Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren Übung

• Beschreibe die Eigenschaften von einem LGS mit zwei Variablen und wie du dieses lösen kannst.

  Tipps

  Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann durch zwei Geraden dargestellt werden. Zwei Geraden können entweder parallel zueinander sein, sich in einem Punkt schneiden oder identisch sein. Die Anzahl der gemeinsamen Punkte entspricht der Anzahl der Lösungen.

  Beim Einsetzungsverfahren setzt du den Term, der die eine Variable beschreibt, in die andere Gleichung ein.

  Lösung

  Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen. Das kannst du dir wie folgt vorstellen:

  • Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen stellt zwei Geraden dar. Zwei Geraden können entweder parallel zueinander sein (keine Lösung), sich in einem Punkt schneiden (eine Lösung) oder identisch sein (unendlich viele Lösungen).

  Es gibt verschiedene Verfahren, um ein LGS zu lösen. Eine Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren. Die Voraussetzung hierfür ist, dass eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst ist.

  • Zudem gibt es noch das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren.

  Beim Einsetzungsverfahren gehst du wie folgt vor:

  Schritt 1: Setze den Term für die Variable in die jeweils andere Gleichung ein.
  Schritt 2: Löse die so entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auf.
  Schritt 3: Setze die Lösung für die erste Variable in die andere Gleichung ein.

  Die Lösung ist also immer ein Wertepaar.

  Abschließend überprüfst du mithilfe einer Probe deine Ergebnisse.

  • Hierzu setzt du die Lösungen für die beiden Variablen in beide Gleichungen ein und überprüfst, ob diese jeweils eine wahre Aussage liefern.

• Berechne die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Fasse zunächst gleichartige Terme zusammen und stelle die Gleichung anschließend nach der jeweiligen Variablen um.

  Achte beim Umstellen der Gleichung darauf, dass du auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführst.

  Lösung

  Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen:

  $ \left|\begin{array}{rcl} y &=& x-2 \\ 2x+y-16 &=& 18 \end{array}\right| \\ $

  Dieses lösen wir im Folgenden mithilfe des Einsetzungsverfahrens. Dieses Verfahren können wir nutzen, da die erste Gleichung nach der Variablen $y$ aufgelöst ist. Wir gehen wie folgt vor:

  Schritt 1: $\text{I}$ in $\text{II}$ einsetzen:

  $2x+x-2-16=18$

  Schritt 2: Gleichung nach $x$ auflösen:

  $\begin{array}{rcll} 2x+x-2-16 &=& 18 & \\ 3x-18 &=& 18 & \vert +18 \\ 3x &=& 36 & \vert :3 \\ x &=& 12 & \end{array}$

  Schritt 3: Lösung für $x$ in $\text{I}$ einsetzen:

  $y = 12-2 = 10$

  Probe:

  $\begin{array}{rcl} 10 &=& 12-2 \\ 10 &=& 10 \\ \\ \\ 2\cdot 12+10-16 &=& 18 \\ 24+10-16 &=& 18 \\ 18 &=& 18 \end{array}$

  Die Probe liefert für beide Gleichungen eine wahre Aussage. Damit ist die Lösung dieses LGS $(12\vert 10)$.

• Ermittle die Lösungen der linearen Gleichungssysteme mittels Einsetzungsverfahren.

  Tipps

  Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, benötigst du eine Gleichung, die nach einer der Variablen umgestellt ist. Den Term für diese Variable setzt du dann in die andere Gleichung ein.

  Hebt sich beim Umstellen die Variable in einer Gleichung auf und liefert die Gleichung eine falsche Aussage, so hat dieses LGS keine Lösung.

  Lösung

  Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen.

  Es gibt verschiedene Verfahren, um ein LGS zu lösen. Eine Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren. Die Voraussetzung hierfür ist, dass eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst ist. Alle Gleichungssysteme in dieser Aufgabe erfüllen diese Bedingung. Du gehst nun wie folgt vor:

  Schritt 1: Setze den Term für die Variable in die jeweils andere Gleichung ein.
  Schritt 2: Löse die so entstandene Gleichung nach der anderen Variablen auf.
  Schritt 3: Setze die Lösung für die erste Variable in die andere Gleichung ein.

  Abschließend kannst du mithilfe einer Probe deine Ergebnisse überprüfen.

  Beispiel 1:

  $\left| \begin{matrix} x= 3y-18 \\ 3x+y = 16 \\ \end{matrix} \right|$

  Wir setzen den Term für $x$ aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein und stellen nach $y$ um:

  $\begin{array}{rcll} 3(3y-18)+y &=& 16 & \\ 9y-54+y &=& 16 & \\ 10y-54 &=& 16 & \vert +54 \\ 10y &=& 70 & \vert :10 \\ y &=& 7 & \end{array}$

  Diesen Wert setzen wir in die erste Gleichung ein, um $x$ zu berechnen:

  $x=3\cdot 7-18=21-18=3$

  Für $x=3$ und $y=7$ liefern beide Gleichungen eine wahre Aussage.

