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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ergebnissen bei Bernoulli-Versuchen zu berechnen. In unserem Video erklären wir, wie sie abgeleitet wird und welche Bedeutung der Binomialkoeffizient hat. Verstehst du die Binomialverteilung? Interessiert? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Text.

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Binomialverteilung
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Grundlagen zum Thema Binomialverteilung

Binomialverteilung – Definition

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie bildet ab, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Ergebnisse eines binomialverteilten Zufallsexperiments eintreten.

Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße.
Durch sie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit denen die Ergebnisse einer Bernoulli‑Kette eintreten.

Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente.
Ein Bernoulli‑Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen. Diese werden in der Regel Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg genannt.

Bei einer Bernoulli‑Kette mit nn Versuchen (Bernoulli‑Experimente) und einer Trefferwahrscheinlichkeit pp wird die Binomialverteilung der möglichen Treffer kk durch eine Funktion Bn,p(k)\bf B_{n,p}(k) abgebildet:

Bn,p(k)=(nk)pk(1p)nkmit p[0,1];k[0,1,2,...,n]B_{n,p}(k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Es wird jedem kk (Anzahl der Treffer) eine Wahrscheinlichkeit P(X=k)P(X=k) durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:

P(X=k)=Bn;p(k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k)=B_{n;p}(k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}

Da die Anzahl der Treffer natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diskreten Verteilung. Die Zufallsgröße XX ist binomialverteilt.

Fehleralarm

Viele verwechseln die Parameter nn und pp in der Binomialverteilung. Hier ist nn die Anzahl der Versuche und pp die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs pro Versuch.

Durch die Formel von Bernoulli lassen sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Kombinationen von Treffern (k)(k) und Nichttreffern (nk)(n-k) einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen (mit gegebenen Werten für nn und pp).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich daraus ergibt, kann übersichtlich in einem Histogramm dargestellt werden. Das sieht dann beispielsweise so aus:

Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße XX
Binomialverteilung Histogramm

Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli‑Kette mit n=10n=10 Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit p=0,2p=0{,}2.

Bernoulli‑Experiment

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Bernoulli‑Kette an. Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente (Bernoulli‑Versuche). Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer und Nichttreffer, manchmal auch Erfolg und Misserfolg genannt.

Als Bernoulli‑Experimente bezeichnet man Zufallsexperimente, bei denen es für jeden Einzelversuch genau zwei mögliche Ausgänge gibt, die sich gegenseitig ausschließen.
Im Allgemeinen nennt man diese möglichen Ausgänge Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg.

Beispiele für solche Experimente sind beispielsweise der Münzwurf (Zahl, Kopf), das Loseziehen (Gewinn, Niete) oder auch das Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne (erwünschte Kugel, unerwünschte Kugel).

Ein Bernoulli‑Experiment ist also ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen.
Wird ein solches Experiment mehrmals hintereinander unter den gleichen Voraussetzungen durchgeführt, spricht man von einer Bernoulli‑Kette. Es handelt sich hierbei um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Mit unter den gleichen Voraussetzungen ist gemeint, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Nichttreffer von Versuch zu Versuch nicht ändern. Das heißt, die einzelnen Bernoulli‑Experimente sind voneinander unabhängig.

Wusstest du schon?
Durch die Binomialverteilung kann man zum Beispiel abschätzen, wie oft eine Münze bei 100 Würfen auf Kopf fällt. Wenn du also mal ein Münzspiel spielst, kannst du deine Gewinnchancen mathematisch berechnen und deine Freunde beeindrucken!

Binomialverteilung – Herleitung

Für die Herleitung der Binomialverteilung sehen wir uns an, wie man zur Formel von Bernoulli kommt.
Bei einem einzelnen Bernoulli‑Experiment können wir die beiden möglichen Ergebnisse Treffer und Nichttreffer mit TT bzw. Tˉ\bar T bezeichnen. Es gilt:

  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird durch P(T)=pP(T)=p beschrieben.
    Der Wert pp liegt immer zwischen 00 und 11.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Nichttreffer ist P(Tˉ)=1pP(\bar T)=1-p.

Da Treffer und Nichttreffer die beiden einzigen möglichen Ergebnisse des Bernoulli‑Experiments sind, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten addiert den Wert 11 ergeben.

