Additionssätze cos(a+b) und cos(a-b) – Herleitung und Beweis

Additionssätze cos(a+b) und cos(a-b) – Herleitung und Beweis Übung

• Gib die beiden Additionssätze für den Kosinus an.

  Tipps

  Der Additionssatz gibt eine Formel zur Berechnung des Kosinuswertes von Summen oder Differenzen von Winkeln an. Dabei werden die Kosinus- und Sinuswerte der einzelnen Winkel benötigt.

  Der trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ lässt sich mit einem Kosinussatz herleiten, indem du in $\cos (\alpha -\beta)$ die Annahme $\beta =\alpha$ machst.

  Beachte, dass $\cos (2\cdot \alpha)=\cos (\alpha +\alpha )= \cos^2 (\alpha ) -\sin^2 (\alpha ) $ ist.

  Die Ausdrücke für $\cos (\alpha +\beta)$ und $\cos (\alpha -\beta)$ unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen.

  Lösung

  Die Additionssätze für den Kosinus geben Formeln an für die Berechnung des Kosinus

  • von Summen oder
  • von Differenzen

  von Winkeln:

  • $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$ sowie
  • $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

• Beschreibe, wie der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)$ bewiesen werden kann.

  Tipps

  Beginne mit einer der gegebenen Aussagen, wo der Kosinus als Funktion auftaucht. Schließlich willst du ja etwas über den Kosinus von $\alpha +\beta$ aussagen.

  Die erste binomische Formel lautet allgemein:

  Lösung

  1. Man startet mit dem Kosinussatz $c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)$.
  2. Nach dem Winkelsummensatz ist $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ und damit $\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$.
  3. Einer Formelsammlung kann entnommen werden, dass $\cos(180^\circ-(\alpha+\beta))=-\cos(\alpha+\beta)$ ist.
  4. Es gilt also: $c^2=a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.
  5. Mit dem Satz des Pythagoras kann

  • in dem Dreieck $\Delta_{ADC}$: $b^2=\overline{AD}^2+\overline{DC}^2$ und damit $\overline{AD}^2=b^2-\overline{DC}^2$ hergeleitet werden und ebenso
  • in dem Dreieck $\Delta_{DBC}$: $a^2=\overline{DB}^2+\overline{DC}^2$ und damit $\overline{DB}^2=a^2-\overline{DC}^2$.

  6. Nun verwendet man noch Winkelfunktionen in rechtwinkligen Dreiecken

  • in $\Delta_{ADC}$: $\sin(\alpha)=\frac{\overline{DC}}{b}$ oder äquivalent dazu $\overline{DC}=\sin(\alpha)\cdot b$ sowie
  • $\cos(\alpha)=\frac{\overline{AD}}{b}$ oder äquivalent dazu $\overline{AD}=\cos(\alpha)\cdot b$.
  • In $\Delta_{DBC}$: $\sin(\beta)=\frac{\overline{DC}}{a}$ oder äquivalent dazu $\overline{DC}=\sin(\beta)\cdot a$ sowie
  • $\cos(\beta)=\frac{\overline{DB}}{a}$ oder äquivalent dazu $\overline{DB}=\cos(\beta)\cdot a$.

  • Nun kann der Additionssatz unter Verwendung der hergeleiteten Gleichungen bewiesen werden. Wir haben bereits gezeigt:

  $c^2=a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Es gilt $c=\overline{AD}+\overline{DB}$, also ist

  $\left(\overline{AD}+\overline{DB}\right)^2 = a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Nun wird die 1. binomische Formel angewendet:

  $\overline{AD}^2+2\cdot \overline{AD}\cdot \overline{DB}+\overline{DB}^2= a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Durch Einsetzen von $\overline{AD}^2=b^2-\overline{DC}^2$ sowie $\overline{DB}^2=a^2-\overline{DC}^2$ erhält man

  $b^2-\overline{DC}^2+2\cdot \overline{AD}\cdot \overline{DB}+a^2-\overline{DC}^2= a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Es ist $\overline{AD}=\cos(\alpha)\cdot b$ sowie $\overline{DB}=\cos(\beta)\cdot a$. Dies führt zu

  $b^2-\overline{DC}^2+2\cdot\cos(\alpha)\cdot b \cdot\cos(\beta)\cdot a +a^2-\overline{DC}^2= a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Die Terme können zu

  $a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-2\cdot \overline{DC}\cdot \overline{DC}=a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$

  umgeformt werden.

