Textaufgaben zu Rechengesetzen

Textaufgaben zu Rechengesetzen Übung

• Gib den Term an, mit welchem die Gesamtzahl der Eier berechnet werden kann.

  Tipps

  Die Grundfläche jedes Turms ist ein Quadrat.

  Wenn sich in der Länge und in der Breite der Grundfläche jedes Turms sechs Eier befinden, wie viele Eier befinden sich dann in der Grundfläche?

  Stell dir vor, es befinden sich in einer Schachtel acht Eier und du stapelst fünf solcher Schachteln aufeinander. Wie viele Eier hast du?

  Richtig $8\cdot 5=40$.

  Lösung

  In drei Eiertürmen sind Eier gestapelt. In jedem der Türme sind in der Länge und Breite jeweils sechs Eier angeordnet.

  • In dem einen Eierturm befinden sich in der Höhe drei Eier,
  • in einem weiteren $14$ und
  • in einem letzten acht.

  Wie kann die Gesamtzahl der Eier bestimmt werden?

  Diese ist $6\cdot 6\cdot (3+14+8)$.

  Dabei entspricht der erste Faktor der Länge, der zweite der Breite und der dritte der Summe der verschiedenen Höhen.

• Bestimme die Anzahl der Zehnerpackungen für die Eier.

  Tipps

  Du könntest auch $6\cdot6\cdot 25$ berechnen. Es ist jedoch manchmal geschickter, die Reihenfolge der Terme so zu vertauschen, dass die einzelnen Rechnungen einfacher sind.

  Es ist

  • $6=2\cdot 3$,
  • $25=5\cdot 5$ und
  • $10=2\cdot 5$.

  Eine solche Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung.

  Das Verändern der Reihenfolge ist erlaubt. Dies besagt das Kommutativgesetz

  • der Addition $a+b=b+a$ und
  • der Multiplikation $a\cdot b=b\cdot a$.

  Lösung

  Es soll die Zahl der Zehnerpackungen berechnet werden. Hierfür wird die Gesamtzahl der Eier durch $10$ geteilt. Der Klammerausdruck kann berechnet werden $3+14+8=25$.

  Nun werden einige Terme als Produkt geschrieben:

  • $6=2\cdot 3$,
  • $25=5\cdot 5$ und
  • $10=2\cdot 5$.

  Somit gilt $6\cdot 6\cdot 25:10=2\cdot 3\cdot 6\cdot5\cdot5:2:5$.

  Durch Vertauschung der Reihenfolge erhält man

  $2\cdot 3\cdot 6\cdot5\cdot5:2:5=2:2\cdot 5:5 \cdot 3\cdot 6\cdot5$.

  Warum macht man dies? Man sieht, dass sowohl $2:2=1$ als auch $5:5=1$ ist. Es kann wie folgt weiter gerechnet werden:

  $2:2\cdot 5:5 \cdot 3\cdot 6\cdot5=1\cdot 1\cdot 3\cdot 6\cdot 5=3\cdot30=90$.

  Die Anzahl der Zehnerpackungen beträgt somit $90$.

• Leite den Term her, welcher die Anzahl der Aufgaben angibt, welche Paul rechnet.

  Tipps

  Wenn Paul an drei Tagen je fünf Aufgaben rechnet, rechnet er $3\cdot 5=15$ Aufgaben.

  Wenn Paul an einem Tag $12$ und an einem anderen vier Aufgaben rechnet, rechnet er gesamt $12+4=16$ Aufgaben.

  Du kannst die Gesamtzahl der Aufgaben pro Woche berechnen und diese mit der Anzahl der Wochen multiplizieren, um auf die Gesamtzahl der Aufgaben zu kommen.

  Lösung

  Wie viele Aufgaben rechnet Paul pro Woche?

  • an zwei Tagen jeweils vier, das sind $2\cdot 4$ und
  • an zwei Tagen jeweils drei, das sind $2\cdot 3$.

  Er rechnet pro Woche $2\cdot 4+2\cdot 3$ Aufgaben.

  Da er noch fünf Wochen Zeit hat bis zur Mathearbeit, bleiben ihm fünf Wochen mit jeweils $2\cdot 4+2\cdot 3$ Aufgaben zum Üben. Dies entspricht $5\cdot (2\cdot 4+2\cdot 3)$ Aufgaben. Der Term in der Klammer ergibt $14$. Die Multiplikation mit $5$ führt zu $70$ Aufgaben, welche Paul noch üben kann.

  So gut vorbereitet wird Paul sicher eine gute Arbeit schreiben.

• Prüfe, welche Aussagen eine richtige Rechnung aufweisen.

  Tipps

  „Doppelt so viel“ bedeutet $2\cdot$.

  „Dreimal so viel“ bedeutet $3\cdot$.

  Bei der Aufgabe mit Laura kommt ein ganzzahliges Ergebnis heraus.

  Wenn Laura bereits einige Aufgaben gerechnet hat, werden diese von der anfänglichen Zahl subtrahiert. So erhält man die noch zu rechnenden Aufgaben.

  Beachte, dass Kai dreimal so viele Aufgaben rechnet wie Fred und nicht dreimal so viele wie Jasper.