Schlaue Idee
Wenn du in einem Sportteam bist, schätze die Wahrscheinlichkeit, dass dein Team eine bestimmte Anzahl an Treffern erzielt. Die Binomialverteilung hilft dir dabei, Vorhersagen zu treffen und die Leistungsfähigkeit des Teams besser einzuschätzen.

Eine Bernoulli‑Kette kann als mehrstufiges Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Das sieht, ganz allgemein, so aus:

Baumdiagramm einer Bernoulli‑Kette der Länge 33
Baumdiagramm Bernoulli-Kette

Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten P(X=k)P(X=k) der folgenden Ereignisse mit kk Treffern berechnet werden:

  • Ereignis AA: „Es gibt drei Treffer.“: P(A)=P(X=3)=p3P(A)=P(X=3)=p^3
  • Ereignis BB: „Es gibt zwei Treffer.“: P(B)=P(X=2)=3p2(1p)1P(B)=P(X=2)= {\bf{3}} \cdot p^2 \cdot (1-p)^1,
    denn es gibt insgesamt drei Pfade, auf denen zwei Treffer liegen.
  • Ereignis CC: „Es gibt einen Treffer.“: P(C)=P(X=1)=3p1(1p)2P(C)=P(X=1)={\bf{3}} \cdot p^1 \cdot (1-p)^2,
    denn es gibt auch in diesem Fall drei Pfade, die einen Treffer beinhalten.
  • Ereignis DD: „Es gibt keinen Treffer.“: P(D)=P(X=0)=p0(1p)3P(D)=P(X=0)= p^0 \cdot (1-p)^3

Wie du siehst, kann aus den jeweiligen Termen die Anzahl der Treffer sowie der Nichttreffer abgelesen werden, denn diese stehen jeweils im Exponenten des entsprechenden Faktors pp bzw. (1p)(1-p).
Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für kk Treffer entlang eines einzelnen Pfades, müssen die Ergebnisse entlang eines Pfades nacheinander multipliziert werden. Treffer und Nichttreffer berücksichtigen wir mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten pp und (1p)(1-p).

Mit den Regeln der Kombinatorik können wir außerdem bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, beispielsweise einen oder zwei Treffer zu erzielen. Für diese Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet:

(nk)\displaystyle \binom{n}{k}

Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl aller möglichen Pfade der Länge nn an, die kk Treffer enthalten.
Aus den Faktoren und dem Binomialkoeffizienten setzt sich nun die Formel von Bernoulli zusammen:

P(X=k)=Bn;p(k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k)=B_{n;p}(k)=\displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

Dabei gilt:

  • XX ist die Zufallsgröße. Der Wert der Zufallsgröße ist gleich der Anzahl der Treffer kk.
  • kk steht für die Anzahl der Treffer. Es handelt sich um eine natürliche Zahl.
  • nn steht für die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Versuche.
  • pp ist die Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch das Ergebnis Treffer zu erzielen.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer/Erfolg (T)\left(T \right) ist also gegeben als pp, die Wahrscheinlichkeit für einen Nichtreffer/Misserfolg (Tˉ)\left(\bar T \right) ist dementsprechend (1p)(1-p).
Führt man das Experiment, zum Beispiel den Münzwurf, nn‑mal aus, erhält man als Ergebnis ein n\bf n-Tupel, in dem die einzelnen Ergebnisse aufgezählt sind. Das könnte beispielsweise so aussehen:

n-Tupel:(T, Tˉ, T, Tˉ, ..., T)n \text{-Tupel:} \qquad \left( \, T, ~\bar T, ~T, ~\bar T, ~..., ~T \, \right)

Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes nn-Tupel, also eine bestimmte Anzahl von Treffern/Erfolgen (und Nichttreffern/Misserfolgen) zu erhalten, nennen wir P(eki,n){P(e_{k_i,n})}.
Es gilt:

P(eki,n)Wahrscheinlichkeit fu¨r Tupel=pkk A¨ste mit Erfolg(1p)nk(nk) A¨ste mit Misserfolg\underbrace{P(e_{k_i,n})}_{\text{Wahrscheinlichkeit für Tupel}} = \underbrace{p^{k}}_{k~ \text{Äste mit Erfolg}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{(n-k) ~ \text{Äste mit Misserfolg}}

