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Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

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Welches Rechengesetz erlaubt es, Summanden bei der Addition und Faktoren bei der Multiplikation beliebig zu vertauschen?

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Team Digital
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
lernst du in der Primarschule 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Rechengesetze in der Mathematik

In Mathe musst du beim Rechnen verschiedene Regeln beachten. Einige davon kennst du bestimmt, zum Beispiel:

  • Klammer zuerst“ und
  • Punkt vor Strich“.

Mit diesen Regeln wird das Rechnen manchmal ganz schön kompliziert. Wir wollen uns hier drei Rechengesetze anschauen, die dir erlauben, Zahlen zu vertauschen oder Klammern zu setzen oder aufzulösen. Damit kannst du geschickt rechnen.

Kommutativgesetz:
Summanden bei der Addition und Faktoren bei der Multiplikation können beliebig vertauscht werden.

Assoziativgesetz:
Bei einer Addition oder Multiplikation können Klammern beliebig gesetzt oder weggelassen werden.

Distributivgesetz:
Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe entspricht der Summe der Produkte der Zahl mit den einzelnen Summanden.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Für die Addition besagt es, dass man Summanden vertauschen darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Das heißt, dass wir zum Beispiel 6+36 + 3 auch als 3+63 + 6 schreiben können und trotzdem dasselbe Ergebnis erhalten:
6+3=3+66 + 3 = 3 + 6
Beide Seiten ergeben 99.

Wusstest du schon?
Diese Gleichheit kannst du auch direkt im Alltag wiederfinden. Du kannst es zum Beispiel mit Legosteinen ausprobieren: Ob du erst sechs oder erst drei hinzufügst, der Turm wird immer gleich hoch!

Das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation. Wie bei der Addition die Summanden, kannst du bei der Multiplikation die Faktoren vertauschen:
63=366 \cdot 3 = 3 \cdot 6
Auf beiden Seiten erhalten wir das Ergebnis 1818.

Für die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht, denn:
63=3 6 - 3 = 3~ aber  36=3~3 - 6 = -3

Auch auf die Division kann das Vertauschungsgesetz nicht angewendet werden:
6:3=2 6 : 3 = 2~ aber  3:6=36=12~3 : 6 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Assoziativgesetz

Für die Addition besagt das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz, dass man beim mehrfachen Addieren Klammern beliebig setzen, umsetzen oder auch weglassen kann. So ist zum Beispiel:
(6+3)+2=6+(3+2)=6+3+2(6 + 3) +2 = 6 + (3 + 2) = 6 + 3 + 2
Berechnen wir die erste Summe und rechnen zuerst die Klammer, so erhalten wir 9+29 + 2, das ergibt 1111. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst 3+23 + 2 rechnen und dann 66 addieren.

Kennst du das?
Hast du auch schon einmal ein Puzzle gemacht und dabei gemerkt, dass du die Teile unterschiedlich anordnen kannst, um dasselbe Bild zu erhalten? In der Mathematik funktioniert das ähnlich, wenn wir Zahlen addieren oder multiplizieren. Das Assoziativgesetz besagt, dass es egal ist, wie du die Zahlen gruppierst – das Ergebnis bleibt gleich.

Das Assoziativgesetz gilt ebenso für die Multiplikation. Auch bei der Multiplikation können wir Klammern beliebig setzen und weglassen:
(63)2=6(32)=632(6 \cdot 3) \cdot 2 = 6 \cdot (3 \cdot 2) = 6 \cdot 3 \cdot 2
Rechnen wir alle drei Terme aus, so erhalten wir immer 3636.

Für die Subtraktion gilt das Assoziativgesetz nicht. So ist:
(63)2=32=1 (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1~ aber  6(32)=61=5~6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5
Die beiden Ergebnisse stimmen nicht überein.

Auch für die Division gilt das Assoziativgesetz nicht:
(6:3):2=2:2=1 (6 : 3) : 2 = 2 : 2 = 1~ aber  6:(3:2)=6:32=4~6 : (3 : 2) = 6 : \dfrac{3}{2} = 4
Diese beiden Ergebnisse stimmen ebenfalls nicht überein.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz erklärt, wie wir mit Klammern in Rechnungen umgehen, wenn verschiedene Rechenoperationen auftreten.

