oder eine Differenz ist, ein Produkt gemacht.
Das kann bei vielen Berechnungen in der Mathematik hilfreich sein. Für das Faktorisieren von Termen gibt es verschiedene Möglichkeiten. In diesem Text werden die Grundlagen des Faktorisierens durch Ausklammern und Zerlegen auf einfache Weise erklärt.
Wie man mithilfe der binomischen Formeln Terme faktorisiert, lernst du in dem Video zum Thema Binomische Formeln faktorisieren.
Wie geht das Faktorisieren?
Ganze Zahlen können durch Primfaktorzerlegung in ihre Primfaktoren zerlegt werden. Genauso können mathematische Ausdrücke zerlegt werden. Mathematische Ausdrücke, die eine Summe aus Potenzen von Variablen mit reellen Koeffizienten sind, nennt man Polynome. Diese können durch die Faktorisierung so zerlegt werden, dass sie ein Produkt aus nicht weiter zerlegbaren Polynomen ergeben.
Da wir uns in diesem Text auf das Ausklammern konzentrieren, schließen wir zunächst aus, dass es sich bei einem Term um eine binomische Formel handelt, denn dann könnten wir mit der passenden Formel faktorisieren und wären schon fertig. Nun können wir schauen, ob ein gemeinsamer Faktor vorhanden ist, der vor die Klammer geschrieben werden kann. Ist dies der Fall, so kann dieser Faktor ausgeklammert werden.
Dabei kann es sich um eine einzelne Zahl handeln:
$6\,x + 6\,y = 6\,\bigl(x + y \bigr)$
Es kann sich bei dem Faktor aber auch um eine Variable handeln:
$14\,x + 12\,x = x\,\bigl(14 + 12\bigr)$
Es können auch Zahlen und Variablen gleichzeitig ausgeklammert werden:
$13\,a\,b\,c + 13\,a\,b\,d = 13\,a\,b\,\bigl(c + d\bigr)$
Bei größeren Zahlen kann es zudem helfen, diese in ihre Primfaktoren zu zerlegen und dann nach Faktoren zu schauen, die sich ausklammern lassen. Auch kann in mehreren Schritten nacheinander ausgeklammert werden.
Faktorisieren – Beispiel
Ein allgemeines quadratisches Polynom hat die Form:
$a\,x^{2} + b\,x + c$
Dabei handelt es sich um ein Trinom, wobei $a \neq 1$ ist. Nach dem Faktorisieren wollen wir ein Ergebnis bestehend aus zwei Binomen erhalten.
Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Beginnen wir mit dem Ergebnis, das wir nach dem Faktorisieren erhalten möchten:
$\bigl(x + 2\bigr) \bigl(3\,x - 1\bigr)$
Es handelt sich um ein Polynom, bestehend aus zwei Binomen, die miteinander multipliziert werden. Gehen wir nun rückwärts vor. Multiplizieren wir diese beiden Binome aus, so erhalten wir:
$\bigl(x + 2\bigr) \bigl(3\,x - 1\bigr) = 3\,x^{2} + 6\,x - x - 2$
Die Terme $6\,x$ und $-x$ können zusammengefasst werden zu $5\,x$. So erhalten wir ein Trinom in der allgemeinen quadratischen Form. Die Bedingung $a \neq 1$ ist erfüllt.
$3\,x^{2} + 6\,x - x - 2 = 3\,x^{2} + 5\,x - 2$
Wir sehen nun im Zwischenschritt, dass die Faktoren $a$, also $3$, und $c$, also $-2$, multipliziert das Gleiche ergeben, wie wenn wir die beiden Faktoren vor $x$ multiplizieren. Die Faktoren vor $x$ sind $+6$ und $-1$. Multipliziert ergeben sie $-6$, genauso wie $3$ mal $-2$. Addiert ergeben die Zahlen $+6$ und $-1$ den Faktor $b$, also $5$. Gehen wir nun andersherum vor, ist es zunächst wichtig herauszufinden, welche Faktoren von $a$ und $c$ addiert $b$ ergeben. So erhalten wir den Zwischenschritt und können daraus das Polynom bestehend aus zwei Binomen bilden.
