Exponentialfunktionen und Halbwertszeit

Exponentialfunktionen und Halbwertszeit Übung

• Ergänze die Aussagen zu Exponentialfunktionen.

  Tipps

  $f(t)$ könnte beispielsweise die Anzahl radioaktiver Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt angeben.

  Betrachtest du den Beginn $t=0$, erhältst du $f(0)=a$.

  Die Parameter in dieser Funktion dürfen nicht Null sein, sonst würde die Funktion konstant sein.

  Lösung

  Die allgemeine Exponentialfunktion sieht so aus:

  $f(t)=a\cdot e^{k\cdot t}$.

  Diese Funktion ist von der Variable $t$ abhängig; sie steht für den aktuellen Zeitpunkt in Jahren. $f(t)$ ist demnach die Menge der betrachteten Objekte zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$.

  Der Anfangswert, von dem man ausgeht, ist $a$ und darf nicht Null sein. Auch der Parameter $k$ im Exponenten darf nicht Null sein. Man unterscheidet aber zwei Fälle:

  • $k>0:$ exponentielles Wachstum und

  • $k<0:$ exponentieller Zerfall.

  Im letzten Fall können wir die Halbwertszeit ausrechnen, d.h. denjenigen Zeitpunkt, für den sich die Ausgangsmenge halbiert hat.

  Die Basis ist die Eulersche Zahl $e$, die gerundet einen Wert von ungefähr $2,718$ besitzt.

• Berechne die Halbwertszeit von Radium.

  Tipps

  Gefragt ist nach der Halbwertszeit; also der Zeitpunkt, zu dem genau die Hälfte der Atomkerne zerfallen ist.

  Löse die Gleichung $f(T)=100$.

  Die Gleichung kannst du mit Hilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

  Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Die Halbwertszeit (HWZ, $T_{\frac{1}{2}}$) ist die Zeit, die ein Stoff benötigt, um auf $50~\%$ seines Anfangswertes zu zerfallen.

  In diesem Fall ist der Anfangswert $200$. Gesucht ist also die Dauer, die vergeht, bis nur noch $100$ radioaktive Atomkerne übrig sind. Wir suchen also der Zeitpunkt $T$, bei dem $f(T)=100$ gilt.

  Wir notieren:

  $f(T)=100$ bzw. $f(T)=200\cdot e^{-0,000428\cdot T}$

  Diese zwei Zeilen setzen wir gleich und versuchen nach $T$ aufzulösen:

  $\begin{array}{cll} 200\cdot e^{-0,000428\cdot T} &= 100 &| :200 \\ e^{-0,000428 \cdot T} &= 0,5 & | \ln(~) \\ \ln(e^{-0,000428\cdot T}) &= \ln(0,5) &| \text{ Logarithmusgesetz} \\ -0,000428\cdot T &= \ln(0,5) &| :(-0,000428) \\ T &= \frac{\ln(0,5)}{-0,000428} \\ T &\approx 1620 \end{array}$

  Die Zeit, die vergeht, bis die Hälfte der radioaktiven Atomkerne abgebaut ist, beträgt also rund $1620$ Jahre.

• Bestimme den Anteil der nach $3000$ Jahren zerfallenen Atome in Prozent.

  Tipps

  $a-f(t)$ gibt die Anzahl zerfallener Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt an.

  $a$ steht dabei für den Anfangswert.

  Anteile werden durch Brüche berechnet.

  Ein Beispiel:

  Vier Mädchen in einer Gruppe von zehn Kindern machen ein Anteil von $\frac{4}{10}=40~\%$ aus.

  Berechne $\frac{a-f(3000)}{a}$.

  Lösung

  Die Variable $t$ der Funktion steht für den Zeitpunkt in Jahren. Da dieser in der Aufgabe bereits gegeben ist, können wir ihn direkt in die Funktionsgleichung einsetzen.

  Der Funktionswert $f(t)$ gibt dann Auskunft über die nach $t$ Jahren noch übrig gebliebenen radioaktiven Atomkerne.

  $f(3000) = 200\cdot e^{-0,000428\cdot 3000}$

  $f(3000) = 55,385 \approx 55$

  Nach $3000$ Jahren sind also noch $55$ der anfangs $200$ Atomkerne übrig. Das heißt; es sind $145$ davon bereits zerfallen.

  Das entspricht einem Anteil von

  $\frac{145}{200}=\frac{29}{40}= 72,5~\%$.

  Bemerkung: Hätte du den Anteil direkt über die Formel $\frac{a-f(3000)}{a}$ berechnet und hättest erst zum Schluss gerundet, so wärst du auf den Wert $1-e{-0,000428\cdot 3000}\approx 0,723 =72,3~\%$ gekommen.