Allerdings spielt bei einer Bernoulli‑Kette die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisse keine Rolle. Wenn wir beispielsweise bei zwei Würfen einmal Erfolg erreichen wollen, ist es egal ob wir Erfolg, Misserfolg (T, Tˉ)\left( T, ~\bar T \right) werfen oder Misserfolg, Erfolg (Tˉ, T)\left( \bar T, ~T \right). Deshalb müssen alle möglichen Pfade zusammengezählt werden, in denen genau kk Erfolge vorkommen. Die Anzahl an Möglichkeiten erhalten wir durch den Binomialkoeffizienten, der unsere Formel vervollständigt:

P(X=k)=(nk)Binomialkoeffizientpk(1p)nkP(X=k) = \underbrace{\displaystyle \binom{n}{k}}_{\text{Binomialkoeffizient}} \cdot \qquad p^{k} \qquad \cdot \qquad (1-p)^{n-k}

So erhalten wir genau die Wahrscheinlichkeit dafür, bei nn Würfen kk Erfolge zu erzielen, wobei die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist.

Die Binomialfunktion P(X=k)P(X=k) können wir nutzen, um die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte zu berechnen, die die Zufallsgröße XX annehmen kann.
Diese Wahrscheinlichkeiten bilden zusammen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung – das ist die Binomialverteilung Bn;p(k)B_{n;p}(k) der binomialverteilten Zufallsgröße.

Binomialverteilung – Formel

Die Formel, mit der die Binomialverteilung Bn,p(k)B_{n,p}(k) einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet werden kann, lautet:

Bn,p(k)=P(X=k)=(nk)pk(1p)nkB_{n,p}(k) = P(X=k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}
mit p[0,1];k[0,1,2,...,n]\qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]

Die Binomialverteilung Bn,p(k)B_{n,p}(k) bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k)P(X=k) einer binomialverteilten Zufallsgröße XX ab. Durch sie können die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Anzahlen von Treffern kk berechnet werden.
Dafür muss die Anzahl nn der Versuche und die Wahrscheinlichkeit pp für das Ergebnis Treffer eines einzelnen Versuchs gegeben bzw. bekannt sein.

  • nn ist die Anzahl der Versuche – also eine natürliche Zahl.
  • kk ist die Anzahl der erzielten Treffer – also ebenfalls eine natürliche Zahl.
  • nkn-k ist die Anzahl der Nichtreffer.
  • pp ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch. Sie liegt zwischen 00 und 11.
  • (1p)(1-p) ist die Wahrscheinlichkeit, einen Nichttreffer bei einem einzelnen Versuch zu erzielen.
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Binomialverteilung – Eigenschaften

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße lassen sich wichtige Kenngrößen wie der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung relativ einfach berechnen. Das sehen wir uns im Folgenden an.

Binomialverteilung – Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X)E(X) oder μ\mu einer binomialverteilten Zufallsgröße kann mit folgender Formel berechnet werden:

μ=np\mu = n \cdot p

Dabei ist nn die Anzahl der Versuche und pp ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

Binomialverteilung – Varianz

Die Varianz V(X)V(X) oder σ2\sigma^2 einer binomialverteilten Zufallsgröße kann wie folgt berechnet werden:

σ2=μ(1p)=np(1p)\sigma^2 = \mu \cdot (1-p) = n \cdot p \cdot (1-p)

Auch hier ist nn die Anzahl der Versuche und pp ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

Binomialverteilung – Standardabweichung

Die Standardabweichung σ\sigma ist die Wurzel aus der Varianz. Also gilt:

σ=μ(1p)=np(1p)\sigma=\sqrt{\mu\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.

