Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung

Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zu gleichschenkligen Dreiecken.

  Tipps

  Das ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Länge $c$ heißt Basis des Dreiecks.

  Winkel und Längen bleiben bei einer Achsenspiegelung erhalten. Entsprechende Winkel und Längen auf unterschiedlichen Seiten einer Symmetrieachse sind also gleich groß.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind falsch:

  „Die Basiswinkel liegen dort, wo sich zwei Schenkel des Dreiecks schneiden."

  • Die Basiswinkel eines Dreiecks liegen an der Basis an. Sie sind dort, wo sich Basis und Schenkel schneiden.

  „Sind zwei Schenkel eines Dreiecks gleich lang, muss es sich nicht zwangsläufig um ein gleichschenkliges Dreieck handeln.“

  • Sind zwei Schenkel eines Dreiecks gleich lang, wird die Mittelsenkrechte der Basis zur Symmetrieachse. Per Definition ist das Dreieck gleichschenklig.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.“

  „Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Basis haben den gleichen Abstand zu den beiden Eckpunkten der Basis.“

  • Diese Eigenschaften folgen aus der Achsensymmetrie des gleichschenkligen Dreiecks.

  „Ist die Mittelsenkrechte der Basis eine Symmetrieachse, dann ist das Dreieck gleichschenklig.“

• Schildere die Konstruktion von gleichschenkligen Dreiecken.

  Tipps

  Werden die Strahlen im gleichen Winkel von den Eckpunkten der Basis gezeichnet, treffen sie sich genau auf der Mittelsenkrechten der Basis.

  Alle Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „Sind Basis und Basiswinkel $\alpha$ gegeben, kannst du ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren, indem du Strahlen von den Eckpunkten der Basis aus zeichnest, die mit der Basis den Winkel $\alpha$ einschließen. An deren Schnittpunkt befindet sich der letzte Punkt des Dreiecks.“

  • Werden die Strahlen im gleichen Winkel von den Eckpunkten der Basis gezeichnet, treffen sie sich genau auf der Mittelsenkrechten der Basis. Die Schenkel werden also gleich lang.

  „Sind Basis und der Spitzenwinkel $\gamma$ gegeben, kannst du ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren, indem du die Basiswinkel berechnest. Dazu stellst du auf:

  $\alpha + \alpha + \gamma =180^{\circ}$

  Damit erhältst du für die Basiswinkel:

  $\alpha=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma)$“

  • Alle Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Das macht man sich hier zunutze.

  „Jetzt kannst du das Dreieck konstruieren, indem du Strahlen von den Eckpunkten der Basis aus zeichnest, die den berechneten Winkel $\alpha$ aufspannen. Am Schnittpunkt dieser Strahlen befindet sich der letzte Punkt des Dreiecks.“

  • Hast du die Basiswinkel bestimmt, kannst du das Dreieck wie oben konstruieren.

• Entscheide, ob das Dreieck gleichschenklig ist.

  Tipps

  Sind die Basiswinkel eines Dreiecks gleich groß, müssen auch die Schenkel des Dreiecks gleich lang sein.

  Eine notwendige Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck ist, dass die Basiswinkel gleich groß sind.

  Lösung

  Folgendes Dreieck ist nicht gleichschenklig:

  „Die Winkel $\alpha=30^{\circ}$, $\beta=60^{\circ}$ und $\gamma=90^{\circ}$ sind die Innenwinkel eines Dreiecks.“

  • Dieses Dreieck hat keine zwei gleich großen Winkel. Das ist eine notwendige Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck.

  Diese Dreiecke sind gleichschenklig:

  “Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=30^{\circ}$, $\beta=120^{\circ}$ und $\gamma=30^{\circ}$.“

  „Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=80^{\circ}$, $\beta=80^{\circ}$ und eine Basis von $c=10~\text{cm}$.“

  • Diese Dreiecke haben zwei gleich große Winkel. Damit müssen sie gleichschenklig sein.

  „Ein Dreieck hat die Längen $a=3~\text{cm}$, $b=3~\text{cm}$ und $c=5~\text{cm}$.“

  • Dieses Dreieck hat zwei gleich lange Seitenlängen. Damit muss es gleichschenklig sein.

  „Zwei Längen eines gleichschenkligen Dreiecks, die zusammen den Spitzenwinkel $\gamma$ aufspannen, haben die gleiche Länge.“

  • In einem gleichschenkligen Dreieck liegen die Schenkel immer am Spitzenwinkel an.

• Erschließe, welche Größe das Dreieck gleichschenklig macht.

