Wurzelrechnung – Exkurs

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Wurzelrechnung
• Beispiel: Wurzel- und Exponentenschreibweise
• Beispiel: Wurzelterme zusammenfassen
• Addition und Subtraktion
• Multiplikation
• Division
• Beispiel: Teilweises Wurzelziehen
• Beispiel: Wurzel im Nenner beseitigen

Wurzelrechnung

Wie lassen sich Wurzeln definieren? Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Es gilt zum Beispiel:

$3\cdot 3 = 3^{2} = 9\quad\leftrightarrow\quad 3= \sqrt[2]{9}$

Allgemein kannst du diesen Zusammenhang wie folgt formulieren:

$x^{n} = a\quad\leftrightarrow\quad x = \sqrt[n]{a}$

Das Ergebnis $x$ des Wurzelziehens nennt man Wurzel (Radix), die Zahl $a$ unter dem Wurzelzeichen Radikand und den Exponenten $n$ über der Wurzel Wurzelexponent. Bei $n= 2$ spricht man von einer Quadratwurzel, den Wurzelexponenten lässt man hier weg.

$\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4$

Quadratwurzeln lassen sich nur aus positiven reellen Zahlen ziehen. Für $n\gt 2$ muss man den Wurzelexponenten dazu schreiben. Ist $n = 3$, spricht man von der Kubikwurzel:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Bei ungeraden Wurzelexponenten kann der Radikand auch negativ sein:

$\sqrt[3]{-8} = -2$

Eine kurze Übersicht über die Wurzelgesetze hilft dir beim Rechnen mit Wurzeln:

• Addition und Subtraktion: $a\sqrt[n]{x}\pm b\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x}\cdot (a\pm b)$
• Multiplikation: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b}$
• Division: $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• Potenzieren: $(\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Es ist möglich, Wurzeln in Potenzen umzuwandeln:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\\ \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

Beispiel: Wurzel- und Exponentenschreibweise

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[5]{a^{10}} = a^{\frac{10}{5}} = a^{2}$

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Setzt man für $a$ Zahlen ein, so erhält man beispielsweise:

$\sqrt{4^{2}} = 4^{\frac{2}{2}} = 4$

$\sqrt[3]{4^{6}} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^{2} = 16$

$a^{0,75} = a^{\frac{75}{100}} = a^{\frac{3}{4}} =\sqrt[4]{a^{3}}$

Beispiel: Wurzelterme zusammenfassen

Addition und Subtraktion

$x\cdot\sqrt{a} + y\cdot\sqrt{a} = (x + y)\cdot\sqrt{a}$

$x\cdot\sqrt{a} - y\cdot\sqrt{a} = (x - y)\cdot\sqrt{a}$

Hierzu anschaulich folgende Zahlenbeispiele:

$3\cdot\sqrt{5} + 2\cdot\sqrt{5} = (3 + 2)\cdot\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$6\cdot\sqrt{3} - 3\cdot\sqrt{3} = (6 - 3)\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Multiplikation

Es gilt folgendes Wurzelgesetz zur Multiplikation:

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

Setzt man für $a$ und $b$ wieder Zahlen ein, erhält man beipielsweise:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{7} = \sqrt{2\cdot 7} = \sqrt{14}$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{18} = \sqrt{2\cdot 18} = \sqrt{36} = 6$

Division

Das Wurzelgesetz zur Division lautet:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$

Beispiel: Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen in Faktoren kann man aus Nichtquadratzahlen teilweise die Wurzel ziehen, wie an folgenden Aufgaben gezeigt wird:

$\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{2\cdot 54} = \sqrt{2\cdot 2\cdot27} = \sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 9} = 2\cdot 3\cdot\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Beispiel: Wurzel im Nenner beseitigen

Durch Umformen lässt sich die Wurzel im Nenner beseitigen:

$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}} = \frac{21\cdot \sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$

$\frac{2}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{2\cdot (3\sqrt{2} + 4)}{(3\sqrt{2} - 4)\cdot (3\sqrt{2} + 4)} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{9\cdot 2 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{18 - 16} = \frac{6\cdot \sqrt{2} + 8}{2} = \frac{2\cdot (3\cdot \sqrt{2} + 4)}{2} = 3\sqrt{2} + 4$