Ausklammern bei Differenzen und Quotienten

Ausklammern bei Differenzen und Quotienten Übung

• Vervollständige die Terme.

  Tipps

  Teile den Koeffizienten $8$ in zwei Faktoren auf.

  Du kannst $-z$ auch als $(-1) \cdot z$ schreiben.

  Den Term $3 \cdot x \cdot z - 6 \cdot y \cdot z$ kannst du so umformen:

  $3 \cdot x \cdot z - 6 \cdot y \cdot z$
  $\quad = 3 \cdot x \cdot z - 3 \cdot 2 \cdot z \cdot y$
  $\quad = 3 \cdot z \cdot (x - 2 \cdot y)$

  Lösung

  Um Terme auszuklammern, kannst du zuerst die Koeffizienten in Faktoren zerlegen. Der Koeffizient $8$ z. B. ist darstellbar als $8 = 2 \cdot 4$. In den Termen $2 \cdot 4 \cdot x \cdot y$ und $4 \cdot x \cdot z$ kommt nun jeweils der Faktor $4 \cdot x$ vor. Diesen kannst du ausklammern und erhältst:

  $8 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z)$

  Aus einer Differenz kannst du ähnlich ausklammern: Den Term $8 \cdot x \cdot y$ schreibst du wieder als $2 \cdot 4 \cdot x \cdot y$. Aus dem Term $-4 \cdot x \cdot z$ kannst du nun noch $(-1)$ ausklammern und erhältst $-4 \cdot x \cdot z = (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z$. Du findest jetzt wieder in beiden Termen den Faktor $4 \cdot x$, den du ausklammern kannst:

  $8 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + (-1) \cdot z)$.

  Den Term in der Klammer auf der rechten Seite kannst du noch zusammenfassen zu $(2 \cdot y - z)$.

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Um die passenden Faktoren zum Ausklammern zu finden, kannst du die Koeffizienten in ihre Faktoren zerlegen.

  Um aus Quotienten auszuklammern, kannst du die Quotienten zuerst in Brüche umformen.

  Den Term $4:x - 3:x$ kannst du so umformen:

  $4:x - 3:x = \frac{4}{x} - \frac{3}{x} = 4 \cdot \frac{1}{x} - 3\cdot \frac{1}{x}$

  Lösung

  Um die Terme zu vereinfachen, klammerst du gemeinsame Faktoren aus. Um diese zu finden, ist es nützlich, Koeffizienten in Faktoren zu zerlegen. Für die Umrechnungen kannst du das Kommutativgesetz für die Addition und Multiplikation verwenden. Für die Subtraktion und Division gilt aber kein Kommutativgesetz!

  Um Terme mit Divisionen auszuklammern, ist es meistens nützlich, die Divisionen als Brüche zu schreiben. Dann kannst du die Zähler oder Nenner ggf. ausklammern.

  Hier ergeben sich die folgenden Gleichungen:

  • $8 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z)$

  • $8 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + (-1) \cdot z) = 4 \cdot x \cdot (2\cdot y -z )$

  • $a:8-b:4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot a - \frac{1}{4} \cdot b = \frac{1}{4} \cdot \big(\frac{1}{2} \cdot a - b\big) = (a:2-b):4$

  • $3:z + 5:z = 3 \cdot \frac{1}{z} + 5 \cdot \frac{1}{z} = (3+5) \cdot \frac{1}{z}=(3+5):z$

  • $y:a-y:b = \frac{y}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{a} \cdot y - \frac{1}{b} \cdot y =\big(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\big)\cdot y$

• Prüfe die Termumformungen.

  Tipps

  Um die Gleichungen zu überprüfen, kannst du die Klammern ausmultiplizieren.

  Aus Quotienten mit verschiedenen Nennern darfst du die Zähler nicht direkt ausklammern.