Schauen wir uns nun das folgende Polynom an:
$15\,x^{2} + 9\,x - 6$
Dieses soll faktorisiert werden. Bestimmen wir zunächst die Faktoren $a$, $b$ und $c$.
$a\,x^{2} + b\,x + c$
Der Faktor $a$ ist $15$, der Faktor $b$ ist $9$ und der Faktor $c$ entspricht $-6$. Es kann helfen, wenn wir zunächst die Faktoren von $a$ und $c$ finden, die addiert $b$ ergeben. Das heißt, wir multiplizieren zunächst $a$ und $c$, also in dem Fall $15$ und $(-6)$.
$15 \cdot \bigl(-6\bigr) = -90$
Nun schauen wir uns an, welche Faktoren multipliziert $-90$ und addiert $9$ (das ist ja gerade der Faktor $b$) ergeben. Dabei hilft uns die folgende Tabelle:
| Faktoren von $-90$ | Summe der Faktoren |
|---|---|
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An dieser Stelle können wir aufhören, denn die Faktoren $15$ und $-6$ ergeben multipliziert $-90$ und addiert $9$. Wir können den zweiten Term, also $9\,x$, zerlegen in:
$9\,x = 15\,x - 6\,x$
Das Polynom hat nun die Form:
$15\,x^{2} + 15\,x - 6\,x - 6$
Mithilfe von Klammern lassen sich diese vier Terme zu zwei Binomen gruppieren. In diesen beiden Binomen kann nun jeweils ausgeklammert werden. Dabei muss beachtet werden, dass nach dem Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen in den Klammern der gleiche Rest übrig bleibt. Nur so können wir danach weiter ausklammern.
$\bigl(15\,x^{2} - 6\,x \bigr) + \bigl(15\,x - 6\bigr)$
$3\,x \bigl(5\,x - 2 \bigr) + 3 \bigl(5\,x - 2\bigr)$
Nun kann $\bigl(5\,x - 2\bigr)$ ausgeklammert werden. Das Polynom lautet dann:
$\bigl(3\,x + 3\bigr) \bigl(5\,x - 2\bigr)$
Wir haben das Polynom faktorisiert.
Dieses Video
In diesem Text wird auf die Definition des Begriffs Faktorisieren eingegangen. Zudem werden verschiedene Regeln, auf die man beim Faktorisieren achten muss, erklärt. Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Aufgaben und Übungen zum Thema Faktorisieren durch Zerlegen und Ausklammern.
Transkript Faktorisieren durch Zerlegen und Ausklammern
Adventure Mike und seine Freundin wollen ein Baumhaus bauen. Mit Hilfe einer Schlange als Maßband findet Mike das Polynom, das für die Gesamtfläche steht. Oh je, jetzt möchte seine Freundin auch noch einen Balkon haben, um den Sonnenuntergang zu beobachten. Sie ist von der romantischen Sorte. Mike will nicht noch mal alles neu ausmessen. Stattdessen will er das Polynom durch Zerlegen und Ausklammern faktorisieren. Schauen wir uns den Ausdruck an: 15x² + 9x – 6. Hm. Sieht vertraut aus, oder? Der Ausdruck hat die Form eines allgemeinen quadratischen Polynoms. ax² + bx + c. Es handelt sich um ein Trinom und a ist ungleich 1. Wie kann Mike diesen Ausdruck faktorisieren, um die Seitenlängen des Baumhauses herauszufinden? Um zu lernen, wie man durch Zerlegen und Ausklammern faktorisiert, schauen wir uns erst mal ein anderes Beispiel an. Dabei fangen wir mit dem Ergebnis an, dass wir nach dem Faktorisieren erhalten wollen, also mit zwei Binomen. Diese multiplizieren wir und erhalten den Ausdruck 3x2 + 6x – x – 2. Achte auf die hervorgehobenen Terme, diese können zusammengefasst werden. Nach dem Zusammenfassen, erhalten wir ein Trinom in der allgemeinen