Neben diesen Kenngrößen sagen auch schon die Werte der Parameter pp und nn einiges über die Binomialverteilung aus:

  • Die Binomialverteilung ist symmetrisch für p=0,5p=0{,}5. Der Erwartungswert liegt dann genau in der Mitte der Verteilung bzw. des Histogramms.
  • Der Erwartungswert verschiebt sich in Abhängigkeit der Trefferwahrscheinlichkeit pp:
    Für 0p<0,50 \leq p < 0{,}5 liegt der Erwartungswert weiter links und für 0,5<p10{,}5 < p \leq 1 weiter rechts.
  • Für größere nn wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer flacher. Die Binomialverteilung verändert sich also auch mit der Länge nn der Bernoulli‑Kette (der Anzahl der Versuche).
  • Für sehr große nn oder wenn nn gegen \infty geht, nimmt die Binomialverteilung die Form der Normalverteilung an.

Kumulierte Binomialverteilung

Um kumulierte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird die kumulierte Binomialverteilung genutzt.
Immer wenn die Problemstellung lautet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens kk Treffer erzielt werden, brauchen wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, wir müssen alle Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse 00 Treffer, 11 Treffer, 22 Treffer, 33 Treffer usw. bis kk Treffer addieren. Also gilt:

P(Xk)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)++P(X=k)P(X \leq k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=k)

Mit einem Taschenrechner ist es in der Regel nicht nötig, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen zu berechnen. Es kann direkt die Wahrscheinlichkeit P(Xk)P(X \leq k) mit einem gegebenen kk eingetippt und berechnet werden, sofern nn und pp bekannt sind.
Auch in den meisten stochastischen Tabellen und Tafelwerken sind neben den Werten der Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen auch die Werte der entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von nn, pp und kk aufgelistet.

Binomialverteilung berechnen

Wir gehen nun anhand eines Beispiels durch, wie man mit der Binomialverteilung rechnet und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen binomialverteilter Zufallsgrößen berechnet.

Binomialverteilung – Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, eine rote und vier blaue. Es wird 1010 mal eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.

Urnenmodell: Urne mit einer roten und vier blauen Kugeln, Ziehen mit Zurücklegen
Urnenmodell mit fünf Kugeln

Die Zufallsgröße XX beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln (Treffer) bei 1010 Versuchen. Da es pro Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse gibt (rot und nicht rot) und durch das Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße. Es gilt p=15=0,2p=\frac{1}{5}=0{,}2 und n=10n=10.

Folgende Kenngrößen können wir berechnen:

  • Der Erwartungswert ist μ=np=100,2=2\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}2 = 2
  • Die Standardabweichung ist σ=μ(1p)=100,20,8=1,61,26\sigma=\sqrt{\mu\cdot (1-p)}=\sqrt{10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26

Für jede mögliche Trefferzahl kk zwischen 00 und 1010 können wir die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X=k)P(X=k) berechnen. Wir tun dies einmal beispielhaft für k=3k = 3 Treffer:

Bn,p(k)=B10;0,2(k)=P(X=k)=(10k)0,2k(10,2)10kB_{n,p}(k) = B_{10;0{,}2}(k) = P(X=k) = \displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0{,}2^{k} \cdot (1-0{,}2)^{10-k}

P(X=3)=(103)0,230,870,20P(X=3) = \displaystyle \binom{10}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{7} \approx 0{,}20

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Trefferzahlen berechnen, erhalten wir folgende Binomialverteilung:

Histogramm der binomialverteilten Zufallsgröße XX
Binomialverteilung Histogramm

Hier können wir den Erwartungswert gut erkennen, es ist der höchste Balken.
Das Histogramm ist nicht symmetrisch, der Erwartungswert μ\mu liegt relativ weit links bei k=2k = 2, weil 0p=0,2<0,50 \leq p = 0{,}2 < 0{,}5 ist.

Um die Wahrscheinlichkeit für höchstens 33 Treffer zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für keinen (P(X=0))\left( P(X=0) \right), einen (P(X=1))\left( P(X=1) \right), zwei (P(X=0))\left( P(X=0) \right) und drei (P(X=0))\left( P(X=0) \right) Treffer addieren. Wir berechnen also:

P(X=0)=(100)0,200,8100,11P(X=0) = \displaystyle \binom{10}{0} \cdot 0{,}2^{0} \cdot 0{,}8^{10} \approx 0{,}11

P(X=1)=(101)0,210,890,27P(X=1) = \displaystyle \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^{1} \cdot 0{,}8^{9} \approx 0{,}27

P(X=2)=(102)0,220,880,30P(X=2) = \displaystyle \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^{2} \cdot 0{,}8^{8} \approx 0{,}30

Damit erhalten wir:

P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,88P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0{,}88

Damit ist auch klar, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens 44 Treffer P(X4)=0,12P(X\geq 4) = 0{,}12 betragen muss. Denn diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus und müssen zusammen den Wert 11 ergeben, da sie alle möglichen Ergebnisse bzw. Trefferzahlen einschließen.