  • Mit $\overline{DC}=\sin(\alpha)\cdot b$ sowie $\overline{DC}=\sin(\beta)\cdot a$ erhält man

  $a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)=a^2+b^2+2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  • Da auf beiden Seiten $a^2+b^2$ steht, kann dies subtrahiert werden zu

  $2\cdot a \cdot b \cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)- 2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)=2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha+\beta)$.

  Zuletzt wird durch $2\cdot a\cdot b$ dividiert und man gelangt zu

  $\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)- \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)=\cos(\alpha+\beta)$.

  Dies ist der gesuchte Additionssatz.

• Berechne $\cos(75^\circ)$ mit Hilfe des Additionssatzes $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

  Tipps

  Es ist $75^\circ=30^\circ+45^\circ$.

  Also ist $\cos(75^\circ)=\cos(30^\circ+45^\circ)$.

  Lösung

  Es ist $\cos(75^\circ)=\cos(30^\circ+45^\circ)$. Also kann der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet werden, wobei $\alpha=30^\circ$ und $\beta=40^\circ$:

  $\begin{align*} \cos(30^\circ+45^\circ)&=\cos(30^\circ)\cdot \cos(45^\circ)-\sin(30^\circ)\cdot \sin(45^\circ)\\ &=\frac12\cdot \sqrt3\cdot \frac12\cdot \sqrt2-\frac12\cdot \frac12\cdot \sqrt2\\ &=\frac14\cdot \sqrt2\cdot(\sqrt3-1)\\ &=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\\ &\approx 0,518. \end{align*}$

• Begründe den trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ mit einem Additionssatz.

  Tipps

  Dies ist der Verlauf der Kosinusfunktion.

  Den Wert von $\cos (\alpha -\alpha )$ kannst du entweder direkt angeben oder über einen Additionssatz bestimmen.

  Lösung

  Mit Hilfe des Additionssatzes

  $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  kann der trigonometrische Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ bewiesen werden.

  Hierfür verwendet man $0^\circ=\alpha-\alpha$ für einen beliebigen Winkel $\alpha$ sowie $\cos(0^\circ)=1$:

  $\begin{align*} 1&=\cos(0^\circ)\\ &=\cos(\alpha-\alpha)\\ &=\cos(\alpha)\cdot \cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha)\\ &=\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha). \end{align*}$

• Gib den Beweis des Additionssatzes $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ wieder.

  Tipps

  Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Ersetze in der bekannten Formel für $\cos (\alpha +\beta )$ den Winkel $\beta$ durch $-\beta$.

  Lösung

  Zum Nachweis des Additionssatzes $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ wird der Additionssatz $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$ verwendet.

  Zusätzlich benötigt man Symmetrieeigenschaften

  • des Sinus: $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$, d.h. die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
  • des Kosinus: $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, d.h. die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Wir berechnen:

  $\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)& =\cos(\alpha)\cdot\cos(-\beta)- \sin(\alpha)\cdot \sin(-\beta) \\ & = \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)- \sin(\alpha)\cdot (-\sin(\beta))\\ & = \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+ \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta). \end{align*}$

• Leite eine Formel für $\cos(2\cdot \alpha)$ her.

  Tipps

  Verwende den Additionssatz

  $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

  Es ist $2\cdot \alpha=\alpha+\alpha$.

  Verwende den trigonometrischen Pythagoras

  $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

  Beachte, dass zwei Formeln richtig sind, da du den trigonometrischen Pythagoras sowohl nach $\sin^2(\alpha)$ als auch nach $\cos^2(\alpha)$ umstellen kannst.

  Lösung

  Unter Verwendung von $2\cdot \alpha=\alpha+\alpha$ sowie des Additionssatzes

  $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  mit $\beta=\alpha$ kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} \cos(2\cdot \alpha)&=\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\\ &=\cos(\alpha)\cdot \cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha)\\ &=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha). \end{align*}$

  Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ erhältst du $\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$ bzw. $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$.

  Setzt du dies in die obige Formel ein, so bekommst du $\cos(2\cdot \alpha) =2\cdot \cos^2(\alpha)-1$ bzw. $\cos(2\cdot \alpha) =1-2\cdot \sin^2(\alpha)$.