Bedingte Wahrscheinlichkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel Übung

• Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

  Tipps

  In einem Baumdiagramm ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von derselben Verzweigung ausgehen, immer $1$.

  Hier siehst du ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

  Lösung

  Auf der ersten Stufe des Baumdiagramms bezeichnet das Ereignis $K$, dass eine Person erkrankt ist, und das Gegenereignis $\overline K$, dass eine Person nicht erkrankt, also gesund, ist.
  Auf der zweiten Stufe bezeichnet das Ereignis $G$ dann, dass eine Person geimpft ist und $\overline G$, dass eine Person nicht geimpft ist.

  Vorgegeben sind die Wahrscheinlichkeit $P(K)=0,\!2$, dass eine zufällig ausgewählte Person erkrankt ist, sowie zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit $P_K(G)=0,\!25$, dass eine zufällig ausgewählte, erkrankte Person geimpft war, und die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline K}(G)=0,\!625$, dass eine zufällig ausgewählte, nicht erkrankte Person geimpft war.

  Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten kannst du als Gegenwahrscheinlichkeiten bestimmen:

  • Die Wahrscheinlichkeit $P(\overline K)$, dass eine Person nicht erkrankt ist, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu ${P(K)=0,\!2}$. Daher ist ${P(\overline K) = 1-0,\!2=0,\!8}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit $P_K(\overline G)$, dass eine erkrankte Person nicht geimpft ist, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu $P_K(G)=0,\!25$. Deshalb ist $P_K(\overline G)=1-0,\!25=0,\!75$.
  • Als Letztes beschreibt die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline K}(\overline G)$ , dass eine gesunde Person nicht geimpft ist, die Gegenwahrscheinlichkeit zu $P_{\overline K}(G)=0,\!625$. Darum ist $P_K(\overline G)=1-0,\!25=0,\!375$.

• Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person geimpft und erkrankt ist, findest du in der Vierfeldertafel in der Zeile $G$ und der Spalte $K$.

  Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine geimpfte Person nicht erkrankt, wird mithilfe dieser Formel berechnet:

  $P_G(\overline K)=\dfrac{P(G\cap \overline K)}{P(G)}$

  Lösung

  In den inneren Feldern der Vierfeldertafel findest du immer die Schnittwahrscheinlichkeiten der betrachteten Ereignisse. In unserem Beispiel sind die betrachteten Merkmale der Impfstatus $G$ bzw. $\overline G$, den wir in den Zeilen anordnen, sowie der Krankheitszustand $K$ bzw. $\overline K$, den du in den Spalten der Vierfeldertafel verzeichnet findest.

  Betrachten wir als Beispiel das Ereignis $\overline G \cap K$, dass eine Person nicht geimpft und erkrankt ist:

  Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses findest du in der zweiten Zeile und ersten Spalte der Vierfeldertafel:

  ${P(\overline G\cap K)=0,\!15}$

  Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $K$ bzw. $\overline K$ findest du in der untersten Zeile und die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $G$ bzw. $\overline G$ in der Spalte ganz rechts.

  
  

  In der Aufgabe wird nach bedingten Wahrscheinlichkeiten gefragt. Zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten benötigst du sowohl die Schnittwahrscheinlichkeiten im Inneren der Vierfeldertafel als auch die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Ereignisse an den Rändern.

  Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geimpfte Person erkrankt, die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_G(K)$. Du verwendest die Formel $P_G(K) = \dfrac{P(G \cap K)}{P(G)}$ und berechnest:

  $P_G(K) = \dfrac{0,\!05}{0,\!55} = 0,\!0909$

  So erhältst du für die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten folgende Zuordnungen:

  $P_G(K) = \dfrac{0,\!05}{0,\!55}=0,\!0909$

  $P_{\overline G}(K) = \dfrac{0,\!15}{0,\!45}=0,\!3333$

  $P_{\overline G}(\overline K) = \dfrac{0,\!3}{0,\!45} =0,6667$

  $P_G(\overline K)=\dfrac{0,\!5}{0,\!55}=0,\!9091$

• Entscheide, welche Baumdiagramme und welche Vierfeldertafeln zur Situation passen.

  Tipps

  Im Baumdiagramm stehen auf der zweiten Stufe die bedingten Wahrscheinlichkeiten, welche anhand dieser allgemeinen Formel berechnet werden können:

  $P_A(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

  Dabei beschreiben $A$ und $B$ hier zwei beliebige Ereignisse, die in anderen Aufgaben und Kontexten anders benannt werden.