  Beispiel 2:

  $\left| \begin{matrix} x = 2y -1 \\ -2x+4y = 17 \\ \end{matrix} \right|$

  Durch Einsetzen des Terms für $x$ in die zweite Gleichung erhalten wir:

  $\begin{array}{rcl} -2(2y-1)+4y &=& 17 \\ -4y+2+4y &=& 17 \\ 2 &=& 17 \end{array}$

  Hier erhalten wir eine falsche Aussage. Damit hat dieses LGS keine Lösung.

  Beispiel 3:

  $\left| \begin{matrix} y= -3x+5 \\ 3(2x+y) = 6 \\ \end{matrix} \right|$

  Wir setzen den Term für $y$ in die zweite Gleichung ein:

  $\begin{array}{rcll} 3(2x-3x+5) &=& 6 & \\ 3(-x+5) &=& 6 & \\ -3x+15 &=& 6 & \vert -15 \\ -3x &=& -9 & \vert :(-3) \\ x &=& 3 & \end{array}$

  Diesen Wert setzen wir in die erste Gleichung ein, um $y$ zu berechnen:

  $y=-3\cdot 3+5=-9+5=-4$

  Für $x=3$ und $y=-4$ liefern beide Gleichungen eine wahre Aussage.

  Beispiel 4:

  $\left| \begin{matrix} x= 5-y \\ 2(x+y) = 10 \\ \end{matrix} \right|$

  Durch Einsetzen des Terms für $x$ in die zweite Gleichung erhalten wir:

  $\begin{array}{rcl} 2(5-y+y) &=& 10 \\ 10 &=& 10 \end{array}$

  Hier erhalten wir eine wahre Aussage, wobei sich die Variable aufhebt. Damit hat dieses LGS unendlich viele Lösungen.

• Bestimme die Unbekannten der gegebenen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

  Tipps

  Stelle eine der beide Gleichungen nach einer Variablen um und setze den Term für diese Variable in die anderen Gleichung ein.

  Mit einer Probe kannst du deine Lösungen überprüfen.

  Verwende das Distributivgesetz, um die gegebenen Gleichungen zu vereinfachen. Das Distributivgesetz lautet:

  $c(a+b)=ca+cb$

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird am ersten Beispiel verdeutlicht. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

  $ \left| \begin{matrix} x+26 &=& 7y \\ 2(x+y) &=& 6y-12 \end{matrix} \right| $

  Um dieses Gleichungssystem mittels Einsetzungsverfahren zu lösen, muss zunächst eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Variable isoliert ist. Da die Variable $x$ in der ersten Gleichung bereits ohne Vorfaktor auftaucht, wählen wir diese Gleichung und formen sie um. Wir erhalten:

  $ \begin{array}{llll} x+26 &=& 7y & \vert -26 \\ x &=& 7y -26 & \end{array} $

  Den Term, den wir für die Variable $x$ erhalten haben, setzen wir nun in die zweite Gleichung ein:

  $ \begin{array}{llll} 2(7y -26+y) &=& 6y-12 & \\ 14y-52+2y &=& 6y-12 & \\ 16y-52 &=& 6y-12 & \vert -6y \\ 10-52 &=& -12 & \vert +52 \\ 10y &=& 40 & \vert :10\\ y &=& 4 \end{array} $

  Die Lösung für die Variable $y$ setzen wir nun in die nach $x$ umgestellte Gleichung von oben ein:

  $ \begin{array}{lll} x &=& 7\cdot 4-26 \\ x &=& 28-26 \\ x &=& 2 \end{array} $

  Somit erhalten wir folgende Lösungen:

  • $x=2$
  • $y=4$

  Genauso gehst du bei dem zweiten Beispiel vor. Du kannst hier die zweite Gleichung nach $x$ oder $y$ umstellen und in die erste einsetzen. Am Ende erhältst du folgende Lösung:

  • $x=3$
  • $y=1$

• Gib an, welche Gleichungssysteme linear sind.

  Tipps

  Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen.

  Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder sie kann zumindest in diese Form umgestellt werden.

  Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

  Lösung

  Ein lineares Gleichungssystem besteht ausschließlich aus linearen Gleichungen. Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat die allgemeine Form $Ax+By+C=0$ oder kann zumindest in diese Form umgestellt werden. Dabei sind die Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ rationale Zahlen.

  Wir erkennen, dass jede Unbekannte in einer linearen Gleichung in einfacher Potenz, d. h. mit dem Grad $1$, vorkommt. Beachte, dass man den Exponenten $1$ in der Regel nicht hinschreibt. Es gilt: $x = x^1$. Dasselbe gilt für die anderen Variablen.

  Demnach handelt es sich in Beispiel 1 und 3 und 4 um lineare Gleichungssysteme, da alle Gleichungen lineare Gleichungen sind.

