Betragsfunktionen graphisch darstellen

Betragsfunktionen graphisch darstellen Übung

• Gib die Eigenschaften der Betragsfunktion $f(x)$ an.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl entspricht ihrem Abstand zur $0$.

  Eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl haben den gleichen Betrag. Es gilt also:

  $|1|=|-1|=1$

  Eine Wertetabelle für die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ ist wie folgt gegeben:

  $ \\ \begin{array}{l|rrrrrrr} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} $

  Lösung

  Im Folgenden schauen wir uns die Eigenschaften der Betragsfunktion $f(x)=|x|$ an:

  Der Betrag einer Zahl entspricht ihrem Abstand zur $0$. Demnach haben eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl den gleichen Betrag. Es gilt also:

  $|1|=1=|-1|$

  Für unsere Betragsfunktion $f(x)$ ergibt sich somit die folgende Wertetabelle:

  $ \begin{array}{l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r} x & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline f(x) & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} $

  Der zugehörige Funktionsgraph ist hier abgebildet. Dieser hat eine V-Form, was für alle Graphen von Betragsfunktionen gilt. Daran kann man sie ganz leicht erkennen.

  Die Spitze des Graphen der Betragsfunktion ist der tiefste Punkt des Graphen, nämlich $S(0\vert 0)$. Die Spiegelachse verläuft vertikal durch diesen Punkt.

• Bestimme die Funktionsgleichungen der gegebenen Graphen.

  Tipps

  Durch Variation des Parameters $b$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=b+|x|$ wird der zugehörige Graph gegenüber dem Graphen zu $|x|$ entlang der $y$-Achse um $b$ Einheiten verschoben.

  Durch Variation des Parameters $a$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=|x-a|$ wird der zugehörige Graph gegenüber dem Graphen zu $|x|$ entlang der $x$-Achse um $a$ Einheiten verschoben.

  Durch Variation des Parameters $c$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=c\cdot |x|$ ändert der zugehörige Graph seine Steigung und Richtung der Öffnung. Es gilt:

  1. Fall

  $|c|>1$

  Der Graph besitzt gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine größere Steigung und wird somit enger.

  2. Fall

  $0<|c|<1$

  Der Graph besitzt gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine kleinere Steigung und wird somit breiter.

  3 Fall

  $c<0$

  Ist der Faktor negativ, so klappt sich der Graph mit der entsprechenden Steigung nach unten.

  Lösung

  Bevor wir die Funktionen der gegebenen Graphen bestimmen, wiederholen wir zunächst den Einfluss der einzelnen Parameter in der allgemeinen Betragsfunktion $f(x)=c\cdot |x-a|+b$. Diese Funktion ist gegenüber der Betragsfunktion $g(x)=|x|$:

  • um $a$ Einheiten entlang der $x$-Achse verschoben und
  • um $b$ Einheiten entlang der $y$-Achse verschoben.

  Durch Variation des Parameters $c$ ändert der zugehörige Graph seine Steigung und Richtung der Öffnung. Es gilt:

  • $|c|>1$: Der Graph hat gegenüber $g(x)=|x|$ eine größere Steigung und ist somit enger.
  • $0<|c|<1$: Der Graph hat gegenüber $g(x)=|x|$ eine kleinere Steigung und ist somit breiter.
  • $c>0$: Ist der Faktor positiv, so ist der Graph nach oben geöffnet.
  • $c<0$: Ist der Faktor negativ, so ist der Graph nach unten geöffnet.

  Nun können wir die Funktionsgleichungen der gegebenen Graphen bestimmen.