Dazu schauen wir uns zunächst ein Beispiel an:
(82)3(8 - 2) \cdot 3
Hierbei haben wir innerhalb der Klammer eine Subtraktion und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir zuerst die Klammer und multiplizieren dann mit 33, so erhalten wir 1818 als Ergebnis:
(82)3=63=18(8 - 2) \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18

Das Distributivgesetz besagt nun, dass wir die Zahlen in der Klammer zunächst einzeln mit dem Faktor, in diesem Fall 33, multiplizieren können. Nachdem wir dann die Produkte ausgerechnet haben, subtrahieren wir und erhalten als Endergebnis ebenfalls 1818:
(82)3=8323=246=18(8 - 2) \cdot 3 = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 24 - 6 = 18

Wir können manche Rechnungen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen.

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz – Beispiel

Oft kannst du eine Rechnung durch geschickten Einsatz der drei Rechengesetze vereinfachen. Wir betrachten dazu folgende Aufgabe:

637+73+(12+7)+3(52)63 \cdot 7 + 73 + (12 + 7) + 3 \cdot (5 - 2)

Das Assoziativgesetz besagt, dass Klammern in Summen beliebig gesetzt oder weggelassen werden können. Wir dürfen also die Klammern um die Summe 12+712 + 7 einfach weglassen:
637+73+12+7 + 3(52)63 \cdot 7 + 73 + \color{blue}{12 + 7} \color{#666666}{~+~ 3 \cdot (5 - 2)}

Den letzten Teil des Terms können wir mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und erhalten:
3(52)=3532=156=93 \cdot (5 - 2) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 15 - 6 = 9

Damit sieht die Aufgabe folgendermaßen aus:
637+73+12+7+963 \cdot 7 + 73 + 12 + 7 + \color{blue}{9}

63763 \cdot 7 können wir mithilfe des umgekehrten Distributivgesetzes umschreiben und erhalten:
637=(60+3)7=607+37=420+21=44163 \cdot 7 = (60 + 3) \cdot 7 = 60 \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 420 + 21 = 441

Die Aufgabe lautet nun:
441 + 73+12+7+9\color{blue}{441} \color{#666666}{~+~ 73 + 12 + 7 + 9}

Wir können nun die Summanden mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und so ordnen, dass es uns das Rechnen vereinfacht.
So können wir 441441 und 99 zusammenschreiben und mithilfe des Assoziativgesetzes Klammern setzen. Dies wird zu 450450 addiert.
Ebenso können 7373 und 77 zusammengeschrieben und Klammern gesetzt werden. Dies ergibt 8080:
441+73+12+7+9=441 + 73 + 12 + 7 + 9 =
(441+9) + (73+7) + 12=450+80+12\color{blue}{(}\color{#666666}{441 + 9}\color{blue}{)} \color{#666666}{~+~} \color{blue}{(}\color{#666666}{73 + 7}\color{blue}{)} \color{#666666}{~+~} 12 = 450 + 80 + 12

Anschließend können wir von links nach rechts addieren und erhalten:
450+80+12=542450 + 80 + 12 = 542

Übersicht – Geschickt rechnen mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

Wenn du die drei Rechengesetze sicher beherrschst, kannst du damit komplizierte Rechnungen vereinfachen oder sogar im Kopf rechnen. Je nach Art der Rechnung kannst du dazu nur eines oder auch mehrere Rechengesetze verwenden.

Geschickt Addieren und Multiplizieren mit Assoziativ- und Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (KG)\left( \text{KG} \right) und das Assoziativgesetz (AG)\left( \text{AG} \right) kannst du oft zusammen anwenden.
Dazu vertauschst du die Summanden oder Faktoren zunächst mit dem Kommutativgesetz und fasst sie dann mit dem Assoziativgesetz in passenden Paaren mit Klammern zusammen.

Geschicktes Addieren und Multiplizieren mit Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Hier siehst du Beispiele, bei denen die Rechnung durch das Vertauschen der Summanden (oder der Faktoren) und Setzen von Klammern vereinfacht wurde.

