Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ergebnissen bei Bernoulli-Versuchen zu berechnen. In unserem Video erklären wir, wie sie abgeleitet wird und welche Bedeutung der Binomialkoeffizient hat. Verstehst du die Binomialverteilung? Interessiert? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Text.
- Binomialverteilung – Definition
- Binomialverteilung – Herleitung
- Binomialverteilung – Eigenschaften
- Binomialverteilung – Erwartungswert
- Binomialverteilung – Varianz
- Binomialverteilung – Standardabweichung
- Kumulierte Binomialverteilung
- Binomialverteilung berechnen
- Binomialverteilung – Aufgaben
- Ausblick – das lernst du nach Binomialverteilung
- Zusammenfassung – Binomialverteilung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung
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Grundlagen zum Thema Binomialverteilung
Binomialverteilung – Definition
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie bildet ab, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Ergebnisse eines binomialverteilten Zufallsexperiments eintreten.
Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße.
Durch sie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit denen die Ergebnisse einer Bernoulli‑Kette eintreten.
Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente.
Ein Bernoulli‑Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen. Diese werden in der Regel Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg genannt.
Bei einer Bernoulli‑Kette mit Versuchen (Bernoulli‑Experimente) und einer Trefferwahrscheinlichkeit wird die Binomialverteilung der möglichen Treffer durch eine Funktion abgebildet:
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Es wird jedem (Anzahl der Treffer) eine Wahrscheinlichkeit durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:
Da die Anzahl der Treffer natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diskreten Verteilung. Die Zufallsgröße ist binomialverteilt.
Fehleralarm
Viele verwechseln die Parameter und in der Binomialverteilung. Hier ist die Anzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs pro Versuch.
Durch die Formel von Bernoulli lassen sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Kombinationen von Treffern und Nichttreffern einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen (mit gegebenen Werten für und ).
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich daraus ergibt, kann übersichtlich in einem Histogramm dargestellt werden. Das sieht dann beispielsweise so aus:
Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße |
---|
![]() |
Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli‑Kette mit Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit .
Bernoulli‑Experiment
Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Bernoulli‑Kette an. Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente (Bernoulli‑Versuche). Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer und Nichttreffer, manchmal auch Erfolg und Misserfolg genannt.
Als Bernoulli‑Experimente bezeichnet man Zufallsexperimente, bei denen es für jeden Einzelversuch genau zwei mögliche Ausgänge gibt, die sich gegenseitig ausschließen.
Im Allgemeinen nennt man diese möglichen Ausgänge Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg.
Beispiele für solche Experimente sind beispielsweise der Münzwurf (Zahl, Kopf), das Loseziehen (Gewinn, Niete) oder auch das Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne (erwünschte Kugel, unerwünschte Kugel).
Ein Bernoulli‑Experiment ist also ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen.
Wird ein solches Experiment mehrmals hintereinander unter den gleichen Voraussetzungen durchgeführt, spricht man von einer Bernoulli‑Kette. Es handelt sich hierbei um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Mit unter den gleichen Voraussetzungen ist gemeint, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Nichttreffer von Versuch zu Versuch nicht ändern. Das heißt, die einzelnen Bernoulli‑Experimente sind voneinander unabhängig.
Wusstest du schon?
Durch die Binomialverteilung kann man zum Beispiel abschätzen, wie oft eine Münze bei 100 Würfen auf Kopf fällt. Wenn du also mal ein Münzspiel spielst, kannst du deine Gewinnchancen mathematisch berechnen und deine Freunde beeindrucken!
Binomialverteilung – Herleitung
Für die Herleitung der Binomialverteilung sehen wir uns an, wie man zur Formel von Bernoulli kommt.
Bei einem einzelnen Bernoulli‑Experiment können wir die beiden möglichen Ergebnisse Treffer und Nichttreffer mit bzw. bezeichnen. Es gilt:
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird durch beschrieben.
Der Wert liegt immer zwischen und . - Die Wahrscheinlichkeit für einen Nichttreffer ist .
Da Treffer und Nichttreffer die beiden einzigen möglichen Ergebnisse des Bernoulli‑Experiments sind, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten addiert den Wert ergeben.
Schlaue Idee
Wenn du in einem Sportteam bist, schätze die Wahrscheinlichkeit, dass dein Team eine bestimmte Anzahl an Treffern erzielt. Die Binomialverteilung hilft dir dabei, Vorhersagen zu treffen und die Leistungsfähigkeit des Teams besser einzuschätzen.
