Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten Übung

• Gib an, ob es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt.

  Tipps

  Wird aus einer Urne, in der nur blaue und rote Kugeln sind, eine Kugel gezogen, so handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment.

  Auch Zufallsexperimente, die mehr als nur zwei mögliche Ergebnisse haben, können als Bernoulli-Experimente aufgefasst werden. Dazu werden mehrere Ergebnisse zusammengefasst.

  Lösung

  Wir betrachten zunächst die Definition eines Bernoulli-Experimentes, um anschließend zu überprüfen, ob die gegebenen Beispiele diese erfüllen:

  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir zwischen zwei Ausgängen unterscheiden:

  • Treffer
  • kein Treffer

  Auch Zufallsexperimente, die mehr als nur zwei mögliche Ergebnisse haben, können als Bernoulli-Experimente aufgefasst werden. Dazu werden mehrere Ergebnisse zusammengefasst.

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  Eine Münze wird geworfen. Es wird überprüft, ob Zahl geworfen wurde.
  Es gibt genau zwei mögliche Versuchsausgänge: Zahl (Treffer) und Kopf (kein Treffer).
  $\mapsto$ Es handelt sich also um ein Bernoulli-Experiment.

  Aus einer Urne wird eine Kugel gezogen. Es wird überprüft, ob die Kugel rot, blau oder gelb ist.
  Es wird zwischen drei Versuchsausgängen unterschieden: rot, blau oder gelb.
  $\mapsto$ Es handelt sich also um kein Bernoulli-Experiment.

  Ein Würfel wird geworfen. Es wird überprüft, ob eine $6$ geworfen wurde.
  Es gibt genau zwei mögliche Versuchsausgänge: $6$ (Treffer) und keine $6$ (kein Treffer).
  $\mapsto$ Es handelt sich also um ein Bernoulli-Experiment.

  Ein Würfel wird geworfen. Es wird überprüft, welche Zahl geworfen wurde.
  Es wird zwischen sechs Versuchsausgängen unterschieden: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$.
  $\mapsto$ Es handelt sich also um kein Bernoulli-Experiment.

  $\,$

  Ergänzung: Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Dieser Fall kommt in dieser Aufgabe aber nicht vor.

• Beschreibe, was man unter einem Bernoulli-Experiment und einer Bernoulli-Kette versteht.

  Tipps

  Beispiel: Dreifacher Münzwurf
  Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, denn:
  Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse, denen wir Treffer und kein Treffer zuordnen können. Die drei Würfe sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Kopf bzw. Zahl beträgt immer $\dfrac{1}{2}$.

  Lösung

  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir zwischen zwei Ausgängen unterscheiden:

  • Treffer
  • kein Treffer

  Beispiel: Münzwurf
  Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl.
  Für das Bernoulli-Experiment müssen wir also nur noch festlegen, welches Ergebnis dem Treffer entspricht.

  Auch Zufallsexperimente, die mehr als nur zwei mögliche Ergebnisse haben, können als Bernoulli-Experimente aufgefasst werden. Dazu werden mehrere Ergebnisse zusammengefasst.

  Beispiel: Würfelwurf
  Es gibt sechs mögliche Ergebnisse. In einem Würfelspiel kann jedoch zum Beispiel nur relevant sein, ob man eine $6$ würfelt oder nicht. Das Ergebnis $6$ ist dann der Treffer des Bernoulli-Experiments, und die übrigen fünf Ergebnisse werden zu dem Ereignis kein Treffer zusammengefasst.
  In diesem Kontext unterscheiden wir dann auch bei dem sechsseitigen Würfel nur zwischen zwei möglichen Ausgängen.

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  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Es muss gelten:

  • Für alle Einzelexperimente lassen sich die Ergebnisse Treffer und kein Treffer unterscheiden.
  • Das Einzelexperiment wird $n$-mal unabhängig voneinander wiederholt.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer beziehungsweise für keinen Treffer ist bei jeder Versuchsdurchführung gleich.

  Beispiel: Dreifacher Münzwurf
  Hierbei sind alle Kriterien für eine Bernoulli-Kette erfüllt: Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse, denen wir Treffer und kein Treffer zuordnen können. Die drei Würfe sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Kopf bzw. Zahl beträgt immer $\frac{1}{2}$.

• Entscheide, welche Experimente als Bernoulli-Kette aufgefasst werden können.

  Tipps

  Für eine Bernoulli-Kette muss gelten:

  • Für alle Einzelexperimente lassen sich die Ergebnisse Treffer und kein Treffer unterscheiden.
  • Die Einzelexperimente werden $n$-mal unabhängig voneinander wiederholt.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer beziehungsweise für keinen Treffer ist bei jeder Versuchsdurchführung gleich.