quadratischen Form, bei dem a ungleich 1 ist. Also genau die Form, die das Polynom hat, das Mike faktorisieren will. Wie gelangen wir also zur faktorisierten Form für a ungleich 1? Mit einem kleinen Kniff: Wir müssen die Faktoren des Produktes ac finden, die addiert b ergeben. a = 15 und c = -6, also ist ac = -90. Hier haben wir eine Liste mit Faktoren, die multipliziert -90 ergeben. Findest du die beiden Faktoren, die addiert 9 ergeben? [kleine Pause] Richtig! -6 und 15 ergeben multipliziert -90 und addiert 9. Den x-Term, 9x, können wir mit den gefundenen Werten zerlegen in -6x + 15x, da -6x + 15x ja 9x ergibt. Kommt dir das bekannt vor? Es ist die Form des Anfangsbeispieles, bei der die gleichartigen Terme noch nicht zusammengefasst wurden. Nutze nun Klammern, um die vier Terme zu zwei Binomen zu gruppieren.Das ist etwas knifflig, denn du musst die Terme so gruppieren, dass nach Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen, der gleiche Rest in den Klammern übrig bleibt. Achte auf die Vorzeichen Nun kann man in Klammern 5x-2 ausklammern. Übrig bleibt dann in Klammern 3x + 3. Endlich, das Polynom ist faktorisiert. Und Adventure Mike hat die Maße für die beiden Seiten des Baumhauses. Wenn seine Freundin ein größeres Baumhaus will, muss er einfach nur die Länge der Seiten anpassen. Geschafft! Das Baumhaus ist endlich fertig. Mike will diesen Moment auf einem Foto festhalten. Oh oh. Vielleicht war Mike ein kleines bisschen zu lange allein im Dschungel?
Faktorisieren durch Zerlegen und Ausklammern Übung
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Beschreibe, wie du ein Trinom in der allgemeinen quadratischen Form faktorisieren kannst.
TippsEin Trinom in der allgemeinen quadratischen Form setzt sich aus den folgenden Gliedern zusammen:
$\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisch}}+\underbrace{bx}_{\text{linear}}+\underbrace{c}_{\text{absolut}}$.
Möchten wir das Polynom $3x^2+5x-2$ faktorisieren, zerlegen wir $5x$ zunächst in $6x-1x$. Das Produkt der für die Zerlegung genutzten Werte entspricht $-6$.
LösungAdventure Mike möchte das Polynom $15x^2 + 9x - 6$ faktorisieren. Hierbei handelt es sich um ein Trinom in der allgemeinen quadratischen Form und Mike muss wie folgt vorgehen:
- Um ein Polynom der Form $ax^2+bx+c$ zu faktorisieren, muss man diejenigen Faktoren des Produktes $ac$ finden, welche addiert $b$ ergeben.
- Anschließend muss man das lineare Glied, also $bx$, mit den beiden gefundenen Werten zerlegen und mittels Klammern in zwei Binome gruppieren.
- Dabei muss man beachten, dass die Terme so gruppiert sind, dass nach dem Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen der gleiche Rest in den Klammern übrig bleibt.
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Gib die faktorisierte Form des Trinoms in der allgemeinen quadratischen Form an.
TippsUm ein Polynom der Form $ax^2+bx+c$ zu faktorisieren, muss man diejenigen Faktoren des Produktes $ac$ finden, welche addiert $b$ ergeben.
Das lineare Glied, also $bx$, muss mit den beiden gefundenen Werten zerlegt und mittels Klammern in zwei Binome gruppiert werden.
