Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität Übung

• Gib jeweils den zutreffenden Proportionalitätsfaktor $k$ an.

  Tipps

  Wenn du die gegebenen Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung $y=k\cdot x$ einsetzt, dann kannst du diese nach $k$ umstellen.

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  $x=50$ und $y=100$

  Somit ergibt sich folgende Rechnung für den Proportionalitätsfaktor $k$:

  $\begin{array}{rcl} 100 &=& k\cdot 50 & \vert :50 \\ 2 &=& k & \end{array}$

  Lösung

  Folgende Spielergebnisse sind uns bekannt:

  Spiel 1: Gewichtheben

  • Stärkules: $y=3\,000\ \text{kg}$
  • Pumpi: $x=2\ \text{kg}$

  Spiel 2: Hochsprung

  • Arnie: $y=6\ \text{m}$
  • Pumpi: $x=1\ \text{m}$

  Außerdem wissen wir, dass es sich dabei um zwei Unentschieden handelt. Also muss zwischen diesen Werten eine direkte Proportionalität vorliegen. Wir setzen die Werte in die Gleichung $y=k\cdot x$ ein und rechnen.

  Spiel 1: Gewichtheben

  $\begin{array}{rcll} 3\,000 &=& k\cdot 2 & \vert :2 \\ 1\,500 &=& k & \end{array}$

  Spiel 2: Hochsprung

  $\begin{array}{rcll} 6 &=& k\cdot 1 & \vert :1 \\ 6 &=& k & \end{array}$

• Berechne den Proportionalitätsfaktor $k$.

  Tipps

  Es handelt sich bei der gegebenen Tabelle um Werte mit direkter Proportionalität. Das heißt, dass jedes Wertepaar denselben Proportionalitätsfaktor $k$ liefert.

  Du kannst also selbst wählen, mit welchem Wertepaar du rechnen möchtest.

  Mit dem berechneten Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du bestimmen, ob Stärkules oder Arnie vorn liegt.

  Dafür setzt du die Leistung von einem der beiden in die Gleichung $y=k\cdot x$ ein und berechnest die andere Variable. Ist der berechnete Wert größer als die angegebene Leistung, hat dieser Sportler verloren. Doch ist der Wert kleiner, hat er gewonnen. Falls der berechnete Wert der gegebenen Leistung entspricht, liegt (wieder) ein Gleichstand vor.

  Lösung

  Gegeben ist folgende Tabelle vom interstellaren Komitee für Gewichte und Maßeinheiten:

  $\begin{array}{l|l|l|l|l} x & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 150 & 200 & 250 & 300 \end{array}$

  Um den Proportionalitätsfaktor $k$ ausgehend von der Gleichung $y=k\cdot x$ zu bestimmen, setzen wir ein Wertepaar aus der Tabelle in die Gleichung ein und lösen diese nach dem Proportionalitätsfaktor auf:

  $\begin{array}{lcrl} 150 &=& k\cdot 3 & \vert :3 \\ 50 &=& k & \end{array}$

  Nun setzen wir die Leistung von Stärkules vom Planeten Adonis in die Gleichung $y=50x$ ein, sodass wir berechnen können, welcher Leistung diese auf dem Planeten Muskolon entsprechen würde. Da $y$ den Leistungen auf dem Planeten Adonis entspricht, setzen wir die Leistung von Stärkules in $y$ ein. Wir erhalten:

  $\begin{array}{lcrl} 100 &=& 50\cdot x & \vert :50 \\ 2 &=& x & \end{array}$

  Das entspricht genau der Leistung von Arnie. Somit ist (wieder) ein Gleichstand gegeben.

• Entscheide jeweils, ob direkte Proportionalität vorliegt.

  Tipps

  Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn sie sich im gleichen Maße abhängig voneinander verändern.
  Das bedeutet beispielsweise, dass das Halbieren der ersten Größe das Halbieren der zweiten Größe verursacht.

  Hier ein Beispiel zu einer nicht direkt proportionalen Zuordnung:

  Die Busfahrt für einen Ausflug kostet $300$ Euro.

  Wenn $50$ Schüler*innen an dem Ausflug teilnehmen, dann zahlt jede*r Schüler*in $6$ Euro für die Busfahrt. Nehmen nur $25$ Schüler*innen teil, so zahlt jede*r Schüler*in $12$ Euro.

  Es gilt: Halbiert man die Anzahl der Schülerinnen und Schüler, so verdoppeln sich die Busfahrtkosten pro Schüler*in.

  Lösung

  Schauen wir uns die gegebenen Größen an und bewerten wir jeweils, ob es sich um direkt zueinander proportionale Größen handelt:

  Gefahrene Strecke und Kraftstoffverbrauch

  Wir wissen, dass ein Auto zum Vorankommen Kraftstoff benötigt. Je mehr Strecke wir fahren, desto mehr verbraucht das Auto an Kraftstoff. Nehmen wir an, dass ein Auto $7$ Liter Kraftstoff pro $100$ Kilometer verbraucht. So verbraucht das Auto für eine Strecke von $200$ Kilometern $14$ Liter Kraftstoff. Somit liegt zwischen diesen beiden Größen eine direkte Proportionalität vor.