  Es gibt genau zwei richtige Lösungen.

  Lösung

  Bernoulli-Experiment:
  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir zwischen zwei Ausgängen unterscheiden: Treffer oder kein Treffer.
  Auch Zufallsexperimente, die mehr als nur zwei mögliche Ergebnisse haben, können als Bernoulli-Experimente aufgefasst werden. Dazu werden mehrere Ergebnisse zusammengefasst.

  Bernoulli-Kette
  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Es muss gelten:

  • Für alle Einzelexperimente lassen sich die Ergebnisse Treffer und kein Treffer unterscheiden.
  • Das Einzelexperiment wird $n$-mal unabhängig voneinander wiederholt.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer beziehungsweise für keinen Treffer ist bei jeder Versuchsdurchführung gleich.

  Wir überprüfen bei den gegebenen Experimenten, ob diese Bedingungen erfüllt sind.

  "Aus einer Lostrommel mit insgesamt $50$ Losen, von denen $20$ Gewinne sind, werden drei Lose gezogen."
  Jedes Einzelexperiment hat genau zwei mögliche Versuchsausgänge, nämlich Gewinn (Treffer) oder Niete (kein Treffer). Allerdings verändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug, da durch das Herausnehmen eines Loses sich die Verteilung von Gewinnen zu Nieten verändert.
  Es handelt sich also nicht um eine Bernoulli-Kette.

  "Bei einem Multiple-Choice-Test mit zehn Aufgaben wird ohne Vorwissen jeweils eine der drei möglichen Antworten angekreuzt."
  Bei jeder Aufgabe gibt es genau drei mögliche Antworten, dabei kann beim Ankreuzen, richtig (Treffer) oder falsch (kein Treffer) geantwortet werden. Da die Antwort ohne Vorwissen zufällig angekreuzt wird, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Lösung immer bei $\frac{1}{3}$.
  Es handelt sich also um eine Bernoulli-Kette.

  "Ein Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht, und jeweils geschaut, ob der Zeiger auf blau, gelb oder rot stehen bleibt."
  Die Wahrscheinlichkeiten sind zwar bei jedem Drehen gleich, allerdings unterscheidet man hier nicht zwischen zwei, sondern zwischen drei verschiedenen Versuchsausgängen, nämlich blau, gelb und rot.
  Es handelt sich also nicht um eine Bernoulli-Kette.

  "In einer Fabrik werden Vogelhäuschen produziert, von denen erfahrungsgemäß $4\,\%$ Mängel aufweisen. Bei einer Qualitätskontrolle werden zehn fertige Vogelhäuschen auf Mängel geprüft."
  Bei jedem Vogelhaus gibt es genau zwei Möglichkeiten, nämlich mängelfrei oder mit Mängeln. Die Wahrscheinlichkeit ist dabei immer $4\,\%$.
  Es handelt sich also um eine Bernoulli-Kette.

• Formuliere das Experiment so, dass eine Bernoulli-Kette vorliegt.

  Tipps

  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir zwischen zwei Ausgängen unterscheiden.

  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette.

  Es ist wichtig, dass die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug unverändert bleiben.

  Lösung

  Das Bernoulli-Experiment:
  Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir zwischen zwei Ausgängen unterscheiden: Treffer oder kein Treffer. Auch Zufallsexperimente, die mehr als nur zwei mögliche Ergebnisse haben, können als Bernoulli-Experimente aufgefasst werden. Dazu werden mehrere Ergebnisse zusammengefasst.
  In unserem Kartenbeispiel soll das Ziehen EINER Karte ein Bernoulli-Experiment sein. Damit es genau zwei mögliche Ausgänge hat, können wir z. B. unterscheiden zwischen Herz (Treffer) und kein Herz (kein Treffer).

  Die Bernoulli-Kette:
  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Dabei muss das Einzelexperiment unabhängig voneinander wiederholt werden, sodass die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer beziehungsweise für keinen Treffer bei jeder Versuchsdurchführung gleich ist.
  In unserem Kartenbeispiel ist es wichtig, dass wir die gezogene Karte nach dem Zug zurücklegen. Nur so sind die Wahrscheinlichkeiten im nächsten Zug unverändert. Daher müssen wir die Karten auch nacheinander und nicht gleichzeitig ziehen. Da die Karten zurückgelegt werden, kann die Bernoulli-Kette beliebig lang fortgesetzt werden.

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  Insgesamt ergeben sich also folgende Bedingungen:

  1. Die Karten werden mit Zurücklegen gezogen.
  2. Es wird jeweils überprüft, ob Herz gezogen wurde.
  3. Die Karten werden nacheinander gezogen.
  4. Die maximale Länge der Bernoulli-Kette ist unendlich.