Eine Bernoulli‑Kette kann als mehrstufiges Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Das sieht, ganz allgemein, so aus:
Baumdiagramm einer Bernoulli‑Kette der Länge |
---|
![]() |
Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse mit Treffern berechnet werden:
- Ereignis : „Es gibt drei Treffer.“:
- Ereignis : „Es gibt zwei Treffer.“: ,
denn es gibt insgesamt drei Pfade, auf denen zwei Treffer liegen. - Ereignis : „Es gibt einen Treffer.“: ,
denn es gibt auch in diesem Fall drei Pfade, die einen Treffer beinhalten. - Ereignis : „Es gibt keinen Treffer.“:
Wie du siehst, kann aus den jeweiligen Termen die Anzahl der Treffer sowie der Nichttreffer abgelesen werden, denn diese stehen jeweils im Exponenten des entsprechenden Faktors bzw. .
Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für Treffer entlang eines einzelnen Pfades, müssen die Ergebnisse entlang eines Pfades nacheinander multipliziert werden. Treffer und Nichttreffer berücksichtigen wir mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten und .
Mit den Regeln der Kombinatorik können wir außerdem bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, beispielsweise einen oder zwei Treffer zu erzielen. Für diese Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet:
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl aller möglichen Pfade der Länge an, die Treffer enthalten.
Aus den Faktoren und dem Binomialkoeffizienten setzt sich nun die Formel von Bernoulli zusammen:
Dabei gilt:
- ist die Zufallsgröße. Der Wert der Zufallsgröße ist gleich der Anzahl der Treffer .
- steht für die Anzahl der Treffer. Es handelt sich um eine natürliche Zahl.
- steht für die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Versuche.
- ist die Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch das Ergebnis Treffer zu erzielen.
Die Wahrscheinlichkeit für einen
Führt man das Experiment, zum Beispiel den Münzwurf, ‑mal aus, erhält man als Ergebnis ein -Tupel, in dem die einzelnen Ergebnisse aufgezählt sind. Das könnte beispielsweise so aussehen:
Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes -Tupel, also eine bestimmte Anzahl von Treffern/Erfolgen (und Nichttreffern/Misserfolgen) zu erhalten, nennen wir .
Es gilt:
Allerdings spielt bei einer Bernoulli‑Kette die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisse keine Rolle. Wenn wir beispielsweise bei zwei Würfen einmal Erfolg erreichen wollen, ist es egal ob wir Erfolg, Misserfolg werfen oder Misserfolg, Erfolg . Deshalb müssen alle möglichen Pfade zusammengezählt werden, in denen genau Erfolge vorkommen. Die Anzahl an Möglichkeiten erhalten wir durch den Binomialkoeffizienten, der unsere Formel vervollständigt:
So erhalten wir genau die Wahrscheinlichkeit dafür, bei Würfen Erfolge zu erzielen, wobei die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist.
Die Binomialfunktion können wir nutzen, um die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte zu berechnen, die die Zufallsgröße annehmen kann.
Diese Wahrscheinlichkeiten bilden zusammen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung – das ist die Binomialverteilung der binomialverteilten Zufallsgröße.
Binomialverteilung – Formel
Die Formel, mit der die Binomialverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet werden kann, lautet:
Die Binomialverteilung bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße ab. Durch sie können die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Anzahlen von Treffern berechnet werden.
Dafür muss die Anzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Treffer eines einzelnen Versuchs gegeben bzw. bekannt sein.
- ist die Anzahl der Versuche – also eine natürliche Zahl.
- ist die Anzahl der erzielten Treffer – also ebenfalls eine natürliche Zahl.
- ist die Anzahl der Nichtreffer.
- ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch. Sie liegt zwischen und .
- ist die Wahrscheinlichkeit, einen Nichttreffer bei einem einzelnen Versuch zu erzielen.
Binomialverteilung – Eigenschaften
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße lassen sich wichtige Kenngrößen wie der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung relativ einfach berechnen. Das sehen wir uns im Folgenden an.
Binomialverteilung – Erwartungswert
Der Erwartungswert oder einer binomialverteilten Zufallsgröße kann mit folgender Formel berechnet werden:
Dabei ist die Anzahl der Versuche und ist die Trefferwahrscheinlichkeit.
Binomialverteilung – Varianz
Die Varianz oder einer binomialverteilten Zufallsgröße kann wie folgt berechnet werden:
Auch hier ist die Anzahl der Versuche und ist die Trefferwahrscheinlichkeit.
Binomialverteilung – Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Also gilt:
.
Neben diesen Kenngrößen sagen auch schon die Werte der Parameter und einiges über die Binomialverteilung aus:
- Die Binomialverteilung ist symmetrisch für . Der Erwartungswert liegt dann genau in der Mitte der Verteilung bzw. des Histogramms.
- Der Erwartungswert verschiebt sich in Abhängigkeit der Trefferwahrscheinlichkeit :
Für liegt der Erwartungswert weiter links und für weiter rechts. - Für größere wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer flacher. Die Binomialverteilung verändert sich also auch mit der Länge der Bernoulli‑Kette (der Anzahl der Versuche).