  Anzahl der Wasserschläuche und Füllzeit eines Beckens

  Wenn das Füllen eines Beckens zu lange dauert, würde man sich mit der Erhöhung der Anzahl der Wasserschläuche weiterhelfen: Je mehr Wasserschläuche einem zur Verfügung stehen, desto schneller ist ein Becken gefüllt. Wir sehen also, wenn sich die Anzahl der Wasserschläuche erhöht, nimmt die Füllzeit ab. Somit liegt keine direkte Proportionalität vor.

  Fahrtgeschwindigkeit und Fahrtdauer

  Eine Fahrt dauert weniger lange, wenn man schneller fährt. Somit bewirkt das Erhöhen der Geschwindigkeit die Abnahme der Fahrtdauer. Wenn wir doppelt so schnell fahren, halbiert sich unsere Fahrtdauer. Also liegt keine direkte Proportionalität vor.

  Fahrtgeschwindigkeit und gefahrene Strecke pro Zeiteinheit

  Je schneller ein Auto fährt, desto mehr Strecke legt es pro Zeiteinheit zurück. Während ein Auto mit einer Geschwindigkeit von $50$ Kilometer pro Stunde in zwei Stunden $100$ Kilometer zurücklegt, legt es mit einer doppelt so großen Geschwindigkeit, also $100$ Kilometer pro Stunde, in zwei Stunden $200$ Kilometer zurück. Wir sehen, dass eine Verdoppelung der Geschwindigkeit eine Verdoppelung der zurückgelegten Strecke verursacht. Hier liegt also eine direkte Proportionalität vor.

• Ermittle die fehlenden Werte in der Tabelle.

  Tipps

  Ermittle zunächst ausgehend von der Gleichung $y=k\cdot x$ den Proportionalitätsfaktor $k$. Dabei kannst du frei wählen, für welche Größe (Arbeitszeit oder Arbeitslohn) die Variablen $x$ und $y$ stehen sollen. Du musst nur darauf achten, dass du bei deinen Berechnungen einheitlichvorgehst.

  Wenn du den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmt hast, kannst du in die Gleichung $y=k\cdot x$ den jeweils gegebenen Tabellenwert einsetzen und den fehlenden berechnen.

  Lösung

  Bei den Größen Arbeitszeit und Arbeitslohn handelt es sich um direkt proportionale Größen. Somit können wir einen Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, mit welchem jedes weitere Wertepaar in der Tabelle ermittelt werden kann.

  Das ist uns bekannt:

  • Der Arbeitslohn für $60$ Arbeitsstunden beträgt $660$ Euro.

  Nehmen wir Folgendes an:

  • Die Variable $x$ steht für die Arbeitszeit in Stunden.
  • Die Variable $y$ steht für den Arbeitslohn in Euro.

  Wir berechnen zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$ mit der Gleichung $y=k\cdot x$:

  $\begin{array}{rcll} 660 &=& k\cdot 60 & \vert :60 \\ 11 &=& k & \\ \end{array}$

  Somit haben wir den Proportionalitätsfaktor $k=11$ berechnet und können die Tabelle ausfüllen. Dafür setzen wir die Werte, die in der Tabelle gegeben sind, in unsere Gleichung $y=11\cdot x$ ein und bestimmen die fehlende Größe. Dabei müssen wir beachten, dass wir die Werte für den Arbeitslohn in $y$ und die Werte für die Arbeitszeit in $x$ einsetzen, da wir dies so festgelegt haben.

  Hinweis: Hätten wir die Variablen genau andersherum gewählt, hätten wir für $k$ einen anderen Proportionalitätsfaktor erhalten, nämlich genau den Kehrwert $\frac{1}{11}$. Auch diesen kann man für die Berechnung verwenden. Es ist nur wichtig, dass man bei der gesamten Rechnung immer einheitlich bleibt.

  Die Rechnung soll mit den ersten beiden Werten verdeutlicht werden:

  Gegeben sind $20$ Arbeitsstunden. Wir setzen die $20$ in die Variable $x$ ein und erhalten:

  $\begin{array}{lll} y &=& 11\cdot 20 \\ y &=& 220 & \\ \end{array}$

  Gegeben ist ein Arbeitslohn von $1\,650\ €$. Wir setzen die $1\,650$ in die Variable $y$ ein und erhalten:

  $\begin{array}{llll} 1\,650 &=& 11\cdot x & \vert :11 \\ 150 &=& x & \\ \end{array}$

  Auf diese Weise kannst du jeden Wert in der Tabelle bestimmen. Die vollständig ausgefüllte Tabelle sieht dann so aus:

  $\begin{array}{c|c} \text{Arbeitszeit [h]} & \text{Arbeitslohn [€]} \\ 20 & 220 \\ 150 & 1\,650 \\ 350 & 3\,850 \\ 10 & 110 \\ \end{array}$

• Beschreibe die direkte Proportionalität.