• Bestimme die Länge der Bernoulli-Kette.

  Tipps

  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette.

  Die Anzahl der Durchführungen nennen wir die Länge der Bernoulli-Kette $n$.

  Lösung

  Bei einem Bernoulli-Experiment unterscheiden wir zwischen zwei möglichen Ausgängen: Treffer oder kein Treffer. Wir nennen die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$.
  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Die Anzahl der Durchführungen nennen wir die Länge der Bernoulli-Kette $n$.

  Wir betrachten die gegebenen Experimente:

  Experiment 1: Dreifacher Münzwurf
  Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Dabei fällt zweimal Kopf.
  Hierbei sind alle Kriterien für eine Bernoulli-Kette erfüllt: Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf (Treffer) und Zahl (kein Treffer). Die Wahrscheinlichkeiten sind bei jeder Durchführung gleich. Da die Münze dreimal hintereinander geworfen wird, gilt für die Länge der Bernoulli-Kette: $\color{#99CC00}{n=3}$
  Wir müssen im Text also die drei markieren.

  Experiment 2: Ziehen aus einer Urne
  Aus einer Urne mit drei grünen und sieben roten Kugeln werden nacheinander fünf Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Dabei wird jeweils überprüft, ob die Kugel grün ist.
  Auch hier sind alle Kriterien für eine Bernoulli-Kette erfüllt: Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: grün (Treffer) und rot (kein Treffer). Die Wahrscheinlichkeiten sind bei jeder Durchführung gleich, da nach jedem Zug die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.
  Da fünf Kugeln gezogen werden, gilt für die Länge der Bernoulli-Kette: $\color{#99CC00}{n=5}$
  Wir müssen im Text also die fünf markieren.

  Experiment 3: Würfelwurf
  Ein Würfel wird vier mal hintereinander geworfen. Dabei wird jeweils überprüft, ob eine $6$ geworfen wird oder nicht.
  Auch hier sind alle Kriterien für eine Bernoulli-Kette erfüllt: Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: $6$ (Treffer) und keine $6$ (kein Treffer). Die Wahrscheinlichkeiten sind bei jeder Durchführung gleich.
  Da der Würfel viermal geworfen wird, gilt für die Länge der Bernoulli-Kette: $\color{#99CC00}{n=4}$
  Wir müssen im Text also die vier markieren.

• Beurteile, ob das Baumdiagramm zu einer Bernoulli-Kette passt.

  Tipps

  Überlege, wie ein Baumdiagramm aussehen muss, damit es die Kriterien für eine Bernoulli-Kette erfüllt.

  Dieses Baumdiagramm stellt keine Bernoulli-Kette dar, da in jeder Stufe zwischen drei Versuchsausgängen unterschieden wird.

  Es gibt genau drei richtige Lösungen.

  Lösung

  Wenn wir das gleiche Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander ausführen, sprechen wir von einer Bernoulli-Kette. Dabei muss gelten:

  • Für das Experiment wird nur zwischen den Ergebnissen Treffer und kein Treffer unterschieden.
  • Das Einzelexperiment wird $n$-mal unabhängig voneinander wiederholt.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beziehungsweise für keinen Treffer ist bei jeder Versuchsdurchführung gleich.

  
  

  Für ein Baumdiagramm bedeutet das:

  • In jeder Stufe muss genau zwischen zwei Versuchsausgängen unterschieden werden.
  • Die Wahrscheinlichkeiten müssen in jeder Stufe gleich sein.

  
  

  Damit können wir die folgenden Baumdiagramme einer Bernoulli-Kette zuordnen:

  • erstes Baumdiagramm: Ist zweistufig, in jeder Stufe gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge, die Wahrscheinlichkeiten in beiden Stufen sind gleich.
  • drittes Baumdiagramm: Ist zweistufig, in jeder Stufe gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge, die Wahrscheinlichkeiten in beiden Stufen sind gleich.
  • fünftes Baumdiagramm: Ist dreistufig, in jeder Stufe gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge, die Wahrscheinlichkeiten in allen drei Stufen sind gleich.

  
  

  Folgende Baumdiagramme stellen keine Bernoulli-Kette dar:

  • zweites Baumdiagramm: Ist zweistufig, in jeder Stufe gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge, die Wahrscheinlichkeiten in beiden Stufen unterscheiden sich jedoch.
  • viertes Baumdiagramm: Ist zweistufig, in jeder Stufe wird nicht zwischen zwei, sondern zwischen vier möglichen Versuchsausgängen unterschieden.
  • sechstes Baumdiagramm: Ist dreistufig, in jeder Stufe gibt es zwei mögliche Versuchsausgänge, die Wahrscheinlichkeiten in den Stufen unterscheiden sich jedoch.