LösungUm das Polynom $15x^2 + 9x - 6$ zu faktorisieren, gehen wir wie folgt vor:
Zerlegung des linearen Glieds
Zunächst suchen wir diejenigen Faktoren des Produktes $ac$, welche addiert $b$ ergeben. Diese benötigen wir, um das lineare Glied, also $bx$, geschickt zu zerlegen.
Das Produkt aus $a=15$ und $c=-6$ entspricht $-90$. Da die Summe aus $a$ und $c$ bereits $b=9$ ist, müssen wir nicht lange suchen. Dies ist aber nicht immer der Fall! Unsere beiden Werte für die Zerlegung des linearen Glieds sind also $15$ und $-6$. Wir erhalten dann den folgenden Term:
$15x^2-6x+15x-6$
Gruppierung in Binome und Faktorisieren des Terms
Mittels Klammern gruppieren wir diesen Term nun in zwei Binome. Dabei müssen wir beachten, dass die Terme so gruppiert sind, dass nach dem Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen der gleiche Rest in den Klammern übrig bleibt. Es folgt:
$(15x^2-6x)+(15x-6)$
Jetzt klammern wir aus diesen beiden Klammerausdrücken jeweils den größten gemeinsamen Teiler aus:
$3x(5x-2)+3(5x-2)$
Da wir hier eine Summe aus zwei Produkten mit einem gemeinsamen Faktor, nämlich $(5x-2)$, haben, können wir diesen ausklammern:
$(3x+3)(5x-2)$
Somit ist die gesuchte faktorisierte Form des gegebenen Trinoms in der allgemeinen quadratischen Form gefunden.
-
Ermittle den faktorisierten Term des gegebenen Trinoms in der allgemeinen quadratischen Form.
TippsDie gegebenen quadratischen Terme sind Trinome der Form $ax^2+bx+c$. Um diese zu faktorisieren, musst du zunächst das lineare Glied zerlegen.
Finde hierzu zwei Werte, welche das Produkt $ac$ sowie die Summe $b$ liefern.
Du kannst auch die faktorisierten Formen ausmultiplizieren und überprüfen, welchem Trinom der resultierende Term entspricht. Hierzu gehst du wie folgt vor:
$ \begin{array}{rl} (3x-1)\cdot (x+2) & =3x\cdot x+3x\cdot 2-1\cdot x-1\cdot 2 \\ & =3x^2+6x-x-2 \\ & =3x^2+5x-2 \end{array} $
LösungUm ein Polynom der Form $ax^2+bx+c$ zu faktorisieren, gehen wir wie folgt vor:
- Wir suchen diejenigen Faktoren des Produktes $ac$, welche addiert $b$ ergeben.
- Wir zerlegen das lineare Glied, also $bx$, mit den beiden gefundenen Werten und gruppieren den resultierenden Term mittels Klammern in zwei Binome.
$ \begin{array}{rl} 2x^2-3x-5 & =2x^2+2x-5x-5 \\ & =(2x^2+2x)+(-5x-5) \\ & =2x(x+1)-5(x+1) \\ & =(2x-5)(x+1) \end{array} $
Beispiel 2
$ \begin{array}{rl} 10x^2-23x+12 & =10x^2-8x-15x+12 \\ & =(10x^2-8x)+(-15x+12) \\ & =2x(5x-4)-3(5x-4) \\ & =(2x-3)(5x-4) \end{array} $
Beispiel 3
$ \begin{array}{rl} x^2-3x+2 & =x^2-1x-2x+2 \\ & =(x^2-1x)+(-2x+2) \\ & =x(x-1)-2(x-1) \\ & =(x-2)(x-1) \end{array} $
Beispiel 4
$ \begin{array}{rl} -6x^2-12x-6 & =-6x^2-6x-6x-6 \\ & =(-6x^2-6x)+(-6x-6) \\ & =6x(-x-1)+6(-x-1) \\ & =(6x+6)(-x-1) \end{array} $
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Bestimme die jeweiligen Linearfaktoren der faktorisierten Form des Trinoms.