  $\left| \begin{array}{rcr} 3x+2y &=& 5 \\ x-y &=& 0 \\ \end{array} \right| $

  $\left| \begin{array}{rcr} x+y &=& 10 \\ 2x-y &=& 11 \\ \end{array} \right|$

  $\left| \begin{array}{rcr} 6(x+2) &=& 4y \\ 3x-y &=& -3 \\ \end{array} \right|$

  Bei dem letzten Gleichungssystem kannst du die erste Gleichung noch vereinfachen und umstellen:

  $\begin{array}{rcll} 6(x+2) &=& 4y & \\ 6x+12 &=& 4y & \vert -4y \\ 6x-4y+12 &=& 0 & \vert -12 \\ 6x-4y &=& -12 & \\ \end{array}$

  Wir erhalten also die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variablen.

  Bei dem Beispiel 2 handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem, da einige Variablen mit dem Exponenten $2$ vorkommen:

  $\left| \begin{array}{rcr} 2x^2+y &=& 3 \\ 2x+2y^2 &=& 4 \\ \end{array} \right|$

• Erschließe die Lösungen des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Vereinfache zunächst beide Gleichungen so weit wie möglich. Nutze dann das Einsetzungsverfahren. Stelle dafür eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen um und setze den resultierenden Term in die andere Gleichung ein.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $ \left| \begin{matrix} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 \\ x &=& y \end{matrix} \right| $

  Wir vereinfachen die erste Gleichung:

  $ \begin{array}{llll} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 &\vert -x^2 \\ 2x+y &=& x+2 &\vert -x \\ x+y &=& 2 & \end{array} $

  Nun kann die Gleichung $x=y$ in die vereinfachte Gleichung eingesetzt und die Variable $y$ berechnet werden. Anschließend wird die Lösung für die Variable $y$ in die Gleichung $x=y$ eingesetzt und die Variable $x$ berechnet.

  Lösung

  Es ist das folgende Gleichungssystem gegeben:

  $ \left| \begin{matrix} 3x(x+2)+y &=& 3x^2+13x-2(y+1) \\ 5x-3y &=& 4(y-4)-2 \end{matrix} \right| $

  Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass es sich bei der ersten Gleichung um eine quadratische Gleichung handelt. Allerdings lässt sich die Gleichung vereinfachen. Nach der Vereinfachung erkennt man, dass es sich hierbei um eine lineare Gleichung handelt. Lass uns die erste Gleichung gemeinsam vereinfachen:

  $ \begin{array}{rcll} 3x(x+2)+y &=& 3x^2+13x-2(y+1) & \\ 3x^2+6x+y &=& 3x^2+13x-2y-2 & \vert -3x^2 \\ 6x+y &=& 13x-2y-2 & \vert -13x \\ -7x+y &=& -2y-2 & \vert +2y \\ -7x+3y &=& -2 & \end{array} $

  Außerdem vereinfachen wir die zweite Gleichung, um beurteilen zu können, welche der beiden Gleichungen sich für das Einsetzungsverfahren besser eignet. Wir erhalten:

  $ \begin{array}{rcll} 5x-3y &=& 4(y-4)-2 & \\ 5x-3y &=& 4y-16-2 & \\ 5x-3y &=& 4y-18 & \vert -4y \\ 5x-7y &=& -18 & \end{array} $

  Es macht keinen großen Unterschied, welche Gleichung wir nach einer der Variablen umstellen, also stellen wir im Folgenden die erste Gleichung nach $y$ um:

  $ \begin{array}{rcll} -7x+3y &=& -2 & \vert +7x \\ 3y &=& 7x-2 & \vert :3 \\ y &=& \frac 73x-\frac 23 & \end{array} $

  Diesen Term setzen wir nun in unsere zweite Gleichung ein:

  $ \begin{array}{rcll} 5x-3(\frac 73x-\frac 23) &=& 4(\frac 73x-\frac 23-4)-2 & \\ \\ 5x-7x+2 &=& 4(\frac 73x-\frac {14}3)-2 & \\ \\ -2x+2 &=& \frac {28}3x-\frac {56}3-2 & \\ \\ -2x+2 &=& \frac {28}3x-\frac {62}3 & \vert \cdot 3\\ \\ -6x+6 &=& 28x-62 & \vert -6 \\ \\ -6x &=& 28x-68 & \vert -28x \\ \\ -34x &=& -68 & \vert :(-34) \\ \\ x &=& 2 & \end{array} $

  Nun setzen wir $x=2$ in die nach $y$ umgestellte Gleichung ein:

  $ \begin{array}{rcll} y &=& \frac 73\cdot 2-\frac 23 & \\ \\ y &=& \frac {14}3-\frac 23 & \\ \\ y &=& \frac {12}3 & \\ \\ y &=& 4 \end{array} $