Negative Binomialverteilung

Die Binomialverteilung wirkt auf den ersten Blick recht theoretisch, sie ist aber für sehr viele statistische Prozesse von großer Bedeutung. Daneben werden auch die negative Binomialverteilung (die sogenannte Pascal‑Verteilung) und die Poisson‑Verteilung vielfach praktisch angewendet. Zum Beispiel nutzen Versicherungen diese Verteilungen, um Schadenzahlverteilungen aufzustellen. So können verschiedene Risiken eingeschätzt und ihre Kosten berechnet werden.

Binomialverteilung – Aufgaben

Ausblick – das lernst du nach Binomialverteilung

Vertiefe dein Verständnis für die Binomialverteilung mit den Themen Erwartungswert und Standardabweichung und kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung. Gucke dir außerdem an, wie die unterschiedlichen Parameter wie nn, kk oder pp bei einer Binomialverteilung bestimmt werden.

Zusammenfassung – Binomialverteilung

  • Die Binomialverteilung bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße ab.
  • Eine Reihe von Zufallsversuchen kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße abgebildet werden, wenn jeder Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse hat (die sich gegenseitig ausschließen) – wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Versuch gleich bleibt.
  • Mit der Formel für die Binomialverteilung Bn,p(k)B_{n,p}(k) lässt sich berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit P(X=k)P(X=k) eine bestimmte Anzahl an Treffern kk bei einer gegebenen Anzahl von Versuchen nn und einer Trefferwahrscheinlichkeit pp (pro Versuch) eintritt:
    P(X=k)=Bn,p(k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = B_{n,p}(k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}
    mit p[0,1];k[0,1,2,...,n]\qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]
  • Ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit gesucht, müssen einzelne Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen addiert werden:
    P(Xk)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)++P(X=k)P(X \leq k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=k)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung

Transkript Binomialverteilung

"Binomialverteilung" was für ein Wort! Kann man ja mal so im Gespräch fallen lassen, einfach um Eindruck zu schinden! "Meine Erkenntnisse beruhen übrigens auf der BINOMIALVERTEILUNG." Da widerspricht dir keiner mehr. Sehr gut! Dann müssen wir jetzt nur noch selbst herausfinden, was es mit dieser "Binomialverteilung" auf sich hat. Um das zu verstehen, solltest du wissen, was ein Bernoulli-Experiment beziehungsweise eine Bernoulli-Kette ist und wie die Bernoulli-Formel lautet. Falls das nicht der Fall ist, schau dir das Thema am besten nochmal an. Hier kommt aber auch die Kurzfassung: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei verschiedenen Ausgängen unterscheiden. "Treffer" oder "kein Treffer". Das klassische Beispiel hierzu ist der Münzwurf. Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment (wie zum Beispiel eben den Münzwurf) MEHRFACH hintereinander aus, ergibt das eine Bernoulli-Kette. Und wenn wir dann die Wahrscheinlichkeit für "GENAU k Treffer" bei einer Bernoulli-Kette der "Länge n" mit der "Trefferwahrscheinlichkeit p" berechnen möchten, machen wir das mit DIESER Formel, der Bernoulli-Formel. Jetzt könnte man ja mal hingehen und die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl an Treffern zu einer gegebenen Bernoulli-Kette ausrechnen. Das läuft dann darauf hinaus, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Bernoulli-Kette aufzustellen. Und wie die dann aussieht, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Eine Bernoulli-Kette ist eine BINOMIALVERTEILTE Zufallsgröße. Das "bi" in binomial steht für die ZWEI möglichen Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße nennen wir daher "BINOMIALverteilung". Sie ordnet jeder möglichen "Trefferanzahl k", die minimal bei Null und maximal bei n liegt, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau "X gleich k" Treffer gibt. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung auch, ist die Binomialverteilung somit eine Zuordnung beziehungsweise eine Funktion. Und praktischerweise kennen wir sogar die Funktionsgleichung! Sie ist durch die Bernoulli-Formel gegeben und wird mit einem großen B sowie den Parametern n und p angegeben. Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die "Trefferanzahl k", der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Genug Theorie! Jetzt rechnen wir mal ganz konkret nach! Wir werfen eine Münze dreimal hintereinander. Wir haben also eine Bernoulli-Kette der Länge "n gleich drei". Die Trefferwahrscheinlichkeit kennen wir ebenfalls. Sie liegt bei "p gleich 0,5". Das sind dann auch schon alle Informationen, die wir brauchen, um uns die Binomialverteilung dieser Bernoulli-Kette anzuschauen. Weil wir das Zufallsexperiment insgesamt dreimal ausführen, können wir entweder null, einen, zwei oder drei Treffer landen. Die Wahrscheinlichkeiten für diese vier verschiedenen Trefferzahlen können wir jetzt mit Hilfe der Funktionsgleichung (sprich der Bernoulli-Formel) berechnen. Wir setzen dafür einfach die entsprechenden Werte ein. Zunächst die Werte für n und p, denn die sind als Parameter immer gleich. Dann setzen wir "k gleich null" und anschließend auch die anderen möglichen Trefferzahlen in unsere Formel ein. Bei diesen Rechnungen kann uns unser Taschenrechner einiges an Arbeit sparen! Der klassische Befehl, der auf den meisten Modellen verfügbar ist, lautet "binomPdf". Wir müssen auch im Taschenrechner die entsprechenden Werte für n, p und k einsetzen und der spuckt uns dann direkt das Ergebnis aus! Haben wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ausgerechnet, steht unsere Binomialverteilung. Wir können sie, wie hier, in Form einer Tabelle angeben. Sehr häufig wird sie aber auch in Form eines Schaubildes, genauer gesagt in Form eines Histogramms dargestellt. Die Höhe jeder Säule steht hier für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt. Die Darstellung von Binomialverteilungen durch Histogramme ist sehr anschaulich. Daher werden dir diese Schaubilder bei dem Thema immer wieder über den Weg laufen. Hier siehst du zum Beispiel das entsprechende Histogramm für einen vierfachen, einen zehnfachen und einen zwanzigfachen Münzwurf. Wenn wir uns die Histogramme genau anschauen, fällt auf, dass sie alle die gleiche Grundform haben. Außerdem fällt auf, dass alle Histogramme symmetrisch sind. Die Symmetrie kommt durch die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit zustande, die bei allen Schaubildern fünfzig Prozent beträgt. Ändern wir die Trefferwahrscheinlichkeit zum Beispiel auf 0,75 hat das natürlich auch eine Auswirkung auf die resultierenden Schaubilder, die dann SO aussehen. An den Histogrammen lässt sich auch eine weitere wichtige Kenngröße der Binomialverteilung prima abschätzen: Der Erwartungswert. Den schauen wir uns aber lieber beim nächsten Mal an und fassen erstmal das Wichtigste zur Binomialverteilung auf einen Blick zusammen. Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Bei dieser Zufallsgröße werden der Anzahl an Treffern, die bei "n" Versuchsdurchführungen erzielt werden können, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir können die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte "Trefferanzahl k" mit der Bernoulli-Formel berechnen. Dabei hilft uns dann im Normalfall der Taschenrechner, genauer gesagt der Befehl "binomPdf". Eine Binomialverteilung wird außerdem häufig in Form eines Histogramms dargestellt. An der Höhe der einzelnen Säulen lassen sich hier die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Trefferzahlen ablesen. Summieren wir all diese Wahrscheinlichkeiten auf, erhalten wir (wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung) genau eins beziehungsweise einhundert Prozent. So, jetzt haben wir diesen unglaublich intelligent klingenden Begriff mit ein bisschen Leben gefüllt und DU kannst bei der nächsten Gelegenheit mal testen, wie gut er als Gesprächsstoff taugt. Viel Spaß dabei!

Binomialverteilung Übung

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