TippsDie Faktoren der faktorisierten Form eines Terms nennt man Linearfaktoren. Ein Trinom in der allgemeinen quadratischen Form kannst du wie folgt faktorisieren, also in seine Linearfaktoren zerlegen:
$ \begin{array}{rl} 2x^2+5x+2 & =2x^2+4x+x+2 \\ & =(2x^2+4x)+(x+2) \\ & =2x(x+2)+(x+2) \\ & =(2x+1)(x+2) \end{array} $
Um das lineare Glied $bx$ eines quadratischen Terms der Form $ax^2+bx+c$ zu zerlegen, musst du zwei Werte finden, welche das Produkt $ac$ und die Summe $b$ liefern. Diese beiden Werte nutzt du dann für die Zerlegung von $bx$.
LösungGegeben sind die folgenden Trinome in der allgemeinen quadratischen Form:
- Trinom 1: $~2x^2+x-15$
- Trinom 2: $~3x^2+4x-4$
- Trinom 3: $~8x^2+6x-5$
Diese sollen faktorisiert, also in ihre Linearfaktoren zerlegt werden. Hierzu gehen wir wie folgt vor:
- Wir suchen zunächst zwei Werte, welche das Produkt $ac$ sowie die Summe $b$ liefern.
- Anschließend zerlegen wir das lineare Glied mit den beiden gefundenen Werten und gruppieren den resultierenden Term mittels Klammern in zwei Binome.
- Dabei beachten wir, dass die Terme so gruppiert sind, dass nach dem Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen der gleiche Rest in den Klammern übrig bleibt.
Trinom 1
$ \begin{array}{rl} 2x^2+x-15 & =2x^2+6x-5x-15 \\ & =(2x^2+6x)+(-5x-15) \\ & =2x(x+3)-5(x+3) \\ & =(2x-5)(x+3) \end{array} $
Trinom 2
$ \begin{array}{rl} 3x^2+4x-4 & =3x^2+6x-2x-4 \\ & =(3x^2+6x)+(-2x-4) \\ & =3x(x+2)-2(x+2) \\ & =(3x-2)(x+2) \end{array} $
Trinom 3
$ \begin{array}{rl} 8x^2+6x-5 & =8x^2+10x-4x-5 \\ & =(8x^2-4x)+(10x-5) \\ & =4x(2x-1)+5(2x-1) \\ & =(4x+5)(2x-1) \end{array} $
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Bestimme die faktorisierte Form des gegebenen Trinoms.
TippsDu kannst das gegebene Trinom zerlegen und faktorisieren, um auf die Lösung zu kommen.
Du kannst aber auch die vier gegebenen Terme in faktorisierter Form ausmultiplizieren, so weit wie möglich zusammenfassen und überprüfen, ob der resultierende Term dem gegebenen Trinom entspricht.
Einen faktorisierten Term der Form $(a+b)\cdot (c+d)$ multiplizierst du wie folgt aus:
$(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$
LösungWir faktorisieren das Trinom $3x^2+5x-2$, indem wir wie folgendermaßen vorgehen:
- Wir suchen zunächst diejenigen Faktoren des Produktes $ac$, welche addiert $b$ ergeben.
- Anschließend zerlegen wir das lineare Glied, also $bx$, mit den beiden gefundenen Werten und gruppieren den resultierenden Term mittels Klammern in zwei Binome.
- Dabei müssen wir beachten, dass die Terme so gruppiert sind, dass nach dem Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aus beiden Binomen der gleiche Rest in den Klammern übrig bleibt.
