Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel

Direkter Beweis – Erklärung und Beispiel Übung

• Beschreibe, wie du beim direkten Beweis der $pq$-Formel vorgehst.

  Tipps

  Es soll mittels eines direkten Beweises gezeigt werden, dass die Lösung der Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt berechnet werden kann:

  $x_{1|2}=-\frac p2 \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Die $pq$-Formel liefert für $\left(\frac p2\right)^2-q\lt 0$ keine Lösung.

  Lösung

  Möchten wir eine Tatsache mittels eines direkten Beweises belegen, führen wir Folgendes durch:

  • Wir gehen zunächst von einer bekannten Tatsache aus.
  • Anschließend versuchen wir, Schritt für Schritt Schlüsse zu ziehen.
  • Wir merken uns zudem alle Bedingungen, die wir beim Beweisen mitnehmen.
  • Wenn wir am Ende bei der gewünschten Aussage ankommen, haben wir diese unter den jeweiligen Bedingungen bewiesen.

  Brahmagupta möchte mittels eines direkten Beweises zeigen, dass die Lösung der Gleichung $x^2+px+q=0$ durch die $pq$-Formel gegeben ist. Hierzu muss er wie folgt vorgehen:

  • Brahmagupta geht bei seinem Beweis von der quadratischen Gleichung in Normalform aus.
  • Er muss diese zunächst umformen und anschließend eine quadratische Ergänzung durchführen.
  • Die Bedingung, die er annimmt, muss er sich merken. Diese ist, dass der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich null sein muss. Die $pq$-Formel liefert nämlich für $\left(\frac p2\right)^2-q\lt 0$ keine Lösung.

• Gib den direkten Beweis für die $pq$-Formel an.

  Tipps

  Bei einem direkten Beweis gehst du immer von einer bekannten Tatsache aus. Diese ist hier die quadratische Gleichung in Normalform.

  Das Ziel ist es, die quadratische Gleichung in Normalform so umzuformen, dass am Ende die $pq$-Formel resultiert.

  Lösung

  Im Folgenden möchten wir beweisen, dass unter bestimmten Bedingungen die $pq$-Formel die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform ist.

  Wenn wir die quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ mit der ersten binomischen Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ vergleichen, können wir diese Gleichung aufstellen:

  $x^2+px+\left(\frac p2\right)^2=\left(x+\frac p2\right)^2$

  Die Gleichung möchten wir nun so umstellen, dass ihre linke Seite mit der linken Seite der quadratischen Gleichung in Normalform, also mit $x^2+px+q$, übereinstimmt. Hierzu führen wir zunächst eine Nulladdition durch und stellen die resultierende Gleichung um:

  $ \begin{array}{lllll} x^2+px+\left(\frac p2\right)^2+q-q &=& \left(x+\frac p2\right)^2 && \vert -\left(\frac p2\right)^2 \\ x^2+px+q-q &=& \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2 && \vert +q \\ x^2+px+q &=& \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q \end{array} $

  Aufgrund der zu beweisenden Gleichung wissen wir, dass $x^2+px+q=0$ gilt. Somit können wir jetzt die rechte Seite der hergeleiteten Beziehung gleich null setzen und nach $x$ auflösen:

  $ \begin{array}{lllll} \left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q &=& 0 &&\vert +\left(\frac p2\right)^2 \\ \left(x+\frac p2\right)^2+q &=& \left(\frac p2\right)^2 &&\vert -q \\ \left(x+\frac p2\right)^2 &=& \left(\frac p2\right)^2-q && \\ \end{array} $

  Unter der Bedingung, dass $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ gilt, wird nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen:

  $ \begin{array}{lllll} x_{1|2}+\frac p2 &=& \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} && \vert -\frac p2\\ x_{1|2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} && \end{array} $

  Um den Schausteller hereinzulegen, kann Brahmagupta ihm also zwei Werte für $p$ und $q$ nennen, die die Bedingung $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ nicht erfüllen.

• Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Terme.

  Tipps

  Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie ohne Rest durch $2$ teilbar ist. Liefert die Division durch $2$ einen Rest von $1$, so ist diese Zahl ungerade.