  Tipps

  Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die den Punkt $P(0\ \vert\ 0)$ durchläuft.

  Die Abbildung zeigt den Graphen der folgenden direkten Proportionalität:

  $y=1\cdot x$

  Die allgemeine Gleichung einer Ursprungsgeraden lautet:

  $y=mx$

  Dabei ist $m$ die Steigung.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Bei der direkten Proportionalität stehen zwei Größen in einem festen Verhältnis zueinander.

  • Die direkte Proportionalität zwischen zwei Größen $x$ und $y$ kann man mithilfe einer Gleichung darstellen. Diese lautet $y=k\cdot x$, wobei $k$ der Proportionalitätsfaktor ist.

  Das bedeutet, dass eine direkte Proportionalität zweier Größen dann vorliegt, wenn die eine Größe aus der Multiplikation der anderen Größe mit immer demselben Faktor resultiert.

  • Sind Größen direkt proportional, so verändern sich beide Größen in gleichem Maße.

  Das bedeutet zum Beispiel: Halbiert man die erste Größe, halbiert sich auch die zweite Größe.

  • Der Proportionalitätsfaktor $k$ zweier direkt proportionaler Größen ändert sich nie.

  Das bedeutet, selbst wenn sich die erste und die zweite Größe ändern, so stehen sie immer noch in demselben Verhältnis zueinander. Da der Proportionalitätsfaktor $k$ genau dieses Verhältnis beschreibt, bleibt er somit immer konstant.

  • Der Graph direkt proportionaler Größen ist immer eine Ursprungsgerade, wobei die Steigung $m$ dem Proportionalitätsfaktor $k$ entspricht.

  Dies ist konsequent: Wenn eine Größe $0$ ist, muss die andere mit $k$ multipliziert auch $0$ sein.
  Die allgemeine Gleichung für eine Ursprungsgerade lautet $y=mx$. Eine direkte Proportionalität beschreiben wir mit $y=kx$. Somit handelt es sich bei einer direkten Proportionalität um Ursprungsgeraden, wobei der Proportionalitätsfaktor $k$ der Geradensteigung $m$ entspricht.

• Bestimme die gesuchte Größe mithilfe des Proportionalitätsfaktors $k$.

  Tipps

  Berechne zunächst ausgehend von der Gleichung $y=k\cdot x$ den Proportionalitätsfaktor $k$ zwischen den beiden direkt proportionalen Größen.

  Wenn du den Proportionalitätsfaktor $k$ ermittelt hast, kannst du in deine Gleichung die gegebene Größe einsetzen und somit die gesuchte Größe berechnen. Achte darauf, dass du bei der Wahl deiner Variablen $x$ und $y$ bei der Berechnung einheitlich vorgehst.

  Lösung

  Jetzt schauen wir uns beide Beispiele gemeinsam an: Wir bestimmen für beide zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$ und nutzen ihn, um die gesuchte Größe zu berechnen.

  Beispiel 1

  Marius fährt mit seinem neuen Auto maximal $140$ Kilometer pro Stunde und kann in $3$ Stunden $420$ Kilometer zurücklegen. Das heißt, $x=3$ Stunden entsprechen $y=420$ Kilometern.

  Für den Proportionalitätsfaktor $k$ folgt dann:

  $\begin{array}{llll} 420 &=& k\cdot 3 & \vert :3 \\ 140 &=& k & \end{array}$

  Eingesetzt ergibt das:

  $\begin{array}{lll} y &=& 140\cdot 10 \\ y &=& 1\,400 \end{array}$

  Demnach schafft Marius in $10$ Stunden $1\,400$ Kilometer.

  Beispiel 2

  Aileen kauft für ihre Geburtstagsfeier $15$ Donuts. Sie zahlt an der Kasse $37,50$ Euro. Jedoch ist sie später unsicher, ob $15$ Donuts ausreichen, und holt zur Sicherheit nochmals $10$. Das heißt, $x=15$ Donuts entsprechen $y=37,50$ Euro.

  Für den Proportionalitätsfaktor $k$ folgt dann:

  $\begin{array}{llll} 37,5 &=& k\cdot 15 & \vert :15 \\ 2,5 &=& k & \end{array}$

  Eingesetzt ergibt das:

  $\begin{array}{lll} y &=& 2,5\cdot 10 \\ y &=& 25 \end{array}$

  Demnach zahlt Aileen beim zweiten Kauf für $10$ Donuts $25$ Euro.