- Für sehr große oder wenn gegen geht, nimmt die Binomialverteilung die Form der Normalverteilung an.
Kumulierte Binomialverteilung
Um kumulierte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird die kumulierte Binomialverteilung genutzt.
Immer wenn die Problemstellung lautet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens Treffer erzielt werden, brauchen wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, wir müssen alle Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
Mit einem Taschenrechner ist es in der Regel nicht nötig, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen zu berechnen. Es kann direkt die Wahrscheinlichkeit mit einem gegebenen eingetippt und berechnet werden, sofern und bekannt sind.
Auch in den meisten stochastischen Tabellen und Tafelwerken sind neben den Werten der Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen auch die Werte der entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von , und aufgelistet.
Binomialverteilung berechnen
Wir gehen nun anhand eines Beispiels durch, wie man mit der Binomialverteilung rechnet und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen binomialverteilter Zufallsgrößen berechnet.
Binomialverteilung – Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen
In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, eine rote und vier blaue. Es wird mal eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.
Urnenmodell: Urne mit einer roten und vier blauen Kugeln, Ziehen mit Zurücklegen |
---|
![]() |
Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln (Treffer) bei Versuchen. Da es pro Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse gibt (rot und nicht rot) und durch das Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße. Es gilt und .
Folgende Kenngrößen können wir berechnen:
- Der Erwartungswert ist
- Die Standardabweichung ist
Für jede mögliche Trefferzahl zwischen und können wir die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen. Wir tun dies einmal beispielhaft für Treffer:
Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Trefferzahlen berechnen, erhalten wir folgende Binomialverteilung:
Histogramm der binomialverteilten Zufallsgröße |
---|
![]() |
Hier können wir den Erwartungswert gut erkennen, es ist der höchste Balken.
Das Histogramm ist nicht symmetrisch, der Erwartungswert liegt relativ weit links bei , weil ist.
Um die Wahrscheinlichkeit für höchstens Treffer zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für keinen , einen , zwei und drei Treffer addieren. Wir berechnen also:
Damit erhalten wir:
Damit ist auch klar, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens Treffer betragen muss. Denn diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus und müssen zusammen den Wert ergeben, da sie alle möglichen Ergebnisse bzw. Trefferzahlen einschließen.
Negative Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wirkt auf den ersten Blick recht theoretisch, sie ist aber für sehr viele statistische Prozesse von großer Bedeutung. Daneben werden auch die negative Binomialverteilung (die sogenannte Pascal‑Verteilung) und die Poisson‑Verteilung vielfach praktisch angewendet. Zum Beispiel nutzen Versicherungen diese Verteilungen, um Schadenzahlverteilungen aufzustellen. So können verschiedene Risiken eingeschätzt und ihre Kosten berechnet werden.
Binomialverteilung – Aufgaben
Ausblick – das lernst du nach Binomialverteilung
Vertiefe dein Verständnis für die Binomialverteilung mit den Themen Erwartungswert und Standardabweichung und kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung. Gucke dir außerdem an, wie die unterschiedlichen Parameter wie , oder bei einer Binomialverteilung bestimmt werden.
Zusammenfassung – Binomialverteilung
- Die Binomialverteilung bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße ab.
- Eine Reihe von Zufallsversuchen kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße abgebildet werden, wenn jeder Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse hat (die sich gegenseitig ausschließen) – wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Versuch gleich bleibt.
- Mit der Formel für die Binomialverteilung lässt sich berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Anzahl an Treffern bei einer gegebenen Anzahl von Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit (pro Versuch) eintritt:
- Ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit gesucht, müssen einzelne Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen addiert werden:
Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung
Transkript Binomialverteilung
