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Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

Im Video "Bruchterme rechnen" lernst du, wie man Bruchterme addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Erfahre, wie du die Regeln der Bruchrechnung auf Terme mit Variablen anwendest, um die richtigen Resultate zu erhalten. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Was ist der kleinste gemeinsame Nenner zweier Bruchterme?

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Team Digital
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen
lernst du in der Sekundarstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

Mit Bruchtermen rechnen

In diesem Video wird verständlich erklärt, wie man Bruchterme addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Die Regeln für das Rechnen mit Bruchtermen sind dieselben wie in der Bruchrechnung mit Zahlen. Es spielt für die Anwendung der Regeln keine Rolle, dass die Bruchterme eine Variable xx und ihre Potenzen enthalten.

Bruchterme addieren – Definition

Die Regeln der Bruchrechnung kannst du auch auf Bruchterme anwenden, die eine Variable xx und ihre Potenzen enthalten. In der Bruchrechnung hast du gelernt, Brüche zu addieren, indem du sie zuerst gleichnamig machst. Dasselbe kannst du auch mit Bruchtermen machen. Denn nur gleichnamige Brüche kannst du direkt addieren, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.

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Vorschaubild einer Übung

Bruchterme addieren – Beispiel

Wir beginnen mit folgender Addition:

56x+32x2\dfrac{5}{6x} + \dfrac{3}{2x^2}

Um die Bruchterme addieren zu können, musst du sie so erweitern oder kürzen, dass ihre Nenner gleich werden. Die Faktoren der beiden Nenner sind 23x2 \cdot 3 \cdot x und 2xx2 \cdot x \cdot x. Das kleinste gemeinsame Vielfache – abgekürzt: kgV – dieser Terme ist 23xx=6x22 \cdot 3 \cdot x \cdot x = 6x^{2}. Dieses kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner nennt man auch den kleinsten gemeinsamen Nenner. Erweiterst du die beiden Bruchterme durch die fehlenden Terme, sodass sie das kleinste gemeinsame Vielfache als Nenner haben, so kannst du die Brüche anschließend addieren. Im Beispiel sieht die Erweiterung so aus:

5x6xx+332x23=5x6x2+96x2\dfrac{5 \cdot x}{6x \cdot x} + \dfrac{3 \cdot 3}{2x^2 \cdot 3} = \dfrac{5x}{6x^2} + \dfrac{9}{6x^2}

Jetzt haben beide Bruchterme den Nenner 6x26x^{2}, du kannst sie also addieren:

5x6x2+96x2=5x+96x2\dfrac{5x}{6x^2} + \dfrac{9}{6x^2} = \dfrac{5x+9}{6x^2}

Da die Koeffizienten 55 und 99 im Zähler sowie 66 im Nenner keine gemeinsamen Teiler besitzen, kannst du das Ergebnis nicht mehr durch Kürzen vereinfachen.

Bruchterme subtrahieren – Definition

Du kannst Bruchterme, z.B. gebrochen rationale Funktionen, auch subtrahieren. Das geht im Prinzip genauso wie beim Addieren: Du bringst die Terme zuerst auf einen gemeinsamen Nenner, dann kannst du die Zähler subtrahieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten. Eventuell kannst du das Ergebnis dann noch vereinfachen.

Bruchterme subtrahieren – Beispiel

Wir betrachten die Subtraktion der folgenden gebrochen rationalen Terme:

34xx23x+1\dfrac{3}{4x} - \dfrac{x^2}{3x+1}

Die Faktoren der beiden Nenner sind 22x2 \cdot 2 \cdot x und (3x+1)(3x+1). Die Nenner haben also keine gemeinsamen Faktoren. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist dann das Produkt der beiden Nenner:

22x(3x+1)=12x2+4x2 \cdot 2 \cdot x \cdot (3x+1) = 12x^{2} + 4x

kleinster gemeinsamer Nenner

Um die beiden gegebenen Brüche auf diesen Nenner zu erweitern, musst du jeden Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen erweitern:

3(3x+1)4x(3x+1)x24x(3x+1)4x\dfrac{3 \cdot (3x+1)}{4x \cdot (3x+1)} - \dfrac{x^2 \cdot 4x}{(3x+1) \cdot 4x}

Mit dem Distributivgesetz kannst du die Terme in den Zählern und Nennern ausmultiplizieren. Dabei musst du die Vorrangregeln beachten: Den Faktor 3x+13x+1 musst du in Klammern setzen, damit er vollständig als Faktor in die Rechnung eingeht. Denn Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

