Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

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Die Autor*innen

Peter Mahns

Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

lernst du in der Sekundarstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

Hallo und herzlich Willkommen zu meinem Video zur Exponentialfunktion und Halbwertszeit. Der Begriff der Halbwertszeit ist eine wichtige chemische, physikalische und auch biologische Größe. Ich zeige dir, unter welchen Voraussetzungen und vor allem wie du die Halbwertszeit aus einer gegebenen Modellierung bzw. Exponentialfunktion ermitteln kannst. Außerdem werden wir eine Beziehung zwischen der Halbwertszeit und dem Anfangswert der Modellierung feststellen. In der abschließenden Testfrage kannst du dann zeigen, ob du die Halbwertszeit richtig berechnen kannst.

Transkript Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

Hallo. In dem heutigen Video geht es um die Exponentialfunktion und die Halbwertszeit. Das Video ist wie folgt aufgebaut: Zu Beginn gibt es eine Wiederholung zur Exponentialfunktion. Im Anschluss folgt der Begriff der Halbwertszeit und Zusammenfassung schließt das Video ab. Zur Wiederholung. Für eine Exponentialfunktion mit der Basis e schreibt man formal: f(t)=ae^kt. a, k und t sind hierbei beliebige reelle Zahlen. a bezeichnet man auch als Anfangswert und ist ungleich null. t ist die Größe, von der die Funktion abhängig ist. e ist die Eulersche Zahl, das heißt der Wert aus 2,718 und so weiter. Der Faktor k im Exponenten hat eine besondere Bedeutung und ist ebenfalls ungleich null. Wenn k>0 ist, dann spricht man von einem exponentiellen Wachstum und es lässt sich die Verdopplungszeit angeben. Wenn k<0 ist, dann spricht man vom exponentiellen Zerfall und man kann die Halbwertszeit angeben. Wir beschränken uns im Folgenden immer auf den zweiten Fall, dass k<0 ist. Im Punkt zwei geht es um die Halbwertszeit. Ich möchte zunächst eine kurze Begriffsklärung machen. Die Halbwertszeit, welche man auch als HWZ oder t mit Index ½ abkürzt, ist die Zeit in der sich eine bestimmte Menge um die Hälfte verringert hat. Doch wie lässt sich die Halbwertszeit berechnen? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Der radioaktive Zerfall vom Atomkern von Radium lässt sich durch die Funktion f(t)=200e^-0,000428t beschreiben. t entspricht der Anzahl der Jahre und f(t) entspricht der Anzahl der verbliebenen radioaktiven Atomkerne von Radium zum Jahr t. Wie groß ist die Halbwertszeit von Radium, das heißt, wann sind die Hälfte der Atomkerne nicht mehr radioaktiv? Gesucht ist ein Zeitpunkt t in Jahren, bei dem nur noch die Hälfte der Atomkerne radioaktiv ist. Wir setzen also f(t)=100. f(t) ist aber auch 200e-^-0,000428t. Wir nehmen uns also den linken und rechten Teil der Gleichung und dividieren noch durch 200. Es ergibt sich e-0,000428t=0,5. Nun wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlich Logarithmus an. Die Gleichung vereinfacht sich mithilfe der Logarithmusgesetze weiter zu: -0,000428t=ln(0,5). Nun dividieren wir durch -0,000428 und erhalten somit t=ln(0,5)/-0,000428. Was unter Zuhilfenahme des Taschenrechners rund 1620 ist. Als Antwort können wir formulieren: Die Halbwertszeit von Radium beträgt 1620 Jahre. Da wir bei der Berechnung durch den Anfangswert von 200 geteilt haben, können wir weiterhin das Wichtige festhalten: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert. Die Halbwertszeit ist eine stoffspezifische Größe und besonders hilfreich in der Chemie, Physik und Biologie. Es ist beispielsweise möglich mithilfe der Halbwertszeit der entsprechenden Stoffe das Alter von Gesteinen und Fossilien zu bestimmen. Fassen wir zusammen: Ist in der Exponentialfunktion f(t)=ae^kt der Vorfaktor k<0, dann spricht man von einem exponentiellen Zerfall. Außerdem lässt sich dann die Halbwertszeit berechnen. Zudem findet die Halbwertszeit ihren Nutzen in der Chemie, Physik und Biologie. Des Weiteren kannst du dir merken: Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert a. Das war es von mir. Ich danke dir fürs Zuhören und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar

gutes Video, aber das beispiel ist verwirrend

Von Luca S., vor mehr als 5 Jahren

Exponentialfunktionen und Halbwertszeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktionen und Halbwertszeit kannst du es wiederholen und üben.

