Drehung im Koordinatensystem – Anleitung

Drehung im Koordinatensystem – Anleitung Übung

• Beschreibe, wie eine Drehung im Koordinatensystem durchgeführt wird.

  Tipps

  Um ein Dreieck zu drehen, drehst du jeden Eckpunkt des Dreiecks.

  In diesem Bild ist der Koordinatenursprung das Drehzentrum.

  Hier ist ein weiterer Schritt der Drehung zu sehen.

  Lösung

  Hier ist das allgemeine Vorgehen bei einer Drehung um ein Drehzentrum $Z$ zu sehen.

  1. Zuerst wird jeder der Punkte mit dem Drehzentrum $Z$ verbunden.
  2. Nun wird der Drehwinkel $\varphi$ im mathematisch positiven Sinne, also gegen den Uhrzeigersinn, im Punkt $Z$ abgetragen. Dadurch entsteht eine Hilfslinie.
  3. Dann wird eine Strecke mit der gleichen Länge wie der von dem Drehzentrum zu dem Punkt entlang der Hilfslinie gezeichnet.
  4. So erhält man den Bildpunkt.
  5. Ebenso werden alle übrigen Bildpunkte gezeichnet.
  6. Zuletzt werden die Bildpunkte miteinander verbunden zu der gedrehten Figur.

• Erstelle das gedrehte Dreieck.

  Tipps

  Zunächst wird ein (jeder) Eckpunkt mit dem Drehzentrum verbunden.

  Dann wird eine Hilfslinie gezeichnet: Hierfür wird der Drehwinkel $\varphi$ im Drehzentrum abgetragen.

  Nun wird die Länge der Strecke $\overline{ZP}$ entlang der Hilfslinie abgetragen.

  So erhält man den Bildpunkt $P'$.

  Ebenso verfährst du mit jedem der anderen Punkte.

  Zuletzt verbindest du die Eckpunkte zu dem gedrehten Bilddreieck.

  Lösung

  Hier ist das letzte Bild zu sehen:

  1. Zuerst wird jeder Punkt (am Beispiel $A$) mit dem Drehzentrum verbunden.
  2. Nun wird der Drehwinkel $\varphi$ im Drehzentrum abgetragen. So erhält man eine Hilslinie.
  3. Dann wird eine Strecke der Länge $\overline{ZA}$ entlang der Hilfslinie abgetragen. So erhält man den Bildpunkt $A'$.
  4. Ebenso werden die Punkte $B$ zu $B'$ und $C$ zu $C'$ gedreht.
  5. Zuletzt werden die Bildpunkte zu dem gedrehten Dreieck verbunden.

• Entscheide, welche der Figuren die gedrehte Figur ist.

  Tipps

  Achte auch auf die Anordnung der Eckpunkte.

  Das Ausgangsdreieck und das gedrehte Dreieck sind kongruent zueinander.

  Kongruent bedeutet deckungsgleich: Dabei stimmen die Dreiecke

  • in allen drei Winkeln sowie
  • in allen drei Seiten überein.

  Lösung

  Hier ist das tatsächlich gedrehte Dreieck (grün) zu erkennen. Woran kann man dies erkennen?

  • Zum einen sind die Dreiecke kongruent, also deckungsgleich.
  • Zum anderen ändert sich die Anordnung der Eckpunkte bei Drehungen nicht.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Beachte, dass bei Drehungen Dreiecke auf kongruente Dreiecke abgebildet werden.

  Kongruente Dreiecke sind insbesondere ähnlich.

  Ähnliche Dreiecke stimmen in allen (drei!) Winkeln überein.

  Lösung

  Im Allgemeinen (bis auf Drehungen um Vielfache von $180^\circ$) werden Parallelen zur x-Achse nach der Drehung nicht mehr parallel zur x-Achse verlaufen.

  Wird jedoch eine Parallele zur x-Achse um $90^\circ$ gedreht, verläuft sie parallel zur y-Achse.

  Wenn man sich noch einmal vor Augen führt, dass Dreiecke durch Drehungen auf kongruente Dreiecke abgebildet werden, kann man einige der obigen Aussagen daraus ableiten:

  • Die Länge von Strecken ändern sich bei Drehungen nicht.
  • Ebenso ändern sich eingeschlossene Winkel nicht.

  Ein Spezialfall sind parallele Strecken. Da die Winkel sich nicht ändern, bleiben diese Strecken auch nach der Drehung parallel.

• Gib an, welche Besonderheit das gedrehte Dreieck hat.

  Tipps

  Um die gedrehte Figur zu erhalten, drehst du jeden einzelnen Eckpunkt.

  Zuletzt verbindest du alle gedrehten Punkte.

  Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen.

  Zwei Dreiecke heißen kongruent, also deckungsgleich, wenn sie zum Beispiel in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

  Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, sind sie auch ähnlich. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

  Lösung

  Hier ist die gedrehte Figur zu sehen.

  Zum einen ist (natürlich!) auch die gedrehte Figur ein Dreieck. Dies ist so, weil jeder einzelne Eckpunkt (also drei) gedreht wird. Zuletzt werden die Punkte miteinander verbunden. Es entsteht ein Dreieck.

  Da bei Drehungen die Längen von Strecken erhalten bleiben, stimmen das Ausgangsdreieck sowie das gedrehte Dreieck in ihren Seitenlängen überein.

  Die Dreiecke sind also kongruent: Drehungen sind Kongruenzabbildungen.

  Die Anordnung der Punkte bleibt bei einer Drehung übrigens erhalten.

• Bestimme den Drehwinkel.

  Tipps

  Betrachte jeweils den Punkt $A$ sowie dessen Bildpunkt $A'$.

  Die Strecken $\overline{ZA}$ sowie $\overline{ZA'}$ schließen den gesuchten Drehwinkel ein.

  Beachte: Wenn du eine zur x-(y-)Achse parallele Strecke um $90^\circ$ drehst, erhältst du eine zur y-(x-)Achse parallele Strecke.

  Beachte, dass der Drehwinkel immer im Drehzentrum gegen den Uhrzeigersinn abgetragen wird.

  Lösung

  Wenn man eine Figur um ein Drehzentrum dreht, muss immer auch ein Drehwinkel gegeben sein: Zu jedem Punkt $P$ sowie dessen Bildpunkt $P'$ gilt, dass die Strecken $\overline{ZP}$ sowie $\overline{ZP'}$ den Drehwinkel einschließen.

  Von links nach rechts sind die folgenden Drehwinkel zu erkennen:

  • $\varphi=90^\circ$: Dies kann man zum Beispiel auch daran erkennen, dass die Strecke $\overline{AC}$, welche parallel zur y-Achse verläuft, nach der Drehung $\overline{A'C'}$ parallel zur x-Achse verläuft.
  • $\varphi=135^\circ$
  • $\varphi=180^\circ$: Dies entspricht einer Punktspiegelung an dem Drehzentrum.
  • $\varphi=60^\circ$