  Lösung

  Beim Ausklammern aus Differenzen und Quotienten musst du auf die Vorzeichen und die korrekten Faktoren achten: Ersetze das Minus-Vorzeichen durch den Faktor $(-1)$, so dass aus Differenzen Summen werden. Ersetze Divisionen durch Brüche und zerlege diese in Faktoren, sodass aus Quotienten Produkte werden. So kannst du Fehler beim Ausklammern aus Quotienten vermeiden.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $6 \cdot x \cdot z - 2 \cdot x = 2 \cdot x \cdot (3 \cdot z - 1)$, denn $6 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot z$ und $- 2 \cdot x = (-1) \cdot 2 \cdot x$. Der Faktor $2 \cdot x$ kommt in beiden Summanden vor.

  • $5 \cdot a \cdot x + 4 \cdot b \cdot x = x \cdot (5 \cdot a + 4 \cdot b)$, denn $x$ ist der einzige Faktor, der in beiden Summanden vorkommt.

  • $7 \cdot a \cdot b - 3 \cdot b \cdot c - 4 \cdot b = b \cdot (7 \cdot a - 3 \cdot c - 4)$, denn in jedem der Terme kommt der Faktor $b$ vor. Die Zahlen lassen sich nicht sinnvoll faktorisieren, da $3$, $4$ und $7$ teilerfremd sind.

  • $8: (2\cdot x) + 7:(2 \cdot x) - 3:(2 \cdot x) = 6:x$, denn der gemeinsame Divisor $2 \cdot x$ lässt sich ausklammern. Du erhältst dadurch $8: (2\cdot x) + 7:(2 \cdot x) - 3:(2 \cdot x) = (8+7-3):(2 \cdot x) = 12:(2 \cdot x) = \frac{12}{2} \cdot \frac{1}{x} = 6:x$.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $x:7 - x:5 \neq x:2$, denn $x:7 - x:5 = \frac{x}{7} - \frac{x}{5} = x \cdot \big(\frac{1}{7} - \frac{1}{5} \big) = x \cdot \frac{5-7}{35} = -(2 \cdot x) : 35 \neq x:2$

  • $7:a - 21:a \neq 14:a$, denn $7:a - 21:a = \frac{7}{a} - \frac{21}{a} = (7-21) \cdot \frac{1}{a} = \frac{-14}{a} \neq 14:a$.

  • $5:a - 7:b \neq (5-7):(a \cdot b)$. Aus dem Term $5:a - 7:b$ kann man keinen gemeinsamen Faktor ausklammern, da $a$ und $b$ verschiedene Variablen und $5$ und $7$ teilerfremd sind.

• Erschließe die Umformungen.

  Tipps

  Aus Divisionen kannst du ausklammern, indem du zuerst die Divisionen in Brüche verwandelst und die Brüche als Produkte darstellst.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $\begin{array}{rcl} 8:x- 12:(2 \cdot x) &=& \frac{8}{x} - \frac{12}{2 \cdot x} \\ &=& \frac{1}{x} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 12 \\ &=& \frac{1}{x} \cdot \big(8 - \frac{1}{2} \cdot 12\big) \\ &=& (8 - 12 : 2):x \end{array}$

  Multipliziere im Zweifel die Klammern wieder aus, um die Umformung zu überprüfen.

  Lösung

  Beim Ausklammern aus Differenzen und Quotienten musst du beachten, dass für die Subtraktion und Division kein Kommutativgesetz gilt. Aus Quotienten kannst du ausklammern, indem du die Quotienten als Brüche schreibst und diese dann in Faktoren zerlegst. Hier findest du folgende Umformungen:

  $\begin{array}{rl} 6 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x \cdot z \\ &= 3 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z) \\ &= x \cdot (6 \cdot y + 3 \cdot z) \\ &= 3 \cdot (2 \cdot x \cdot y + x \cdot z) \\ & \\ 6 \cdot x \cdot y - 4 \cdot y \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot y - 2 \cdot 2 \cdot y \cdot z \\ &= 2 \cdot y \cdot (3 \cdot x - 2 \cdot z) \\ &= y \cdot (6 \cdot x - 4 \cdot z) \\ &= 2 \cdot (3 \cdot x \cdot y - 2 \cdot y \cdot z) \\ & \\ 7:x -4:(2 \cdot x) &= \frac{7}{x} -\frac{4}{2 \cdot x} \\ &= 7 \cdot \frac{1}{x} -\frac{4}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \big(7 -\frac{4}{2} \big) \cdot \frac{1}{x} \\ &= (7 - 4:2) : x \\ & \\ 14:(2 \cdot x)- 9:x &= \frac{14}{2 \cdot x} - \frac{9}{x} \\ &= \frac{14}{2} \cdot \frac{1}{x} - 9 \cdot \frac{1}{x} \\ &= \big(\frac{14}{2}- 9 \big)\cdot \frac{1}{x} \\ &= (14:2 - 9):x \end{array}$

• Benenne die Begriffe und Gesetze.