  In der Vierfeldertafel stehen in den inneren Feldern die Wahrscheinlichkeiten für Schnittmengen, zum Beispiel $P(A \cap B)$.

  Lösung

  
  

  Vierfeldertafel: Randwahrscheinlichkeiten

  Wir berechnen zuerst die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $\overline A$ bzw. $Z$ und $\overline Z$ sowie die Wahrscheinlichkeiten aller Schnittmengen:

  • $15$ der $200$ Beschäftigten sind in Ausbildung. Daher ist $P(A)=\dfrac{15}{200}=0,\!075$.
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist $P(\overline A)=1-P(A)=0,\!975$.
  • Von $200$ Beschäftigten haben $118$ Personen ein Passwort aus Buchstaben. Demnach ist $P(\overline Z)=\dfrac{118}{200}=0,\!59$.
  • Alle anderen Passwörter bestehen aus Ziffern. Es ist also $P(Z)=1-P(\overline Z)=0,\!41$.

  
  

  Vierfeldertafel: Schnittwahrscheinlichkeiten

  Alle Wahrscheinlichkeiten an den Rändern der Vierfeldertafel haben wir bereits bestimmt. Im Inneren der Vierfeldertafel stehen die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen:

  • Zwei Drittel der Beschäftigten in Ausbildung verwenden ein Passwort mit Ziffern. Zwei Drittel von $15$ Beschäftigen in Ausbildung sind $\dfrac{2}{3} \cdot 15=10$ Personen. Diese $10$ Personen bilden die Schnittmenge $A\cap Z$. Es gilt folglich ${P(A\cap Z) = \dfrac{10}{200}=0,\!05}$.
  • Die übrigen $5$ Beschäftigten in Ausbildung verwenden ein Passwort aus Buchstaben. Als Wahrscheinlichkeit lässt sich das bei $200$ Beschäftigten so ausdrücken: ${P(A\cap \overline Z) = \dfrac{5}{200}=0,\!025}$.
  • Unter allen $118$ Beschäftigten, die ein Passwort aus Buchstaben verwenden, sind $5$ Personen in Ausbildung. Daher ist $P(\overline{A} \cap \overline{Z})=\dfrac{118-5}{200}= \dfrac{113}{200}=0,\!565$.
  • Unter allen vergebenen Passwörtern bestehen $118$ aus Buchstaben und $200-118=82$ aus Ziffern. Es gibt $10$ Personen in Ausbildung mit einem Passwort aus Ziffern. Deswegen besteht die Schnittmenge $\overline{A} \cap Z$ aus ${82-10=72}$ Personen. Es ist also ${P(\overline{A} \cap Z)=\dfrac{72}{200}=0,\!36}$.

  
  

  Baumdiagramm:

  Auf der ersten Stufe stehen die Wahrscheinlichkeiten eines Merkmals, auf der zweiten Stufe die bedingten Wahrscheinlichkeiten des zweiten Merkmals, bedingt durch das erste Merkmal.
  Wir wählen als Merkmal der ersten Stufe $A$ bzw. $\overline A$. Diese Wahl ist aber nicht zwingend.

  1. Stufe:

  • $15$ von $200$ Beschäftigten sind in Ausbildung. Daher ist $P(A)=\dfrac{15}{200}=0,\!075$.
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit ist $P(\overline A)=1-P(A)=0,\!925$.

  2. Stufe:

  • Zwei Drittel der Beschäftigten in Ausbildung verwenden ein Passwort aus Ziffern. Es ist also $P_A(Z)=\dfrac{2}{3}=0,\!\overline{6}$.
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist $P_A(\overline Z)= \dfrac{1}{3} =0,\!\overline{3}$.
  • Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir $P(\overline{A} \cap Z)=0,\!36$ und berechnen ${P_{\overline A}(Z) = \dfrac{P(\overline{A} \cap Z)}{P(\overline{A})}=\dfrac{0,\!36}{0,\!925}=0,\!389}$.
  • Analog erhalten wir $P_{\overline{A}}(\overline{Z})=1-P_{\overline{A}}(Z)=0,\!611$.