Der Nenner beider Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache 12x2+4x12x^{2} +4x. Du erhältst durch Ausmultiplizieren:

3(3x+1)4x(3x+1)x24x(3x+1)4x=9x+312x2+4x4x312x2+4x\dfrac{3 \cdot (3x+1)}{4x \cdot (3x+1)} - \dfrac{x^2 \cdot 4x}{(3x+1) \cdot 4x} = \dfrac{9x+3}{12x^2+4x} - \dfrac{4x^3}{12x^2+4x}

Diese Bruchterme sind gleichnamig, d.h. sie haben den gleichen Nenner. Du kannst sie also zusammenfassen und umsortieren:

9x+312x2+4x4x312x2+4x=9x+34x312x2+4x=4x3+9x+312x2+4x\dfrac{9x+3}{12x^2+4x} - \dfrac{4x^3}{12x^2+4x} = \dfrac{9x+3-4x^3}{12x^2+4x} = \dfrac{-4x^3+9x+3}{12x^2+4x}

Es ist hilfreich, die Terme immer nach den Potenzen von xx in absteigender Reihenfolge zu sortieren.

Bruchterme multiplizieren – Definition

In der Bruchrechnung lernst du, Brüche zu multiplizieren, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst. Das geht genauso auch mit Bruchtermen, die eine Variable und ihre Potenzen enthalten. Du musst also nicht erweitern, kannst aber eventuell am Ende kürzen.

Bruchterme multiplizieren – Beispiel

Wir berechnen das folgende Produkt von Bruchtermen:

58x22x33=52x38x23\dfrac{5}{8x^2} \cdot \dfrac{2x^3}{3} = \dfrac{5 \cdot 2x^3}{8x^2 \cdot 3}

Um das Produkt auszurechnen, kannst du die Faktoren des Zählers und des Nenners getrennt aufschreiben. Dann kannst du Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen:

Kürzen gleicher Faktoren aus einem Bruchterm

Bruchterme dividieren – Definition

Du kannst gebrochen rationale Terme dividieren, wie du gewöhnliche Brüche dividierst: Du multiplizierst den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Du vertauschst also bei dem zweiten Bruch Zähler und Nenner und änderst das Geteiltzeichen zu einem Malzeichen. Nun kannst du die Division der Bruchterme wie eine Multiplikation ausrechnen.

Bruchterme dividieren – Beispiel

Wir betrachten folgende Division von Bruchtermen:

4x3x+1:x+2x\dfrac{4x^3}{x+1} : \dfrac{x+2}{x}

Links steht der Dividend, rechts der Divisor. Du bildest den Kehrwert oder Kehrbruch des Divisors, also den Bruch xx+2\frac{x}{x+2}. Nun multiplizierst du den Dividenden mit diesem Kehrbruch des Divisors:

4x3x+1:x+2x=4x3x+1xx+2\dfrac{4x^3}{x+1} : \dfrac{x+2}{x} = \dfrac{4x^3}{x+1} \cdot \dfrac{x}{x+2}

Dann fasst du die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen:

4x3x+1xx+2=4x3x(x+1)(x+2)\dfrac{4x^3}{x+1} \cdot \dfrac{x}{x+2} = \dfrac{4x^3 \cdot x}{(x+1) \cdot (x+2)}

Da die Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben, kannst du die Produkte im Zähler und im Nenner einfach ausmultiplizieren:

4x3x(x+1)(x+2)=4x4x2+3x+2\dfrac{4x^3 \cdot x}{(x+1) \cdot (x+2)} = \dfrac{4x^4}{x^2+3x+2}

Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kurz zusammengefasst

In diesem Video wird das Rechnen mit Bruchtermen verständlich erklärt. Du erfährst, wie man die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Bruchtermen durchführt. Diese Rechnung machst du nach dem gleichen Prinzip wie beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gewöhnlicher Brüche.