  Jede Zahl, die mit $2$ multipliziert wird, liefert ein Produkt, das gerade ist. Multiplizierst du mit $3$, ist das Produkt durch $3$ ohne Rest teilbar. Addierst du eine gerade Zahl und $1$, erhältst du eine ungerade Summe.

  Schaue dir folgendes Beispiel für die natürliche Zahl $n$ an:

  $\underbrace{2\cdot (\underbrace{\underbrace{2\cdot (\underbrace{3n}_{\text{durch } 3 \text{ teilbar}})}_{\text{gerade Zahl}}+1}_{\text{ungerade Zahl}})}_{\text{gerade Zahl}}$

  Der gesamte Ausdruck ist somit eine gerade Zahl.

  Lösung

  Bei einem direkten Beweis ist es wichtig, Schlüsse zu folgern, die zum Ziel führen. Also schauen wir uns einige solcher Zusammenhänge an. Aber zunächst klären wir, was die einzelnen Eigenschaften aussagen.

  Gerade Zahl

  Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn sie ohne Rest durch $2$ teilbar ist. Jede Zahl, die mit der $2$ multipliziert wird, ergibt ein gerades Produkt.

  Ungerade Zahl

  Wird eine Zahl durch $2$ dividiert und hat dann einen Rest von $1$, ist diese Zahl ungerade. Addierst du eine gerade Zahl und $1$, erhältst du eine ungerade Summe.

  Zahl durch $3$ teilbar

  Eine Zahl ist genau dann durch drei teilbar, wenn die Division durch $3$ ohne Rest möglich ist. Multiplizierst du eine Zahl mit $3$, ist das Produkt auch durch $3$ ohne Rest teilbar.

  Auf unsere Terme mit der natürlichen Zahl $n$ treffen demnach die folgenden Eigenschaften zu:

  Gerade Zahlen sind:

  • $2n$
  • $2(n+1)$
  • $2(2n-1)$

  Ungerade Zahlen sind:

  • $2n+1$
  • $2(3n+3)+1$

  Zahlen, die durch $3$ teilbar sind:

  • $3n-3$
  • $3n$

• Zeige mittels eines direkten Beweises, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist.

  Tipps

  Jede Multiplikation von einer beliebigen ganzen Zahl und $2$ ergibt eine gerade Zahl.

  Addiert man eine gerade Zahl und $1$, erhält man eine ungerade Summe.

  Lösung

  Wir möchten zeigen, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist. Dabei gehen wir wie folgt vor:

  Bedingung

  $x=2n+1$ mit $n\in\mathbb{N}$

  $y=2m+1$ mit $m\in\mathbb{N}$

  Jede ganze Zahl, die mit $2$ multipliziert wird, ergibt ein gerades Produkt. Addieren wir eine gerade Zahl und $1$, erhalten wir eine ungerade Summe. Wir nehmen also in der Bedingung zwei ungerade Zahlen $x$ und $y$ an.

  Behauptung

  $2\nmid xy$

  Das Symbol $\nmid$ bedeutet, dass $2$ kein Teiler des Produkts $xy$ ist. Ist $2$ kein Teiler einer Zahl, so ist diese Zahl ungerade.

  Beweis

  Wir setzen unsere Bedingung in die Behauptung ein und formen um:

  $ \begin{array}{lll} x\cdot y &=& \left(2n+1\right)\cdot \left(2m+1\right) \\ &=& 4nm+2n+2m+1 \\ &=& 2(2nm+n+m)+1 \\ \end{array} $

  Der Term $2(2nm+n+m)$ ist eine gerade Zahl, denn die Zahl $(2nm+n+m)$ wird mit $2$ multipliziert. Somit gilt:

  $~2\mid 2(2nm+n+m)$

  Da $2(2nm+n+m)$ eine gerade Zahl ist, ist $2(2nm+n+m)+1$ eine ungerade Zahl. Demnach haben wir mittels eines direkten Beweises gezeigt, dass das Produkt $xy$ eine ungerade Zahl ist. Es gilt also:

  $2\nmid xy=2(2nm+n+m)+1$

• Bestimme, welche Koeffizienten $p$ und $q$ für die $pq$-Formel eine Lösung liefern.