  Tipps

  Gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleich große Winkel.

  Alle Winkel eines Dreiecks summieren sich zu $180^{\circ}$.

  Lösung

  Gleichschenklige Dreiecke haben jeweils zwei gleich lange Seitenlängen und zwei gleich große Winkel. Allerdings musst du darauf achten, dass sich alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren. Nur dann handelt es sich nämlich um ein Dreieck. Damit kannst du die Größen der Dreiecke zuordnen:

  • Die Winkel $\alpha=70^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $\gamma=70^{\circ}$ gehören zu einem gleichschenkligen Dreieck, denn zwei der Winkel sind gleich groß und alle Winkel zusammen ergeben $180^{\circ}$.

  • Die Seitenlängen $a=6~\text{cm}$, $b=9~\text{cm}$ und $c=6~\text{cm}$ bilden ein gleichschenkliges Dreieck, denn zwei der Längen sind gleich lang.

  • Die Längen $a=10~\text{cm}$, $b=13~\text{cm}$ und $c=10~\text{cm}$ bilden ein gleichschenkliges Dreieck, denn zwei der Längen sind gleich lang.

  • Die Winkel $\alpha=40^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $\gamma=100^{\circ}$ gehören zu einem gleichschenkligen Dreieck, denn zwei der Winkel sind gleich groß. Mit der anderen Auswahlmöglichkeit ($\gamma=70^{\circ}$) wären zwar zwei der Winkel gleich groß, sie ergäben aber kein Dreieck, da sich die Winkel nicht zu $180^{\circ}$ addieren.

• Beschrifte das gleichschenklige Dreieck.

  Tipps

  Die Eckpunkte eines Dreiecks benennst du der Reihe nach mit großen Buchstaben. Die zu den Ecken gehörigen Winkel benennst du mit den gleichen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Sind zwei Winkel oder Längen gleich groß, kannst du sie mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.

  Lösung

  So kannst du das Bild beschriften. Normalerweise benennst du die Eckpunkte eines Dreiecks der Reihe nach mit großen Buchstaben. Die zu den Ecken gehörigen Winkel benennst du mit den gleichen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Allerdings kannst du gleich große Winkel oder Längen auch mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.

• Entscheide, ob die Größen ein gleichschenkliges Dreieck bilden können.

  Tipps

  In einem Dreieck müssen sich alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren, also:

  $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

  Für gleichschenklige Dreiecke muss zusätzlich gelten, dass zwei der Winkel und zwei der Seitenlängen gleich groß sein müssen.

  Lösung

  Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der beiden kürzeren Längen eines Dreiecks $a$ und $b$ größer oder gleich der größten Seite eines Dreiecks $c$ sein muss, also:

  $a+b \geq c$

  Außerdem müssen sich in einem Dreieck alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren, also:

  $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

  Für gleichschenklige Dreiecke muss zusätzlich gelten, dass zwei der Winkel und zwei der Seitenlängen gleich groß sein müssen.

  Mit den angegebenen Größen, die eine dieser Voraussetzungen verletzen, können keine Dreiecke konstruiert werden. Dies sind:

  „$\alpha=80^{\circ}$, $\beta=80^{\circ}$, $\gamma=30^{\circ}$“

  • Hier beträgt die Winkelsumme $190^{\circ}$.

  „$a=9~\text{cm}$, $b=9~\text{cm}$ und $c=20~\text{cm}$“

  • Hier ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. Denn es gilt: $a+b =9~\text{cm}+9~\text{cm}=18~\text{cm} <20~\text{cm} =c $

  „$a=5~\text{cm}$, $b=8~\text{cm}$ und $c=16~\text{cm}$“

  • Hier ist die Dreiecksungleichung ebenfalls nicht erfüllt. Zudem existieren nicht zwei gleich lange Seiten.

  „$a=3~\text{cm}$, $b=5~\text{cm}$ und $c=2~\text{cm}$“

  • Hier gibt es keine zwei gleich langen Seitenlängen.

  Mit diesen Größen können gleichschenklige Dreiecke konstruiert werden:

  „$\alpha=35^{\circ}$, $\beta=110^{\circ}$, $\gamma=35^{\circ}$“

  • Die Winkelsumme beträgt $180^{\circ}$ und es existieren zwei gleich große Winkel.

  „$a=2~\text{cm}$, $b=2~\text{cm}$ und $c=3~\text{cm}$“

  • Es existieren zwei gleich lange Seiten und die Bedingung der Dreiecksungleichung ist erfüllt.