  
  

  Umgekehrtes Baumdiagramm:

  Setzen wir die Ereignisse $Z$ und $\overline Z$ auf die erste Stufe des Baumdiagramms, so haben wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(\overline Z)=\dfrac{118}{200}=0,\!59$
  • $P(Z)=1-P(\overline Z)=0,\!41$

  Aus der Vierfeldertafel erhalten wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe:

  • $P_Z(A)=\dfrac{P(A \cap Z)}{P(Z)}=\dfrac{0,\!05}{0,\!41}=0,\!122$
  • $P_Z(\overline{A})=1-P_Z(A)=0,\!878$
  • $P_{\overline{Z}}(A)=\dfrac{P(A \cap \overline{Z})}{P(\overline{Z})}=0,\!042$
  • $P_{\overline{Z}}(\overline{A})=1-P_{\overline{Z}}(A)=0,\!958$

• Interpretiere die Diagramme.

  Tipps

  Berechne aus der Vierfeldertafel die bedingten Wahrscheinlichkeiten.

  Beispiel:

  $P_G(K)=\dfrac{P(G\cap K)}{P(G)}=\dfrac{0,\!03}{0,\!51}=0,\!06$

  Berechne am Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person geimpft ist, am besten mit dieser Formel:

  $P(G)=P(G \cap K)+P(G \cap \overline K)$

  Lösung

  Erste Studie

  In der Vierfeldertafel stehen an den Rändern die Wahrscheinlichkeiten der Erkrankung bzw. Nichterkrankung (unten) sowie des Impfstatus (rechts). Auf den inneren Feldern stehen die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen. Zu berechnen sind verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine geimpfte Person nicht erkrankt, beträgt ${P_G(\overline K)=\dfrac{P(G\cap \overline K)}{P(G)}=\dfrac{0,\!48}{0,\!51} \approx 0,\!94}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungeimpfte Person erkrankt, beträgt ${P_{\overline G}(K) = \dfrac{P(\overline G\cap K)}{P(\overline G)}=\dfrac{0,\!24}{0,\!49} \approx 0,\!49}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungeimpfte Person gesund bleibt, beträgt ${P_{\overline G}(\overline K)=1-P_{\overline G}(K) \approx 0,\!51}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine erkrankte Person ungeimpft ist, beträgt ${P_K(\overline G)=\dfrac{P(\overline G\cap K)}{P(K)}=\dfrac{0,\!24}{0,\!27} \approx 0,\!89}$.

  
  

  Zweite Studie

  In dem Baumdiagramm stehen auf der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten zu erkranken bzw. nicht zu erkranken. Auf der zweiten Stufe stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Impfstatus, bedingt durch die Ereignisse, erkrankt bzw. nicht erkrankt zu sein:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person geimpft und nicht erkrankt ist, beträgt ${P(\overline K\cap G)=P(\overline K) \cdot P_{\overline K}(G) = 0,\!9 \cdot 0,\!4=0,\!36}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl eine geimpfte Person zu wählen, beträgt ${P(G)=P(G\cap K)+P(G\cap \overline K)=0,\!1\cdot 0,\!2+0,\!9\cdot 0,\!4=0,\!38}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit für eine ungeimpfte Person, zu erkranken, beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit ${P_{\overline G}(K) = \dfrac{P(\overline G\cap K)}{P(\overline G)}=\dfrac{0,\!1 \cdot 0,\!8}{0,\!62} \approx 0,\!13}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit für eine geimpfte Person, nicht zu erkranken, beträgt ${P_G(\overline K)=\dfrac{P(G\cap \overline K)}{P(G)}=\dfrac{0,\!36}{0,\!38} \approx 0,\!95}$.

• Vervollständige die Vierfeldertafel.

  Tipps

  Die Summe der beiden oberen Einträge jeder Spalte muss den unteren Wert in dieser Spalte ergeben.

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Person geimpft ist und erkrankt, beträgt $0,\!05$.

  Im rechten unteren Feld einer Vierfeldertafel steht die Gesamtwahrscheinlichkeit, welche immer $1$ ist.

  Lösung

  Die Einträge der Vierfeldertafel sind die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse. In den inneren Feldern stehen die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen verschiedener Ereignisse. An den Rändern stehen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Merkmale.