"Binomialverteilung" was für ein Wort! Kann man ja mal so im Gespräch fallen lassen, einfach um Eindruck zu schinden! "Meine Erkenntnisse beruhen übrigens auf der BINOMIALVERTEILUNG." Da widerspricht dir keiner mehr. Sehr gut! Dann müssen wir jetzt nur noch selbst herausfinden, was es mit dieser "Binomialverteilung" auf sich hat. Um das zu verstehen, solltest du wissen, was ein Bernoulli-Experiment beziehungsweise eine Bernoulli-Kette ist und wie die Bernoulli-Formel lautet. Falls das nicht der Fall ist, schau dir das Thema am besten nochmal an. Hier kommt aber auch die Kurzfassung: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei verschiedenen Ausgängen unterscheiden. "Treffer" oder "kein Treffer". Das klassische Beispiel hierzu ist der Münzwurf. Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment (wie zum Beispiel eben den Münzwurf) MEHRFACH hintereinander aus, ergibt das eine Bernoulli-Kette. Und wenn wir dann die Wahrscheinlichkeit für "GENAU k Treffer" bei einer Bernoulli-Kette der "Länge n" mit der "Trefferwahrscheinlichkeit p" berechnen möchten, machen wir das mit DIESER Formel, der Bernoulli-Formel. Jetzt könnte man ja mal hingehen und die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl an Treffern zu einer gegebenen Bernoulli-Kette ausrechnen. Das läuft dann darauf hinaus, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Bernoulli-Kette aufzustellen. Und wie die dann aussieht, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Eine Bernoulli-Kette ist eine BINOMIALVERTEILTE Zufallsgröße. Das "bi" in binomial steht für die ZWEI möglichen Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße nennen wir daher "BINOMIALverteilung". Sie ordnet jeder möglichen "Trefferanzahl k", die minimal bei Null und maximal bei n liegt, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau "X gleich k" Treffer gibt. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung auch, ist die Binomialverteilung somit eine Zuordnung beziehungsweise eine Funktion. Und praktischerweise kennen wir sogar die Funktionsgleichung! Sie ist durch die Bernoulli-Formel gegeben und wird mit einem großen B sowie den Parametern n und p angegeben. Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die "Trefferanzahl k", der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Genug Theorie! Jetzt rechnen wir mal ganz konkret nach! Wir werfen eine Münze dreimal hintereinander. Wir haben also eine Bernoulli-Kette der Länge "n gleich drei". Die Trefferwahrscheinlichkeit kennen wir ebenfalls. Sie liegt bei "p gleich 0,5". Das sind dann auch schon alle Informationen, die wir brauchen, um uns die Binomialverteilung dieser Bernoulli-Kette anzuschauen. Weil wir das Zufallsexperiment insgesamt dreimal ausführen, können wir entweder null, einen, zwei oder drei Treffer landen. Die Wahrscheinlichkeiten für diese vier verschiedenen Trefferzahlen können wir jetzt mit Hilfe der Funktionsgleichung (sprich der Bernoulli-Formel) berechnen. Wir setzen dafür einfach die entsprechenden Werte ein. Zunächst die Werte für n und p, denn die sind als Parameter immer gleich. Dann setzen wir "k gleich null" und anschließend auch die anderen möglichen Trefferzahlen in unsere Formel ein. Bei diesen Rechnungen kann uns unser Taschenrechner einiges an Arbeit sparen! Der klassische Befehl, der auf den meisten Modellen verfügbar ist, lautet "binomPdf". Wir müssen auch im Taschenrechner die entsprechenden Werte für n, p und k einsetzen und der spuckt uns dann direkt das Ergebnis aus! Haben wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ausgerechnet, steht unsere Binomialverteilung. Wir können sie, wie hier, in Form einer Tabelle angeben. Sehr häufig wird sie aber auch in Form eines Schaubildes, genauer gesagt in Form eines Histogramms dargestellt. Die Höhe jeder Säule steht hier für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt. Die Darstellung von Binomialverteilungen durch Histogramme ist sehr anschaulich. Daher werden dir diese Schaubilder bei dem Thema immer wieder über den Weg laufen. Hier siehst du zum Beispiel das entsprechende Histogramm für einen vierfachen, einen zehnfachen und einen zwanzigfachen Münzwurf. Wenn wir uns die Histogramme genau anschauen, fällt auf, dass sie alle die gleiche Grundform haben. Außerdem fällt auf, dass alle Histogramme symmetrisch sind. Die Symmetrie kommt durch die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit zustande, die bei allen Schaubildern fünfzig Prozent beträgt. Ändern wir die Trefferwahrscheinlichkeit zum Beispiel auf 0,75 hat das natürlich auch eine Auswirkung auf die resultierenden Schaubilder, die dann SO aussehen. An den Histogrammen lässt sich auch eine weitere wichtige Kenngröße der Binomialverteilung prima abschätzen: Der Erwartungswert. Den schauen wir uns aber lieber beim nächsten Mal an und fassen erstmal das Wichtigste zur Binomialverteilung auf einen Blick zusammen. Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Bei dieser Zufallsgröße werden der Anzahl an Treffern, die bei "n" Versuchsdurchführungen erzielt werden können, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir können die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte "Trefferanzahl k" mit der Bernoulli-Formel berechnen. Dabei hilft uns dann im Normalfall der Taschenrechner, genauer gesagt der Befehl "binomPdf". Eine Binomialverteilung wird außerdem häufig in Form eines Histogramms dargestellt. An der Höhe der einzelnen Säulen lassen sich hier die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Trefferzahlen ablesen. Summieren wir all diese Wahrscheinlichkeiten auf, erhalten wir (wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung) genau eins beziehungsweise einhundert Prozent. So, jetzt haben wir diesen unglaublich intelligent klingenden Begriff mit ein bisschen Leben gefüllt und DU kannst bei der nächsten Gelegenheit mal testen, wie gut er als Gesprächsstoff taugt. Viel Spaß dabei!
Binomialverteilung Übung
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