  Tipps

  Eine Division ist eine Aufteilung. Das Ergebnis der Aufteilung, bezogen auf das Ganze, nennt man manchmal Bruchteil.

  Der Quotient ist weder die Zahl, die geteilt wird noch die Zahl, durch die geteilt wird.

  Das Kommutativgesetz für die Multiplikation lautet: $a \cdot b = b \cdot a$.

  Lösung

  Für die Umformung von Termen verwendest du die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und ihre Gesetzmäßigkeiten. Die hier genannten Begriffe haben alle mit der Division zu tun. Für die Division gilt kein Kommutativgesetz: Die Rolle, die die Zahlen in einer Division spielen, sind verschieden und nicht austauschbar. Denn wenn du $8$ Birnen unter vier Kindern aufteilst, kommt ein anderer Bruchteil heraus als wenn du $4$ Birnen unter $8$ Kindern aufteilst. Um diese Unterschiede klar benennen zu können, haben die Zahl, die geteilt wird bzw. durch die geteilt wird und das Ergebnis spezielle Namen:

  • Der Divisor ... ist die Zahl, durch die geteilt wird.

  • Der Dividend ... ist die Zahl, die geteilt wird.

  • Der Quotient ... ist das Ergebnis des Teilens.

  • Das Kommutativgesetz ... gilt für die Division nicht.

  • Eine Division ... kannst du als Bruch darstellen.

• Analysiere die Umformungen.

  Tipps

  Vergleiche die Variablen auf der rechten und linken Seite.

  Lösung

  Um die zusammengehörigen Terme zu finden, kannst du z. B. die Variablen auf beiden Seiten vergleichen. Dadurch findest du erste Zuordnungen. Diese kannst du dann nachrechnen. Alternativ kannst du auch direkt nach den passenden Umformungen suchen. Hier sind die Rechnungen:

  $\begin{array}{rl} 6\cdot x \cdot y - 9\cdot x \cdot z + 3\cdot x \cdot y \cdot z &= 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y - 3 \cdot 3 \cdot x \cdot z + 3 \cdot x \cdot y \cdot z \\ &= 3 \cdot x \cdot (2 \cdot y - 3 \cdot z + y \cdot z) \\ & \\ 6 \cdot x \cdot z - 3 \cdot y \cdot z - 3 \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot z - 3 \cdot y \cdot z - 3 \cdot z \\ &= 3 \cdot z \cdot (2 \cdot x - y - 1) \\ & \\ 4 \cdot x \cdot y + 12 \cdot y \cdot z - 6 \cdot x \cdot y &= 2 \cdot 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot y \cdot z - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y \\ &= 2 \cdot y \cdot (2 \cdot x + 6 \cdot z - 3 \cdot x) \\ &= 2 \cdot y \cdot (- x + 6 \cdot z) \\ & \\ 7 \cdot x \cdot y - 21 \cdot y \cdot z - 14 \cdot x \cdot z &= 7 \cdot x \cdot y + (-7) \cdot 3 \cdot y \cdot z + (-7) \cdot 2 \cdot x \cdot z \\ &= (-7) \cdot (3\cdot y \cdot z + 2 \cdot x \cdot z - x \cdot y) \\ &\\ 8\cdot a \cdot x \cdot y - 14 \cdot a \cdot b \cdot y + 18 \cdot a \cdot y \cdot z &= 2 \cdot 4 \cdot a \cdot x \cdot y - 2 \cdot 7 \cdot a \cdot b \cdot y + 2 \cdot 9 \cdot a \cdot y \cdot z \\ &= 2 \cdot a \cdot y \cdot (4 \cdot x -7 \cdot b + 9 \cdot z) \end{array}$