  1. Graph

  Dieser Graph ist gegenüber der Betragsfunktion $g(x)=|x|$ um $2$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts verschoben. Wir setzen in die Betragsfunktion $a=2$. Die Parameter $b$ und $c$ brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da weder eine Verschiebung entlang der $y$-Achse noch eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung an der $x$-Achse vorliegt. Wir erhalten somit:

  $f(x)=|x-2|$

  2. Graph

  Dieser Graph ist gegenüber der Betragsfunktion $g(x)=|x|$ entlang der $y$-Achse gestreckt. Wir haben also eine größere Steigung, welche wir mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen können:

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 42=2$

  Die Parameter $a$ und $b$ brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da weder entlang der $x$-Achse noch entlang der $y$-Achse verschoben wurde. Wir erhalten somit:

  $f(x)=2\cdot |x|$

  3. Graph

  Dieser Graph ist gegenüber der Betragsfunktion $g(x)=|x|$ um $2$ Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschoben. Wir setzen in die Betragsfunktion $b=2$. Die Parameter $a$ und $c$ brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da weder eine Verschiebung entlang der $x$-Achse noch eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung an der $x$-Achse vorliegt. Wir erhalten somit:

  $f(x)=2+|x|$

  4. Graph

  Dieser Graph ist gegenüber der Betragsfunktion $g(x)=|x|$ um $2$ Einheiten entlang der $x$-Achse nach links verschoben. Wir setzen in die Betragsfunktion $a=-2$. Die Parameter $b$ und $c$ brauchen wir nicht zu berücksichtigen, da weder eine Verschiebung entlang der $y$-Achse noch eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung an der $x$-Achse vorliegt. Wir erhalten somit:

  $f(x)=|x+2|$

• Ermittle die Funktionsgleichung $f(x)$ des gegebenen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Durch Variation des Parameters $b$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=|x-a|+b$ wird der zugehörige Graph gegenüber dem Graphen zu $|x-a|$ entlang der $y$-Achse um $b$ Einheiten verschoben.

  Durch Variation des Parameters $a$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=|x-a|+b$ wird der zugehörige Graph gegenüber dem Graphen zu $|x|+b$ entlang der $x$-Achse um $a$ Einheiten verschoben.

  Die Funktionsgleichung des hier abgebildeten Graphen lautet:

  $f(x)=|x-1|$

  Lösung

  Die Parameter $a$ und $b$ einer Betragsfunktion der Form $f(x)=|x-a|+b$ verschieben den Graphen zu $|x|$:

  • um $a$ Einheiten entlang der $x$-Achse und
  • um $b$ Einheiten entlang der $y$-Achse.

  Demnach können wir den drei Graphen folgende Funktionsgleichungen zuordnen:

  Graph zu $f(x)$

  Der Graph zu $f(x)$ ist gegenüber dem Graphen zu $|x|$ um eine Einheit entlang der $x$-Achse nach rechts und um drei Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben verschoben. Mit $a=1$ und $b=3$ erhalten wir:

  $f(x)=|x-1|+3$

  Graph zu $g(x)$

  Der Graph zu $g(x)$ ist gegenüber dem Graphen zu $|x|$ um drei Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts und um zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten verschoben. Mit $a=3$ und $b=-2$ erhalten wir:

  $f(x)=|x-3|-2$

  Graph zu $h(x)$

  Der Graph zu $h(x)$ ist gegenüber dem Graphen zu $|x|$ um eine Einheit entlang der $x$-Achse nach links und um zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten verschoben. Mit $a=-1$ und $b=-2$ erhalten wir:

  $f(x)=|x-(-1)|-2=|x+1|-2$

• Erschließe aus den gegebenen Graphen den Parameter $c$ der Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Betrachte nur den Teil des jeweiligen Graphen, welcher im ersten oder vierten Quadranten liegt. Dann entspricht der Wert für den Parameter $c$ der jeweiligen Geradensteigung:

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

  Für den Parameter $c$ gibt es folgende Fälle:

  1. Fall

  $|c|>1$

  Der Graph besitzt gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine größere Steigung und wird somit enger.

  2. Fall

  $0<|c|<1$

  Der Graph besitzt gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine kleinere Steigung und wird somit breiter.

  3. Fall

  $c<0$

  Ist der Faktor negativ, so klappt sich der Graph mit der entsprechenden Steigung nach unten.

  Lösung

  Wenn wir die Steigung des Graphen einer Betragsfunktion der Form $f(x)=c\cdot |x|$ bestimmen möchten, so können wir einfach den Teil des jeweiligen Graphen betrachten, welcher im ersten oder vierten Quadranten liegt. Dann entspricht der Wert für den Parameter $c$ der jeweiligen Geradensteigung:

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

  Dabei gelten folgende Zusammenhänge:

  • $|c|>1$: Graph hat gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine größere Steigung und ist somit enger.

