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Addition und Subtraktion von Vektoren

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Team Digital
Addition und Subtraktion von Vektoren
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Addition und Subtraktion von Vektoren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Vektoren zu addieren und zu subtrahieren.

Zunächst lernst du, wie du Vektoren addieren kannst.

Addition von Vektoren

Anschließend erfährst du, wie du Vektoren subtrahieren kannst.

Subtraktion von Vektoren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Vektoren, Vektorkoordinaten, Vektoraddition und Vektorsubtraktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Vektoren kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Koordinatensystemen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man Vielfache von Vektoren bildet.

Transkript Addition und Subtraktion von Vektoren

Erinnerst du dich, wie du im Kindergarten oder der Grundschule das Addieren und Subtrahieren gelernt hast? Heute ist das alles Kinderkram für dich. Dass die "Addition und die Subtraktion von Vektoren" auch echt easy ist, zeigen wir dir in diesem Video. Vektoren kennst du ja schon. Sie lassen sich durch Pfeile darstellen. Diese Pfeile sind durch ihre Länge und ihre Richtung gekennzeichnet. Aber sie sind frei beweglich im Raum, denn sie sind "nicht ortsgebunden". Egal, wohin wir den Pfeil verschieben, er stellt weiterhin den gleichen Vektor dar. Die Koordinaten von Vektoren schreibt man üblicherweise untereinander. So, diese beiden Gesellen hier wollen wir nun ADDIEREN. Vektor a verläuft nach oben und dann nach rechts, Vektor b verläuft auch nach rechts, aber nach unten. Auf den ersten Blick kann man sich jetzt nicht wirklich denken, wie man hier was addieren soll. Was uns da hilft, ist die eben genannte Eigenschaft von Vektoren: Sie sind nicht ortsgebunden. Wir können also den Vektor b nehmen und ihn oben an die Pfeilspitze von a anlegen. Jetzt zeichnen wir einen neuen Vektor ein, der im Startpunkt des ersten Vektors beginnt und an der Pfeilspitze des ZWEITEN Vektors endet. Dieser neue Vektor ist die Summe von Vektor a und Vektor b. Aber warum ist genau DAS die Summe der beiden Vektoren? Warum funktioniert es zum Beispiel SO nicht? Du kannst dir vorstellen, dass jeder Vektor eine BEWEGUNG mit einer bestimmten Länge und Richtung ist. Und der neue Summenvektor ist dabei der kürzeste Weg, um von A nach B zu kommen. Schauen wir uns das nochmal im Koordinatensystem genauer an: Wenn man nun also den ERSTEN Vektor entlangläuft, und dann so läuft, wie es die Länge und die Richtung des ZWEITEN Vektors anzeigen, landet man genau dort, wo auch unser Summenvektor hinzeigt. Das passt also prima! Der Summenvektor stellt dabei sozusagen den direkten Weg dar. Das ganze folgt dem gleichen Prinzip wie damals, als wir in der Grundschule Zahlen am Zahlenstrahl addiert haben. Wenn wir uns zum Beispiel vorstellen wollten, was "drei plus vier" bedeutet, sind wir von der Null aus drei Schritte nach rechts gegangen und anschließend noch vier dazu. Wir kommen am gleichen Punkt an, wie wenn wir direkt sieben Schritte gegangen wären. So einfach ist es! Dieses Verfahren wenden wir nun auf die Koordinaten von Vektoren an. Und warum das so einfach geht, sehen wir jetzt. Unser Vektor a hat die Koordinaten "eins, drei", Vektor b hat die Koordinaten "zwei, minus eins" Wenn wir nun Vektor b an die Spitze von Vektor a setzen, und vom Startpunkt zum Endpunkt wandern wollen, können wir den Weg in vier Abschnitte einteilen. Zuerst gehen wir eine Einheit nach rechts, dann drei Einheiten nach oben, dann zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit wieder nach unten. Jetzt bringen wir die Schritte noch in eine andere Reihenfolge und laufen zuerst alle Einheiten nach rechts, also drei Einheiten insgesamt, und anschließend in die vertikale Richtung, zuerst drei nach oben und dann wieder eine nach unten. Der neue Vektor hat jetzt also die Koordinaten "eins plus zwei" und "drei minus eins", also "drei, zwei". Und wie dieser aussieht, haben wir haben ja schonmal gesehen. Genauso können wir auch drei oder noch mehr Vektoren addieren, indem wir den Anfangspunkt immer an die Spitze des vorhergehenden Pfeils anlegen. Der Summenvektor reicht dann vom Anfang des ersten bis zur Spitze des letzten Pfeils der Kette. Allgemein können wir festhalten, dass wir Vektoren addieren, indem wir ihre Koordinaten ZEILENWEISE addieren. So erhalten wir einen neuen Vektor. Selbst wenn wir Vektoren betrachten, die im dreidimensionalen Raum aufgespannt sind, können wir ihre Koordinaten einfach einzeln addieren. Dabei ist es übrigens egal, in welcher Reihenfolge wir die beiden Vektoren addieren. " Vektor a plus Vektor b" ergibt das gleiche wie " Vektor b plus Vektor a". Bei der SUBTRAKTION sieht es dagegen ganz anders aus. Natürlich ist "fünf minus drei" nicht das Gleiche wie "drei minus fünf". Und das überträgt sich auch auf die Vektorrechnung. Nehmen wir wieder unsere liebgewonnenen Vektoren a und b. Diesmal wollen wir "a MINUS b" berechnen. Das können wir umformen in "a plus minus b". Geometrisch bedeutet das, dass wir zum Vektor a nun den GEGENvektor von b addieren. Also einmal den Vektorpfeil von b umkehren und an die Spitze des Vektorpfeils von a anlegen. Nun können wir wie eben den neuen Vektor einzeichnen, der sich aus dieser Addition ergeben hat. Da der Vektor b und sein Gegenvektor parallel zueinander liegen, können wir den neu entstandenen Vektor nun parallelverschieben und erkennen, dass er von der Pfeilspitze von b zur Pfeilspitze von a verläuft. Also quasi vom Subtrahenden zum Minuenden. Rein rechnerisch ist die Subtraktion AUCH kein Problem: Wir müssen einfach nur die Vektorkoordinaten zeilenweise subtrahieren. Wofür das alles gut ist? Es gibt vor allem in der Physik praktische Anwendungsbezüge. Mit Vektoren kann man gerichtete Größen wie zum Beispiel Kräfte oder Geschwindigkeiten darstellen. Mit der Vektoraddition können wir beispielsweise ermitteln, in welche Richtung sich Fahrzeuge bewegen, wenn sich verschiedene Antriebskräfte überlagern. So, jetzt fassen wir das Ganze nochmal kurz zusammen. Vektoren werden GRAPHISCH addiert, indem man die einzelnen Vektorpfeile wie eine Kette aneinanderreiht. Der resultierende Summenvektor reicht dann vom Anfangspunkt bis zur letzten Pfeilspitze der Kette. Wenn man Vektoren ANALYTISCH, also rechnerisch, addieren will, muss man die Koordinaten zeilenweise addieren. Auch bei der Subtraktion werden die Koordinaten ZEILENWEISE subtrahiert. Allerdings verläuft der Differenzvektor von der Pfeilspitze des Subtrahenden zur Pfeilspitze des Minuenden. Die VektorADDITION wird vor allem in der Physik gebraucht, da Kräfte und viele weitere Größen sich vektoriell verhalten. Und mit ein bisschen Übung beherrschst du diese neue Art des Addierens und Subtrahierens auch ganz schnell!

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