Bei der Multiplikation gibt es einige Faktorenpaare, die sich besonders für die Vereinfachung eignen, da ihr Produkt ein Vielfaches von 1010 ergibt. Sie sind in der folgenden Übersicht zusammengefasst.

Faktorenpaare für geschicktes Multiplizieren

Kopfrechnen mit dem Distributivgesetz

Die Zerlegung schwieriger Multiplikationsaufgaben in einfachere Rechnungen entspricht der umgekehrten Verwendung des Distributivgesetzes.

Fehleralarm
Häufig wird verwechselt, dass das Distributivgesetz ein Rechengesetz zwischen den Operationen Multiplikation und Addition ist. Es darf nicht angewendet werden, wenn beide Operationen gleich sind.

Dabei zerlegst du einen Faktor in Summanden, die einfacher zu multiplizieren sind:
627=6(20+7)6 \cdot 27 = 6 \cdot (20 + 7)

Dann kannst du die Produkte nach dem Distributivgesetz einzeln berechnen und addieren:
6(20+7)=620+67=120+42=1626 \cdot (20 + 7) = 6 \cdot 20 + 6 \cdot 7 = 120 + 42 = 162

Teste dein Wissen zum Thema Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz!

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Vorschaubild einer Übung

Ausblick – das lernst du nach Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Vertiefe dein Wissen mit negativen Zahlen und dem Umgang mit Minusklammern. Danach kannst du dir einen Überblick zu den Klammerregeln verschaffen und dir noch einige Tipps und Tricks zum Kommutativ- und Assoziativgesetz holen!

Zusammenfassung – Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

  • Das Kommutativgesetz besagt, dass du bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren vertauschen darfst.
    27=72=142 \cdot 7 = 7 \cdot 2 = 14
  • Das Assoziativgesetz besagt, dass du beim mehrfachen Addieren und Multiplizieren Klammern beliebig umsetzen oder weglassen darfst.
    3+5+7=(3+5)+7=3+(5+7)=153 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) = 15
  • Das Distributivgesetz besagt, dass du eine Summe beziehungsweise Differenz mit einem Faktor multiplizieren kannst, indem du jeden Summanden (beziehungsweise den Minuenden und Subtrahenden) einzeln mit diesem Faktor multiplizierst und die Produktwerte addierst (beziehungsweise subtrahierst).
    5(41)=5451=205=155 \cdot (4 - 1) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 = 20 - 5 = 15
  • Eine umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes kann helfen, leichter im Kopf zu rechnen.
    712=7(10+2)=710+72=70+14=847 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 70 + 14 = 84

