Ellipsen – Keplersche Gesetze

Ellipsen – Keplersche Gesetze Übung

• Ergänze die Erklärung zu den Keplerschen Gesetzen.

  Tipps

  „Geo“ ist eine Vorsilbe, welche für „Erde“ steht: zum Beispiel Geografie.

  „Helio“ ist eine Vorsilbe, welche für „Sonne“ steht.

  Das obige Bild zeigt eine Planetenbahn um die Sonne.

  Lösung

  Seit der Antike und bis ins späte Mittelalter hinein waren die Menschen der Auffassung, dass alle Planeten sich um die Erde drehen. Dieses Weltbild nennt man geozentrisch.

  Der Astronom stellte im 16. Jahrhundert die Theorie des heliozentrischen Weltbildes auf. Das heißt, die Planeten drehen sich um die Sonne und nicht um die Erde.

  Der deutsche Naturphilosoph und Mathematiker Johannes Kepler überprüft das heliozentrische Weltbild und stellte fest, dass sich der Planet Mars auf einer ellipsenförmigen Bahn um die Sonne dreht. Später stellte er fest, dass dies auch für die übrigen Planeten gilt.

• Benenne die Kepler'schen Gesetze.

  Tipps

  In dem obigen Bild ist das zweite Kepler'sche Gesetz dargestellt.

  Der Leitstrahl ist die Verbindungslinie zwischen dem Planeten und Sonne.

  Aus dem zweiten Kepler'schen Gesetz kann abgeleitet werden, dass die Planeten sich langsamer bewegen, wenn sie weiter von der Sonne entfernt sind, und schneller, je näher sie der Sonne kommen.

  Lösung

  Was besagen die Kepler'schen Gesetze?

  1. Die Planeten unseres Sonnensystems bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
  2. Der Leitstrahl eines Planeten, also die Verbindungslinie zwischen Planeten und Sonne, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Das bedeutet, dass der Planet sich in weiter von der Sonne entfernten Bereichen langsamer bewegt als in solchen, die näher an der Sonne sind. Dieser Zusammenhang ist in dem nebenstehenden Bild zu sehen.
  3. Das Verhältnis von den Quadraten der Umlaufzeiten zweier Planeten ist genau so groß wie das Verhältnis der dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen.

• Prüfe das dritte Kepler'sche Gesetz an verschiedenen Beispielen.

  Tipps

  Verwende die Formel

  $\large\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$.

  Dabei steht $T$ für die Umlaufzeit und $a$ für die große Halbachse.

  Es muss bei beiden Quotienten jeweils das Gleiche herauskommen. Dies ist die Aussage des dritten Kepler'schen Gesetzes.

  Du kannst auch jeweils den Kehrwert bilden. Auch hier muss Gleichheit gelten.

  Lösung

  Um das dritte Kepler'sche Gesetz an Beispielen zu überprüfen, wird jeweils der Quotient der quadrierten Zeiten gebildet und dieser mit dem Quotienten der mit $3$ potenzierten Längen der großen Halbachse der Planetenbahnen verglichen. Diese müssen übereinstimmen.

  Für das Planetenpaar Merkur und Erde ergibt sich:

  • $\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{0,2408^2}{1^2}\approx 0,058$
  • $\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{0,3871^3}{1^3}\approx 0,058$

  Für das Planetenpaar Merkur und Erde ergibt sich:

  • $\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{0,2408^2}{1,8808^2}\approx 0,016$
  • $\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{0,3871^3}{1,5237^3}\approx 0,016$

  Dass in beiden Fällen die Gleichheit gilt, bestätigt für diese Kombination der Planeten die Aussage des dritten Kepler'schen Gesetzes.

• Entscheide, ob die gegebene Ellipse die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne sein kann.

  Tipps

  Die Sonne ist jeweils gelb in der Ellipse eingezeichnet.

  Beachte das erste Kepler'sche Gesetz, welches besagt, dass die Planeten unseres Sonnensystems sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne drehen, wobei die Sonne einer der Brennpunkte ist.