Transkript Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

Chris und zwei seiner Freundinnen wollen eine Drohne für den Forschungswettbewerb ihrer Schule bauen. Es gibt nur einen Haken: In diesem Jahr müssen alle Schüler bei ihren Beiträgen gebrochenrationale Terme und vier unterschiedlichen Rechenoperationen verwenden. Die Beiträge werden danach bewertet, wie gut sie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gebrochenrationaler Terme in ihre Projekte eingebaut haben. Dummerweise waren die drei zu sehr damit beschäftigt, rumzualbern. Als es Abend wird, gehen die Mädchen nach Hause und Chris wird klar, dass er das Projekt alleine fertigstellen muss. Sein Vater ist Ingenieur und er hat ihm beigebracht Probleme Schritt für Schritt anzugehen. Ein guter Rat. Darum will Chris sich sein Projekt ganz genau anschauen. Da müssen so viele Kabel verbunden werden. Was soll Chris tun? Er muss die gebrochenrationalen Gleichungen mit unterschiedlichen Rechenoperationen lösen und dann die Kabel mit den korrekten Lösungen verbinden. Dann wird die Drohne funktionieren. Er schaut sich die erste Aufgabe an und weiß sofort, was zu tun ist. Er muss die beiden gebrochenrationalen Terme addieren. Chris weiß, wenn er Brüche addieren will, muss er zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von den Brüchen finden. Dazu listet Chris zuerst die Faktoren der beiden Nenner auf. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 2 mal 3 mal x mal x oder 6 mal x Quadrat. Als Nächstes erweitert er jeden Bruch mit dem Faktor, der im jeweiligen Nenner noch fehlt, um auf das kgV 6 x Quadrat zu kommen. Er erweitert 5 durch 6x mit x und 3 durch 2 mal x Quadrat mit 3. Dadurch haben beide Brüche nun den gleichen Nenner. Jetzt kann Chris die Zähler addieren und die Brüche falls nötig vereinfachen. Da 5, 6 und 9 keine gemeinsamen Teiler besitzen, kann Chris den Bruch aber nicht vereinfachen. Großartig. Eine erledigt, drei fehlen noch. Beim nächsten Kabel muss Chris die gebrochenrationalen Terme subtrahieren. Zum Glück geht das genau so wie bei der Addition. Zunächst muss Chris dafür sorgen, dass beide Brüche den gleichen Nenner haben. Er listet alle Faktoren von 4x und 3x plus 1 auf. Das bringt nichts. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten, multipliziert Chris die beiden Nenner. Er muss den ersten Bruch mit 3x plus 1 erweitern. Den zweiten Bruch erweitert er mit 4x. Chris nutzt das Distributivgesetz und multipliziert die Terme in den Zählern und anschließend die Terme im Nenner, welche das kgV ergeben. Da beide Brüche nun den selben Nenner haben, kann er die Brüche zusammenfassen. Nachdem er die Zähler subtrahiert hat, ordnet Chris die Terme im Zähler entsprechend der Größe der Exponenten in absteigender Reihenfolge. Zwei erledigt, zwei fehlen noch. Chris kommt gut voran! Bei den nächsten Kabeln muss Chris multiplizieren. Er braucht sich also keine Gedanken mehr um kleine gemeinsame Vielfache zu machen. Er muss einfach nur die Zähler und die Nenner multiplizieren. Chris schreibt die Faktoren des Zählers und des Nenners getrennt voneinander auf. Den nächsten Schritt findet Chris am besten. Es ist an der Zeit, gleiche Faktoren zu kürzen, also solche, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Eine 2 und zwei x stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner. Chris kürzt sie und übrig bleibt 5x durch 12. Das ging ja flott. Oh oh, die Sonne linst schon über den Horizont. Chris muss sich ranhalten, wenn er die Verkabelung rechtzeitig erledigt haben will. Für die letzten Kabel gibt es zwei mögliche Lösungen. Soll er einfach ausprobieren, welche funktioniert? Chris beschließt, die Aufgabe zu lösen. Er darf sich jetzt keinen Fehler erlauben. Gebrochenrationale Terme zu dividieren funktioniert genau so wie die Division normaler Brüche. Chris wandelt die Aufgabe einfach in eine Multiplikation um und vertauscht beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Da der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Terme besitzen, kann Chris einfach alle Elemente im Zähler multiplizieren und die beiden Klammern im Nenner ausmultiplizieren. Schon fertig! Gerade als die Sonne aufgeht, verbindet Chris die letzten Kabel miteinander. Gerade rechtzeitig. Doch als er beim Wettbewerb ankommt, sieht er, dass Drohnen dieses Jahr offenbar sehr beliebt sind. Sogar der Gewinner ist erstaunt!

9 Kommentare
  1. Hier wird alles viel besser erklärt als in der Schule, danke (:

    Von Soffl die Kartoffl, vor etwa 3 Jahren
  2. ich habe alles gut verstanden und es ist sehr hilfreich vielen dank für das viedeo

    Von Luisa, vor mehr als 3 Jahren
  3. Dankeschön

    Von Marlene, vor mehr als 3 Jahren
  4. Gutes Video (Hab 5 Sterne gegeben)

    Von petty, vor fast 4 Jahren
  5. Viel besser erklärt als in der Schule!
    Danke :)

    Von Romy Rohde, vor fast 4 Jahren
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Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Übung

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