Zusammenfassung Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Transkript Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Da hat Bücherwurm Willi ja ein schönes Gesetzbuch gefunden. Was diese Gesetze besagen und wie du sie anwenden kannst, lernst du in diesem Video zusammen mit Willi. Beginnen wir dabei mit dem Kommutativgesetz, welches auch Vertauschungsgesetz genannt wird. Für die Addition besagt es, dass man Summanden vertauschen darf. Das heißt, dass wir zum Beispiel 6+3 auch als 3+6 schreiben können und trotzdem dasselbe Ergebnis erhalten. Sowohl 6+3 als auch 3+6 ergeben 9. Das Kommutativgesetzt gilt übrigens auch für die Multiplikation. Wie auch bei der Addition, kann man die Faktoren vertauschen. Auf beiden Seiten erhalten wir das Ergebnis 18. Für die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz aber nicht, denn 6 - 3 ist 3 und 3 - 6 ist -3. Ebenso gilt es nicht für die Division. Rechnen wir zum Beispiel 6 geteilt durch 3, so erhalten wir 2. Teilen wir aber 3 durch 6, erhalten wir einen Bruch. Das nächste Gesetz, durch das Willi der Bücherwurm sich frisst, heißt Assoziativgesetz. Für die Addition besagt es, dass man beim mehrfachen Addieren Klammern beliebig setzen, umsetzen oder auch weglassen kann. So ist in Klammern (6 + 3) + 2. Dasselbe wie 6 + in Klammern (3+ 2) oder auch 6+3+2. Berechnen wir die erste Summe und rechnen zuerst die Klammern und addieren dann 2, so erhalten wir 11. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst 3+2 rechnen und dann 6 addieren und ebenso, wenn wir von links nach rechts rechnen. Das Assoziativgesetz gilt ebenso für die Multiplikation. Auch bei der Multiplikation können wir Klammern beliebig setzen oder weglassen. Rechnen wir alle drei Terme aus so sehen wir, dass sich bei jedem Term am Ende das Ergebnis 36 ergibt. Für die Subtraktion gilt dies nicht. Rechnen wir zunächst 6 - 3 und subtrahieren dann 2, erhalten wir 1. Berechnen wir aber zuerst 3-2 und subtrahieren das Ergebnis dann von 6, so erhalten wir 5 als Endergebnis. Auch für die Division gilt das Assoziativgesetz nicht. Teilen wir 6 durch 3 und teilen dann dieses Ergebnis durch 2, so erhalten wir 1. Teilen wir aber zunächst 3 durch 2 und das dann durch 6, so erhalten wir 4. Das letzte Gesetz, durch das sich Willie frisst, heißt Distributivgesetz. Schauen wir uns das doch einmal an einem Beispiel an: In Klammern 8-2 mal 3. Hier hast du also innerhalb der Klammer eine Subtraktion und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir die Klammern zuerst, so erhalten wir 6 mal 3 und das sind 18. Das Distributivgesetz besagt nun, dass wir zunächst die Zahlen in der Klammer mit dem Faktor 3 multiplizieren können. Nachdem wir dann die Produkte ausgerechnet haben, subtrahieren wir und erhalten als Endergebnis also auch 18. Andersherum kann man das Rechnen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen. So können wir 54 mal 7 umschreiben zu in Klammern (50 +4) mal 7. Wir rechnen dann 50 mal 7 und 4 mal 7 und erhalten so das Endergebnis 378. Wenden wir diese drei Gesetze doch nun einmal an diesem Term an. Da das Assoziativgesetz besagt, dass Klammern in Summen beliebig gesetzt oder weggelassen werden können, können wir die Klammern hier einfach weglassen. Diesen Teil des Terms können wir mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und erhalten 15- 6. Das sind 9. 63 mal 7 können wir mithilfe des umgekehrten Distributivgesetzes umschreiben und haben so in Klammern 60+3 mal 7 also 420 + 21 und das sind 441. Wir können die Summanden nun mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und so ordnen, dass es uns das Rechnen vereinfacht. So können wir 441 und 9 zusammenschreiben und mithilfe des Assoziativgesetzes Klammern setzen. Dies können wir nun einfach zu 450 addieren. Außerdem können wir 73 und 7 zusammenschreiben, Klammern setzen und zu 80 addieren. Rechnen wir nun abschließend von links nach rechts, so erhalten wir 542. Fassen wir zusammen. Das Kommutativgesetz besagt, dass man bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren vertauschen darf. Das Assoziativgesetz besagt, dass man beim mehrfachen Addieren und Multiplizieren Klammern beliebig umsetzen oder weglassen darf. Das Distributivgesetz besagt folgendes: Eine Summe bzw. Differenz wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand bzw. Minuend und Subtrahend einzeln mit diesem Faktor multipliziert und die Produkte dann addiert bzw. subtrahiert. Anders herum kann man das Rechnen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen. Und Willi hat anscheinend alle Gesetze gut verinnerlicht.

125 Kommentare
  1. Könnt ihr Deutsch 🇩🇪

    Von Hannah, vor 2 Monaten
  2. Cool is that video

    Von Hannah, vor 2 Monaten
  3. Ich habe mir alle wichtigen informationen auf ein Blattpapier übertragen .
    Es hat mir sehr geholfen. :)

    Von dr. Leonstone, vor 3 Monaten
  4. Ich hab übermorgen eine Mathearbeit;)h“t mir geholfen.🦋🦋🦋🦋🦋

    Von Cato, vor 3 Monaten
  5. Kann ich nicht halten

    Von Luisa, vor 3 Monaten
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