• Ermittle den Zeitpunkt, zu dem ein Viertel der Einheiten zerfallen ist.

  Tipps

  Gefragt ist nach der Zeit $t$, also dem Zeitpunkt, zu dem ein Viertel des Stoffes zerfallen, also noch drei Viertel vorhanden sind.

  Man braucht also ein $t$, für das gilt: $f(t)=\frac{3}{4}a$.

  Die Gleichung kannst du mit Hilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

  Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Zunächst ist hier besonders auf die Formulierung zu achten.

  Die Formel gibt uns immer nur an, wie viele Einheiten zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ noch vorhanden sind.

  Wenn also danach gefragt wird, wann ein Viertel zerfallen ist, muss man nach dem Zeitpunkt suchen, zu dem noch drei Viertel des Ausgangswertes vorhanden sind.

  Dieser Ausgangswert beträgt in diesem Beispiel $a=600$.

  Wir suchen nach einem $t$, für das $f(t)=\frac{3}{4} \cdot 600=450$ gilt.

  Daraus erstellen wir diese Gleichung:

  $600\cdot e^{-0,00627\cdot t}=450$

  Diese lösen wir nun nach $t$ auf, um die Anzahl der Jahre zu erhalten:

  $\begin{array}{cll} \frac{3}{4} &=e^{-0,00627\cdot t} &| \ln (~) \\ \ln(\frac{3}{4}) &= -0,00627\cdot t &| :(-0,00627) \\ \frac{\ln(\frac{3}{4})}{-0,00627} &= t \\ 45,88 &= t \end{array}$

  Es dauert also ca. $46$ Jahre, bis ein Viertel dieses Stoffes zerfallen ist.

• Benenne die Bestandteile der Exponentialfunktion und die Bedingungen an die Parameter.

  Tipps

  $f(t)$ könnte beispielsweise die Anzahl radioaktiver Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt angeben.

  Betrachtest du den Beginn $t=0$, erhältst du $f(0)=a$.

  Lösung

  Betrachten wir die Gleichung von links nach rechts.

  Der Funktionswert $f(t)$ gibt uns die Menge eines bestimmten Stoffes bzw. die Anzahl von Objekten zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ an.

  Dabei geht man immer von einem Anfangswert $a$ aus, welcher nicht Null sein darf.

  Diesen multipliziert man mit der Eulerschen Zahl $e$, die ungefähr dem Wert $2,718$ entspricht.

  Die Eulersche Zahl wiederum erhält als Exponenten den Wachstumsparameter $k$, der entweder negativ (Zerfall) oder positiv (Wachstum) sein kann. Er ist aber niemals gleich null.

  Diesen multipliziert man noch mit der Variable $t$, von der die Funktion abhängig ist. Sie gibt den Zeitpunkt meist in Jahren an.

• Arbeite den Zerfallsfaktor heraus.

  Tipps

  Die Halbwertszeit soll $1200$ Jahre betragen. Dass bedeutet, dass von dem Anfangswert $500$ nach $1200$ Jahren bloß noch die Hälfte, also $250$ Einheiten übrig sein werden.

  Wie sieht eine Gleichung für einen möglichen Ansatz aus?

  Es gilt $f(1200)=250$.

  Die Gleichung kannst du mithilfe des natürlichen Logarithmus vereinfachen. Diese Umformung ist auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

  Beachte, dass folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Fassen wir die bekannten Angaben zusammen.

  Die Halbwertszeit soll $1200$ Jahre betragen. Dass bedeutet, dass von dem Anfangswert $500$ nach $1200$ Jahren bloß noch die Hälfte, also $250$ Einheiten übrig sein werden.

  Gesucht ist die Größe $k$, die hier negativ sein muss, da es sich um einen Zerfalls- und keinen Wachstumsprozess handelt.

  Mit diesen uns bekannten Werten können wir folgende Gleichung aufstellen und analog zum Berechnen von $t$ in den Aufgaben zuvor nach $k$ auflösen:

  $\begin{array}{cll} 500\cdot e^{k\cdot 1200} &= 250 &| :500 \\ e^{k\cdot 1200} &= 0,5 &|~\ln(~) \\ k\cdot 1200 &= \ln(0,5) &| :1200 \\ k &= \frac{\ln(0,5)}{1200} \\ k &\approx -0,00057762 \end{array}$

  Dies ist der gesuchte Faktor $k$. Die fünf gesuchten Ziffern lauten also $57762$.