  • $0<|c|<1$: Graph hat gegenüber dem Graphen zu $|x|$ eine kleinere Steigung und ist somit breiter.

  • $c<0$: Ist der Faktor negativ, so klappt sich der Graph mit der entsprechenden Steigung nach unten.

  Wir haben insgesamt drei Graphen, welche nach oben geöffnet sind, und nur einen, der nach unten geöffnet ist. Somit ist nur einer der vier Werte für $c$ negativ.

  Für $c$ erhalten wir folgende Lösungen:

  Grüner Graph

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 31=3$

  Blauer Graph

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 21=2$

  Roter Graph

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac 12$

  Oranger Graph

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac {-1}1=-1$

• Vervollständige die Wertetabelle zu der Funktion $f(x)$.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl entspricht ihrem Abstand zur $0$. Demnach haben eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl den gleichen Betrag. Es gilt also:

  $|5|=5=|-5|$

  Nachdem du den Betrag bestimmt hast, musst du bei der weiteren Berechnung Punkt- vor Strichrechnung berücksichtigen.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{lll} 5\cdot |1-8|+10 &=& 5\cdot |-7|+10 \\ &=& 5\cdot 7+10 \\ &=& 35+10 \\ &=& 45 \end{array} $

  Lösung

  Wir möchten für die Funktion $f(x)=3\cdot |x-1|+1$ die fehlenden Funktionswerte der folgenden Wertetabelle bestimmen:

  $ \begin{array}{l|r|r|r|r} x & -1 & 0& 1& 2 \\ \hline f(x) &&&& \end{array} $

  Hierzu setzen wir je einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnen zunächst den Betrag. Anschließend rechnen wir weiter, indem wir Punkt- vor Strichrechnung beachten. Die Berechnung des Funktionswertes für den ersten $x$-Wert lautet wie folgt:

  $ \begin{array}{lll} 3\cdot |-1-1|+1 &=& 3\cdot |-2|+1 \\ &=& 3\cdot 2+1 \\ &=& 6+1 \\ &=& 7 \end{array} $

  So machst du es für die übrigen drei $x$-Werte. Dadurch ergibt sich folgende Wertetabelle:

  $ \begin{array}{l|r|r|r|r} x & -1 & 0& 1& 2 \\ \hline f(x) & 7 & 4 & 1 & 4 \end{array} $

• Bestimme die gesuchte Funktionsgleichung des gegebenen Graphen.

  Tipps

  Ist der Parameter $c$ einer Funktion der Form $f(x)=c\cdot |x-a|+b$ negativ, so ist der Graph nach unten geöffnet.

  Der hier abgebildete Graph hat die Funktionsgleichung $f(x)=-|x-1|+2$.

  Lösung

  Wir suchen die Parameter $a$, $b$ und $c$ der Funktionsgleichung $f(x)=c\cdot |x-a|+b$.

  Parameter $a$

  Dieser Parameter gibt an, um wie viele Einheiten der Graph gegenüber dem Graphen zu $|x|$ entlang der $x$-Achse verschoben ist. Der Graph der Funktion $f(x)$ ist um vier Einheiten nach rechts verschoben. Es ist also $a=4$.

  Parameter $b$

  Dieser Parameter gibt an, um wie viele Einheiten der Graph gegenüber dem Graphen zu $|x|$ entlang der $y$-Achse verschoben ist. Der Graph der Funktion $f(x)$ ist um zwei Einheiten nach oben verschoben. Es ist also $b=2$.

  Parameter $c$

  Dieser Parameter gibt die Steigung sowie die Richtung der Öffnung des Graphen an. Hier ist $c$ negativ, denn der Graph ist nach unten geöffnet. Zudem ist der Graph der Funktion $f(x)$ gegenüber dem Graphen zu $|x|$ entlang der $y$-Achse gestreckt, also enger. Wir erhalten für den Parameter $c$ den folgenden Wert:

  $c=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac {-4}2=-2$

  Funktionsgleichung

  Daraus resultiert die Funktionsgleichung $~f(x)=-2\cdot |x-4|+2$.