Ergänze die Aussagen zu Exponentialfunktionen.
Tipps

$f(t)$ könnte beispielsweise die Anzahl radioaktiver Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt angeben.

Betrachtest du den Beginn $t=0$, erhältst du $f(0)=a$.

Die Parameter in dieser Funktion dürfen nicht Null sein, sonst würde die Funktion konstant sein.

Lösung
Die allgemeine Exponentialfunktion sieht so aus:
$f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$.
Diese Funktion ist von der Variable $t$ abhängig; sie steht für den aktuellen Zeitpunkt in Jahren. $f(t)$ ist demnach die Menge der betrachteten Objekte zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$.
Der Anfangswert, von dem man ausgeht, ist $a$ und darf nicht Null sein. Auch der Parameter $k$ im Exponenten darf nicht Null sein. Man unterscheidet aber zwei Fälle:
- $k>0:$ exponentielles Wachstum und
- $k<0:$ exponentieller Zerfall.
Im letzten Fall können wir die Halbwertszeit ausrechnen, d.h. denjenigen Zeitpunkt, für den sich die Ausgangsmenge halbiert hat.
Die Basis ist die Eulersche Zahl $e$, die gerundet einen Wert von ungefähr $2,718$ besitzt.
Berechne die Halbwertszeit von Radium.

Tipps

Gefragt ist nach der Halbwertszeit; also der Zeitpunkt, zu dem genau die Hälfte der Atomkerne zerfallen ist.
Löse die Gleichung $f(T)=100$.

Die Gleichung kannst du mit Hilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

Lösung

Die Halbwertszeit (HWZ, $T_{\frac{1}{2}}$) ist die Zeit, die ein Stoff benötigt, um auf $50~\%$ seines Anfangswertes zu zerfallen.
In diesem Fall ist der Anfangswert $200$. Gesucht ist also die Dauer, die vergeht, bis nur noch $100$ radioaktive Atomkerne übrig sind. Wir suchen also der Zeitpunkt $T$, bei dem $f(T)=100$ gilt.
Wir notieren:
$f(T)=100$ bzw. $f(T)=200\cdot e^{-0,000428\cdot T}$
Diese zwei Zeilen setzen wir gleich und versuchen nach $T$ aufzulösen:
$\begin{array}{cll} 200\cdot e^{-0,000428\cdot T} &= 100 &| :200 \\ e^{-0,000428 \cdot T} &= 0,5 & | \ln(~) \\ \ln(e^{-0,000428\cdot T}) &= \ln(0,5) &| \text{ Logarithmusgesetz} \\ -0,000428\cdot T &= \ln(0,5) &| :(-0,000428) \\ T &= \frac{\ln(0,5)}{-0,000428} \\ T &\approx 1620 \end{array}$
Die Zeit, die vergeht, bis die Hälfte der radioaktiven Atomkerne abgebaut ist, beträgt also rund $1620$ Jahre.
Bestimme den Anteil der nach $3000$ Jahren zerfallenen Atome in Prozent.

Tipps

$a-f(t)$ gibt die Anzahl zerfallener Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt an.
$a$ steht dabei für den Anfangswert.

Anteile werden durch Brüche berechnet.
Ein Beispiel:
Vier Mädchen in einer Gruppe von zehn Kindern machen ein Anteil von $\frac{4}{10}=40~\%$ aus.

Berechne $\frac{a-f(3000)}{a}$.

Lösung

Die Variable $t$ der Funktion steht für den Zeitpunkt in Jahren. Da dieser in der Aufgabe bereits gegeben ist, können wir ihn direkt in die Funktionsgleichung einsetzen.
Der Funktionswert $f(t)$ gibt dann Auskunft über die nach $t$ Jahren noch übrig gebliebenen radioaktiven Atomkerne.
$f(3000) = 200\cdot e^{-0,000428\cdot 3000}$
$f(3000) = 55,385 \approx 55$
Nach $3000$ Jahren sind also noch $55$ der anfangs $200$ Atomkerne übrig. Das heißt; es sind $145$ davon bereits zerfallen.
Das entspricht einem Anteil von
$\frac{145}{200}=\frac{29}{40}= 72,5~\%$.
Bemerkung: Hätte du den Anteil direkt über die Formel $\frac{a-f(3000)}{a}$ berechnet und hättest erst zum Schluss gerundet, so wärst du auf den Wert $1-e{-0,000428\cdot 3000}\approx 0,723 =72,3~\%$ gekommen.
Ermittle den Zeitpunkt, zu dem ein Viertel der Einheiten zerfallen ist.