  Die Wahrscheinlichkeiten im Inneren einer Zeile addieren sich zu der Wahrscheinlichkeit am rechten Rand der Zeile. Analog addieren sich die beiden oberen Wahrscheinlichkeiten in jeder Spalte zu dem Wert ganz unten in derselben Spalte. Wir gehen die Einträge einzeln durch:

  • Der Wert $1$ steht in dem Feld ganz unten ganz rechts. Das ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, die immer $1$ beträgt.
  • In der zweiten Zeile und zweiten Spalte steht die Wahrscheinlichkeit $P(G\cap K)=0,\!05$, denn der Wert ganz rechts in der oberen Zeile ist $P(G)=0,\!55$. Dieser ergab sich als Summe der anderen beiden Wahrscheinlichkeiten und dementsprechend lässt sich die Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge der Ereignisse $K$ und $G$ umgekehrt bestimmen, nämlich $0,\!55-0,\!5=0,\!05$.
  • In der Gesamtspalte müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für $G$ und $\overline G$ zusammen zu $1$ addieren. Daher ist ${P(\overline G)=1-P(G) = 1-0,\!55=0,\!45}$.
  • Außerdem ist $P(\overline{G} \cap \overline{K})=0,\!3$, denn $P(\overline{G} \cap \overline{K}) = P(\overline{G})-P(\overline{G} \cap K) = 0,\!45-0,\!15=0,\!3$. Das ist die Rechnung, die sich aus der dritten Zeile ergibt.

• Vervollständige das Baumdiagramm.

  Tipps

  Erstelle zuerst eine Vierfeldertafel oder berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Schnittmengen. Daraus kannst du dann das umgekehrte Baumdiagramm konstruieren.

  Hier siehst du einen Ansatz für das Baumdiagramm.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Wege, die Aufgabe zu lösen.

  Du kannst zum Beispiel zuerst das Baumdiagramm mit den Merkmalen $J$ und $\overline J$ auf der ersten Stufe aufstellen oder direkt eine Vierfeldertafel berechnen.

  Im zweiten Schritt berechnest du dann daraus die Wahrscheinlichkeiten für das Baumdiagramm der Aufgabenstellung.

  
  

  Wir beginnen hier mit dem Baumdiagramm:

  • $232$ von $1\,000$ Kunden und Kundinnen sind Jugendliche, also ist $P(J)=\dfrac{232}{1\,000}=0,\!232$ und $P(\overline J)=0,\!768$.
  • Sieben von acht Jugendlichen entscheiden sich für eine Datenflat. Daher ist $P_J(D)=\dfrac{7}{8}$ und ${P(J\cap D)=0,\!232 \cdot \dfrac{7}{8}=0,\!203}$.
  • Entsprechend ist $P_J(\overline D)=\dfrac{1}{8}$ und $P(J\cap \overline D)=0,\!029$.
  • Rund $35,\!3$ Prozent der Erwachsenen haben keine Datenflat. Es gibt $1\,000 - 232 = 768$ Erwachsene. $35{,}3$ Prozent davon sind $0,\!353\cdot 768=271$. Daher ist $P(\overline J \cap \overline D)=\dfrac{271}{1\,000}=0,\!271$.

  Aus diesen Informationen können wir ein Baumdiagramm erstellen, bei dem auf der ersten Stufe die Merkmale $J$ und $\overline J$ stehen. Gefragt ist in der Aufgabe nach dem umgekehrten Baumdiagramm. Um dieses zu berechnen, bestimmen wir zuerst die Wahrscheinlichkeiten von $D$ und $\overline D$:

  • Aus $P(J\cap \overline D)=0,\!029$ und $P(\overline J \cap \overline D)=0,\!271$ erhalten wir als Summe die Wahrscheinlichkeit ${P(\overline D)=0{,}029 + 0{,}271 =0,\!3}$. Mit dieser Wahrscheinlichkeit erhalten wir als die Gegenwahrscheinlichkeit ${P(D)=1- 0{,}3 = 0,\!7}$.

  Nun können wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen:

  • $P_D(J)=\dfrac{P(D \cap J)}{P(D)}=\dfrac{0,\!203}{0,\!7}=0,\!29$ und $P_D(\overline J)=1-P_D(J)=0,\!71$.
  • $P_{\overline D}(J)=\dfrac{P(\overline{D} \cap J)}{P(\overline D)}=\dfrac{0,\!029}{0{,}3}=0,\!09\overline{6}$ und $P_{\overline D}(\overline J)=1-P_{\overline D}(J)=0,\!90\overline{3}$.

  Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten tragen wir auf der zweiten Stufe ein und erhalten das hier gezeigte Baumdiagramm.