  In diesem Bild sind

  • $A$ und $B$ Brennpunkte,
  • der Schnittpunkt der beiden Achsen der Mittelpunkt,
  • $a$ die große und
  • $b$ die kleine Halbachse sowie
  • $l$ die lineare Exzentrizität.
  • Der Punkt $P$ ist ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. Mit den gestrichelten Linien sind die Abstände des Punktes zu den Brennpunkten eingezeichnet.
  • $Q$ und $S$ sind die sogenannten Hauptscheitel und
  • $R$ und $T$ die Nebenscheitel.

  Lösung

  In dem nebenstehenden Bild sind die wichtigen Bezeichnungen in einer Ellipse zu sehen:

  • $A$ und $B$ Brennpunkte,
  • der Schnittpunkt der beiden Achsen der Mittelpunkt,
  • $a$ die große und
  • $b$ die kleine Halbachse sowie
  • $l$ die lineare Exzentrizität.
  • Der Punkt $P$ ist ein beliebiger Punkt auf der Ellipse. Mit den gestrichelten Linien sind die Abstände des Punktes zu den Brennpunkten eingezeichnet.
  • $Q$ und $S$ sind die sogenannten Hauptscheitel und
  • $R$ und $T$ die Nebenscheitel.

  Nach dem ersten Kepler'schen Gesetz ist die Umlaufbahn eines Planeten unseres Sonnensystems eine Ellipse und die Sonne ein Brennpunkt dieser Ellipse.

  • Alle fünf Abbildungen zeigen Ellipsen.
  • Nur in den ersten beiden ist die Sonne ein Brennpunkt der Ellipse. Diese beiden können Umlaufbahnen von Planeten sein.
  • Im dritten Bild ist die Sonne der Mittelpunkt der Ellipse,
  • im vierten ein beliebiger Punkt auf der Ellipse und
  • im fünften ein Hauptscheitel.

• Benenne das Verfahren zur Konstruktion einer Ellipse.

  Tipps

  Die Bezeichnung der Konstruktion ist eine Berufsbezeichnung.

  Es handelt sich um einen handwerklichen Beruf.

  Menschen, die diesen Beruf ausüben, sorgen dafür, dass es um ein Haus herum schön aussieht.

  Lösung

  Die beiden Punkte $F_1$ und $F_2$ sind die Brennpunkte der abgebildeten Ellipse.

  Es gilt für jeden Punkt auf der Ellipse, dass die Summe der Abstände des Punktes zu den Brennpunkten immer gleich ist.

  Diese Eigenschaft kann genutzt werden, um eine Ellipse zu konstruieren.

  Es wird eine Schnur mit der Länge $d$ um die beiden Brennpunkte gelegt. Wenn man die Spur spannt, hat man einen Punkt der Ellipse. Wenn man nun die Schnur ähnlich einem Zirkel bewegt, kann man die gesamte Ellipse konstruieren.

  Diese Konstruktion wird als Gärtnerkonstruktion bezeichnet.

  Die Länge $d$ ist gegeben durch

  $d=\overline{F_1F_2}+2a$.

  Dabei ist $a$ die halbe Länge der Hauptachse, die Achse der Ellipse, welche durch die beiden Brennpunkte verläuft.

• Bestimme die Umlaufzeit des Planeten Pluto.

  Tipps

  Verwende die Formel

  $\large\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$

  für das dritte Kepler'sche Gesetz.

  Du kennst die beiden großen Halbachsen. Diese entsprechen dem mittleren Abstand des Planeten von der Sonne, sowie einer Umlaufzeit.

  Setze die bekannten Größen in der obigen Formel ein und forme diese nach der Unbekannten um.

  Lösung

  Das dritte Kepler'sche Gesetz liefert die Formel

  $\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$.

  In diesem Beispiel ist

  • $T_1$ unbekannt,
  • $T_2=0,2408$,
  • $a_1=39,444$ sowie
  • $a_2=0,3871$.

  Diese Größen können nun in der obigen Formel eingesetzt und nach der Unbekannten umgeformt werden:

  $\begin{align*} \frac{T_1^2}{0,2408^2}&=\frac{39,444^3}{0,3871^3}&|&\cdot 0,2408^2\\ T_1^2&=\frac{39,444^3}{0,3871^3}\cdot 0,2408^2\\ T_1^2&\approx 61346,007&|&\sqrt{~}\\ T_1&\approx 247,681. \end{align*}$