Das Produkt aus $a=3$ und $c=-2$ entspricht $-6$. Alle Faktoren, die ebenfalls dieses Produkt liefern, sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. In der zweiten Spalte der Tabelle ist die zugehörige Summe dieser beiden Faktoren zu finden:
$ \begin{array}{c|c} \text{Faktoren von } -6 & \text{Summe der Faktoren} \\ \hline 1~ \text{und} ~ -6 & -5 \\ -1~ \text{und} ~ 6 & 5 \\ 2~ \text{und} ~ -3 & -1 \\ -2~ \text{und} ~ 3 & 1 \end{array} $
Unserer Tabelle können wir die beiden Faktoren $-1$ und $6$ entnehmen, denn deren Summe entspricht dem Koeffizienten des linearen Glieds, nämlich $b=5$. Unsere beiden Werte für die Zerlegung des linearen Glieds sind also $-1$ und $6$. Wir erhalten dann diesen Term:
$3x^2-x+6x-2$
Mittels Klammern gruppieren wir den Term nun in zwei Binome:
$(3x^2+6x)+(-x-2)$
Jetzt klammern wir aus diesen beiden Klammerausdrücken jeweils den größten gemeinsamen Teiler aus:
$3x(x+2)-1(x+2)$
Da wir hier eine Summe aus zwei Produkten mit einem gemeinsamen Faktor, nämlich $(x+2)$, haben, können wir diesen ausklammern:
$(3x-1)(x+2)$
Somit ist die gesuchte faktorisierte Form des gegebenen Trinoms in der allgemeinen quadratischen Form gefunden.
Alternativ hättest du auch alle vier gegebenen faktorisierten Terme ausmultiplizieren, zusammenfassen und daraufhin überprüfen können, ob der resultierende Term dem gegebenen Trinom entspricht.
-
Leite durch Faktorisieren des gegebenen Trinoms die dritte binomische Formel her.
TippsDa im Ausgangsterm kein lineares Glied vorhanden ist, beträgt dieses $0x$.
Du gehst von der allgemeinen quadratischen Form $ax^2+bx+c$ aus und ermittelst zwei Faktoren des Produktes $ac$ so, dass deren Summe gleich $b$, also $0$, ist.
LösungKennt man die dritte binomische Formel, so weiß man, dass $x^2-16=(x+4)(x-4)$ ist. Diesen Zusammenhang kann man sich aber auch schnell selbst herleiten.
Hierzu faktorisieren wir den gegebenen Term, indem wir diesen zunächst zerlegen. Dabei wählen wir die Faktoren des Produktes $1\cdot (-16)=-16$ so, dass diese addiert den Koeffizienten des linearen Glieds ergeben. Da wir hier allerdings kein lineares Glied haben, ist dieser Koeffizient gleich null.
Lass uns zunächst schauen, welche Faktoren für das Produkt $-16$ infrage kommen. Diese sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
$ \begin{array}{c|c} \text{Faktoren von } -16 & \text{Summe der Faktoren} \\ \hline 1~ \text{und} ~ -16 & -15 \\ -1~ \text{und} ~ 16 & 15 \\ 2~ \text{und} ~ -8 & -6 \\ -2~ \text{und} ~ 8 & 6 \\ 4~ \text{und} ~ -4 & 0\\ \end{array} $
Für die Werte $4$ und $-4$ erhalten wir das Produkt $-16$ und die Summe $0$. Also sind diese die gesuchten Werte. Wir zerlegen nun unser lineares Glied wie folgt:
$x^2+4x-4x-16$
Jetzt gruppieren wir diesen Term mittels Klammern in zwei Binome und klammern aus:
$ \begin{array}{rl} =& (x^2+4x)+(-4x-16) \\ =& x(x+4)-4(x+4) \\ =& (x-4)(x+4) \end{array} $
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ich finde es eigentlich ganz gut! Nur nicht so viele, längere Pausen(für meinen Geschmack) Aber sonst fand ich gut!👍
Schlecht! 🤯😠😠😠😠😡😠😠😡😡😠😠😠😡
Erinnert mich an Saison/Season(keine Ahnung welches richtig ist)