  Lösung

  Um Textaufgaben bearbeiten zu können, ist es wichtig, das, was in dem Text an Information steckt, in mathematische Terme zu übersetzen:

  • Wenn Paula doppelt so viele Aufgaben wie Felix übt und dieser drei Aufgaben übt, dann übt Paula $2\cdot 3=6$ Aufgaben.
  • Wenn Emil innerhalb von vier Tagen, dabei ist diese Anzahl der Tage nicht wichtig, dreimal so viele Aufgaben übt wie Paula, dann sind das $3\cdot 6=18$. Wenn die Aufgabe lauten würde, wie viele Aufgaben Emil pro Tag übt, dann müsste dieses Ergebnis durch $4$ dividiert werden. Die Antwort wäre $18 \div 4=4,5$.
  • Laura möchte insgesamt $30$ Aufgaben rechnen. Sechs hat sie bereits gerechnet. Es verbleiben $30-6=24$ Aufgaben, welche noch gerechnet werden müssen. Diese möchte sie in acht Tagen berechnen. Das führt zu dem Term $(30-6):8=24 \div 8=3$. Laura muss also an jedem Tag drei Aufgaben rechnen.
  • Fred hat zwei Aufgaben gerechnet und Jasper doppelt so viele, also $2\cdot 2$. Kai hat dreimal so viele Aufgaben gerechnet wie Fred, also $3\cdot 2$. Zusammen haben die drei dann $2+2\cdot 2+3\cdot 2=(1+2+3)\cdot2=6\cdot 2=12$ Aufgaben gerechnet.

• Beschreibe, wie die Anzahl der Zehnerpackungen berechnet werden kann, wenn bereits $67$ Sechserpackungen Eier verpackt sind.

  Tipps

  Die Eier, welche schon verpackt sind, können nicht noch mal verpackt werden.

  Das Distributivgesetz lautet:

  $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

  Um die Anzahl der Zehnerpackungen zu ermitteln, kannst du $498$ in Zehner und Einer zerlegen: $498=490+8$.

  Lösung

  Es gibt insgesamt $6\cdot 6\cdot(3+14+8)$ Eier. Es wurden bereits $67$ Sechserpackungen verpackt. Wie viele Zehnerpackungen können noch gepackt werden?

  Man zieht von der Gesamtzahl der Eier das Produkt aus $6$ und $67$ ab:

  $6\cdot 6\cdot(3+14+8)-6\cdot 67$.

  Mit dem Distributivgesetz kann man den gemeinsamen Faktor $6$ ausklammern:

  $6\cdot [6\cdot (3+14+8)-67]=6\cdot [6\cdot25-67]=6\cdot[150-67]=6\cdot 83$.

  Nun muss noch das Produkt $6\cdot 83$ berechnet werden. Dieses ist $498$.

  Diese Zahl muss durch $10$ geteilt werden:

  $498:10=490:10+8:10=49$ Rest $8$.

  Es können also $49$ Zehnerpackungen gepackt werden. Es bleiben acht Eier übrig.

• Arbeite heraus, wann Willi zu Hause ankommt.

  Tipps

  Um bei einer bekannten Geschwindigkeit die benötigte Zeit für eine gegebene Strecke zu berechnen, wird die Strecke durch die Geschwindigkeit geteilt.

  Die Maßeinheit ist dann eine Zeiteinheit: $\frac{km}{\frac{km}h}=h$.

  Wenn Willis Geschwindigkeit mit dem Fahrrad bekannt wäre und die Geschwindigkeit, welche sein Onkel mit dem Auto fährt, elfmal so groß ist, musst du die Fahrradgeschwindigkeit mit $11$ multiplizieren.

  Was musst du umgekehrt tun, wenn die Geschwindigkeit, welche der Onkel mit dem Auto fährt, bekannt ist?

  Der Unterschied zwischen den beiden Ankunftszeiten beträgt fünf Minuten.

  Lösung

  Willi hat zwei Möglichkeiten nach Hause zu kommen:

  • Er wartet, bis sein Onkel kommt und ihn abholt. Die beiden würden $40$ Minuten nach $14:00$ Uhr, also um $14:40$ Uhr starten. Da der Onkel mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $110~\frac{km}h$ fährt, benötigt er für die $55~km$ lange Strecke $\frac{55~km}{110~\frac{km}h}=0,5~h=30~min$. Willi kommt dann um $15:10$ Uhr zu Hause an.
  • Er nimmt sofort den Zug. Dieser benötigt $45$ Minuten für $50~km$. Den restlichen Weg, das sind $55~km-50~km=5~km$ fährt Willi mit dem Fahrrad. Sein Onkel ist mit dem Auto elfmal so schnell wie Willi mit dem Fahrrad. Das bedeutet, dass Willi mit einer Geschwindigkeit von $10~\frac{km}h$ fährt. Er benötigt also für die restliche Strecke $\frac{5~km}{10~\frac{km}h}=0,5~h=30~min$. Mit Zug und Fahrrad kommt Willi nach $45~min+30~min$, also um $15:15$ Uhr zu Hause an.