Tipps

Gefragt ist nach der Zeit $t$, also dem Zeitpunkt, zu dem ein Viertel des Stoffes zerfallen, also noch drei Viertel vorhanden sind.
Man braucht also ein $t$, für das gilt: $f(t)=\frac{3}{4}a$.

Die Gleichung kannst du mit Hilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

Lösung

Zunächst ist hier besonders auf die Formulierung zu achten.
Die Formel gibt uns immer nur an, wie viele Einheiten zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ noch vorhanden sind.
Wenn also danach gefragt wird, wann ein Viertel zerfallen ist, muss man nach dem Zeitpunkt suchen, zu dem noch drei Viertel des Ausgangswertes vorhanden sind.
Dieser Ausgangswert beträgt in diesem Beispiel $a=600$.
Wir suchen nach einem $t$, für das $f(t)=\frac{3}{4} \cdot 600=450$ gilt.
Daraus erstellen wir diese Gleichung:
$600\cdot e^{-0,00627\cdot t}=450$
Diese lösen wir nun nach $t$ auf, um die Anzahl der Jahre zu erhalten:
$\begin{array}{cll} \frac{3}{4} &=e^{-0,00627\cdot t} &| \ln (~) \\ \ln(\frac{3}{4}) &= -0,00627\cdot t &| :(-0,00627) \\ \frac{\ln(\frac{3}{4})}{-0,00627} &= t \\ 45,88 &= t \end{array}$
Es dauert also ca. $46$ Jahre, bis ein Viertel dieses Stoffes zerfallen ist.
Benenne die Bestandteile der Exponentialfunktion und die Bedingungen an die Parameter.

Tipps

$f(t)$ könnte beispielsweise die Anzahl radioaktiver Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt angeben.

Betrachtest du den Beginn $t=0$, erhältst du $f(0)=a$.

Lösung

Betrachten wir die Gleichung von links nach rechts.
Der Funktionswert $f(t)$ gibt uns die Menge eines bestimmten Stoffes bzw. die Anzahl von Objekten zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ an.
Dabei geht man immer von einem Anfangswert $a$ aus, welcher nicht Null sein darf.
Diesen multipliziert man mit der Eulerschen Zahl $e$, die ungefähr dem Wert $2,718$ entspricht.
Die Eulersche Zahl wiederum erhält als Exponenten den Wachstumsparameter $k$, der entweder negativ (Zerfall) oder positiv (Wachstum) sein kann. Er ist aber niemals gleich null.
Diesen multipliziert man noch mit der Variable $t$, von der die Funktion abhängig ist. Sie gibt den Zeitpunkt meist in Jahren an.
Arbeite den Zerfallsfaktor heraus.

Tipps

Die Halbwertszeit soll $1200$ Jahre betragen. Dass bedeutet, dass von dem Anfangswert $500$ nach $1200$ Jahren bloß noch die Hälfte, also $250$ Einheiten übrig sein werden.
Wie sieht eine Gleichung für einen möglichen Ansatz aus?

Es gilt $f(1200)=250$.

Die Gleichung kannst du mithilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

Lösung

Fassen wir die bekannten Angaben zusammen.
Die Halbwertszeit soll $1200$ Jahre betragen. Dass bedeutet, dass von dem Anfangswert $500$ nach $1200$ Jahren bloß noch die Hälfte, also $250$ Einheiten übrig sein werden.
Gesucht ist die Größe $k$, die hier negativ sein muss, da es sich um einen Zerfalls- und keinen Wachstumsprozess handelt.
Mit diesen uns bekannten Werten können wir folgende Gleichung aufstellen und analog zum Berechnen von $t$ in den Aufgaben zuvor nach $k$ auflösen:
$\begin{array}{cll} 500\cdot e^{k\cdot 1200} &= 250 &| :500 \\ e^{k\cdot 1200} &= 0,5 &|~\ln(~) \\ k\cdot 1200 &= \ln(0,5) &| :1200 \\ k &= \frac{\ln(0,5)}{1200} \\ k &\approx -0,00057762 \end{array}$
Dies ist der gesuchte Faktor $k$. Die fünf gesuchten Ziffern lauten also $57762$.