  Tipps

  Die Bedingung dafür, dass die $pq$-Formel die Lösung einer quadratischen Gleichung liefert, lautet wie folgt:

  $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$

  Du kannst die gegebenen Werte für die Koeffizienten $p$ und $q$ in die Bedingung einsetzen und diese überprüfen. Ist das Resultat eine negative Zahl, so existiert keine Lösung dieser quadratischen Gleichung.

  Der Ausdruck unter der Quadratwurzel in der $pq$-Formel heißt Diskriminante $D$ der quadratischen Gleichung. Für diese gilt:

  $ \begin{array}{lllll} D &\gt& 0 &\rightarrow& \text{zwei Lösungen} \\ D &=& 0 &\rightarrow& \text{eine Lösung} \\ D &\lt& 0 &\rightarrow& \text{keine Lösung} \end{array} $

  Lösung

  Bei dem direkten Beweis der $pq$-Formel wird die Annahme getroffen, dass $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ gilt. Dieser Ausdruck steht in der $pq$-Formel unter der Quadratwurzel und heißt Diskriminante $D$ der quadratischen Gleichung. Für diese gilt:

  $ \begin{array}{lllll} D &\gt& 0 &\rightarrow& \text{zwei Lösungen} \\ D &=& 0 &\rightarrow& \text{eine Lösung} \\ D &\lt& 0 &\rightarrow& \text{keine Lösung} \end{array} $

  Wenn wir also ausgehend von den Koeffizienten $p$ und $q$ beurteilen wollen, ob die zugehörige quadratische Gleichung eine Lösung besitzt, müssen wir nur die Bedingung $\left(\frac p2\right)^2-q\geq 0$ überprüfen.

  Beispiel 1: $~p=2;~q=2$

  $\left(\frac 22\right)^2-2=1^2-2=-1\lt 0$

  Somit ist die Bedingung nicht erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt keine Lösung.

  Beispiel 2: $~p=4;~q=4$

  $\left(\frac 42\right)^2-4=2^2-4=4-4=0$

  Demnach ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

  Beispiel 3: $~p=2;~q=-2$

  $\left(\frac 22\right)^2-(-2)=1^2+2=3\gt 0$

  Somit ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

  Beispiel 4: $~p=-4;~q=4$

  $\left(\frac {-4}2\right)^2-4=(-2)^2-4=4-4=0$

  Demnach ist die Bedingung erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt eine Lösung.

  Beispiel 5: $~p=-2;~q=2$

  $\left(\frac {-2}2\right)^2-2=(-1)^2-2=-1\lt 0$

  Somit ist die Bedingung nicht erfüllt und die zugehörige quadratische Gleichung besitzt keine Lösung.

• Zeige, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist.

  Tipps

  $2\mid a+b$ bedeutet, dass die $2$ ein Teiler der Summe $a+b$ ist. Denn eine gerade Zahl kann ohne Rest durch die $2$ geteilt werden.

  Andersherum ist das Produkt von einer beliebigen Zahl und der $2$ immer gerade.

  Addiert man eine gerade Zahl und die $1$, so erhält man eine ungerade Zahl. Oder anders gesagt: $2a+1$ für $a\in\mathbb{N}$ ist eine ungerade Zahl.

  Lösung

  Wir möchten beweisen, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist. Dabei gehen wir wie folgt vor:

  Behauptung

  $2$ soll ein Teiler der Summe $a+b$ sein:

  $~ 2\mid a+b$

  Bedingung

  Diese Behauptung soll unter der Bedingung, dass $a$ und $b$ jeweils ungerade Zahlen sind, gelten. Es folgt also:

  $a=$ $2n+1$, mit $n\in\mathbb{N}$
  $b=$ $2m+1$, mit $m\in\mathbb{N}$

  Beweis

  Wir setzen unsere Behauptung in die Addition $a+b$ ein, fassen zusammen und formen zielführend um:

  $ \begin{array}{lll} a+b &=& 2n+1+2m+1 \\ &=& 2n+2m+2 \\ &=& 2\cdot(n+m+1) \end{array} $

  Da $2\mid 2\cdot(n+m+1)$ ist, ist die Behauptung $~2\mid a+b$ bewiesen. Damit wurde gezeigt: Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.