Teiler und Vielfache

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Teiler?
• Was ist eine Teilermenge?
• Was sind Vielfache?
• Teilbarkeitsregeln

Was ist ein Teiler?

Ganz allgemein ist ein Teiler wie folgt definiert: Jede Zahl $a$ heißt Teiler einer Zahl $b$, wenn es eine natürliche Zahl $n$ gibt, so dass $a\cdot n=b$ ist.

Du kannst dies so schreiben:

• $a~|~b$
• $a$ ist Teiler von $b$.
• $a$ teilt $b$.
• $b$ ist durch $a$ teilbar.

Da die Multiplikation vertauschbar (kommutativ) ist, $a\cdot b=b\cdot a$, gilt, dass auch $n$ Teiler von $b$ ist.

Stell dir vor: Paul hat Geburtstag. Er hat $12$ Päckchen mit Gummibärchen. Insgesamt sind $6$ Kinder zu Gast bei Pauls Geburtstag. Paul möchte die Gummibärchenpäckchen auf die $6$ Kinder gleichmäßig aufteilen.

Wie viele Päckchen bekommt jeder?

Um das zu beantworten, dividierst du $12$ durch $6$. Das Ergebnis ist $2$. Dies kannst du prüfen, indem du multiplizierst $6\cdot 2=12$.

Da beim Teilen von $12$ durch $6$ kein Rest bleibt, ist $6$ ein Teiler von $12$. Gleichzeitig ist auch $2$ ein Teiler von $12$.

Du kannst also schreiben:

• $6~|~12$
• $6$ ist Teiler von $12$.
• $6$ teilt $12$.
• $12$ ist durch $6$ teilbar.

Wenn auf Pauls Geburtstag nur $5$ Kinder sind, führt das Aufteilen der Gummibärchen auf die 5 Kinder zu $12:5=2$ Rest $2$.

Bei diesem Teilen bleibt ein Rest. Das bedeutet, dass $5$ kein Teiler von $12$ ist.

Was ist eine Teilermenge?

Die Teilermenge einer Zahl ist die Menge aller Teiler dieser Zahl.

Wie kann eine solche Teilermenge bestimmt werden? Schaue dir das Beispiel mit Pauls Gummibärchen nochmal an: Welche Zahlen sind Teiler von $12$? Schreibe alle Produkte zweier natürlicher Zahlen auf, die $12$ ergeben:

• $\color{#669900}{1\cdot 12=12}$
• $\color{#669900}{2\cdot 6=12}$
• $\color{#669900}{3\cdot 4=12}$
• $4\cdot 3=12$
• $6\cdot 2=12$
• $12\cdot 1=12$

Wenn du genau hinschaust, wirst du feststellen, dass jeder Faktor, also Teiler, wie zum Beispiel $12$ und $1$, doppelt vorkommt. Du kannst alle Teiler von klein nach groß aufschreiben und die doppelten auslassen. Oder du betrachtest von den Produkten nur die, bei denen der erste Faktor kleiner ist als der zweite. Diese sind grün geschrieben. Die Teilermenge von $12$ ist die Menge mit den Zahlen $1$, $2$ und $3$, den linken Faktoren von oben nach unten, und $4$, $6$ und $12$, den rechten Faktoren von unten nach oben. Du kannst diese Menge so aufschreiben:

$T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$.

Was sind Vielfache?

Der Begriff der Vielfachen und auch der Vielfachmenge hängt eng mit dem der Teiler oder der Teilermenge zusammen.

Jede Zahl $a$ hat unendlich viele Vielfache. Diese erhältst du, indem du die Zahl mit den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$, ... multiplizierst.

Die Vielfachmenge einer Zahl ist die Menge aller Vielfachen dieser Zahl.

Dies kannst du dir am Beispiel der Zahl $3$ klarmachen:

$V_3=\{3;6;9;12;...\}$

Du siehst hier, dass $12$ ein Vielfaches von $3$ ist. Umgekehrt kannst du damit folgern, dass $3$ ein Teiler von $12$ ist.

Teilbarkeitsregeln

Warum ist es wichtig, zu wissen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist?

• Wenn du zum Beispiel einen Bruch kürzen sollst, dann musst du den Zähler und den Nenner auf gemeinsame Teiler untersuchen.
• Es gibt Aufgaben, in denen du aus Summen oder Differenzen gemeinsame Teiler ausklammern sollst.

An solchen Beispielen wie dem mit den Gummibärchen, kannst du die Teiler recht gut erkennen. Wie sieht es mit größeren Zahlen aus?

• Ist $9882$ durch $2$ teilbar?
• Ist $9882$ durch $3$ teilbar?
• Ist $1255$ durch $5$ teilbar?

Um die Teilbarkeit von großen Zahlen zu prüfen, gibt es ein paar Tricks, die sogenannten Teilbarkeitsregeln. Sie helfen dir bei großen Zahlen sehr schnell zu sehen, ob die Zahl durch z. B. $7$ teilbar ist.

• Eine Zahl ist durch $\mathbf{2}$ teilbar (Endziffernregel) , wenn die letzte Ziffer entweder eine $0$ oder durch $2$ teilbar ist. Das bedeutet, dass eine gerade Zahl durch $2$ teilbar ist. Die letzte Ziffer von $9882$ ist die $2$. Diese ist durch $2$ teilbar und damit ist auch $9882$ durch $2$ teilbar.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{3}$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der einzelnen Ziffern dieser Zahl. Die Quersumme von $9882$ ist $9+8+8+2=27$. Da $27$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $9882$ durch $3$ teilbar.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{4}$ teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern entweder Nullen oder durch $4$ teilbar sind. Zum Beispiel ist $9816$ durch $4$ teilbar, da $16$ durch $4$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{5}$ teilbar, wenn die letzte Ziffer entweder eine $0$ ist oder eine $5$. $1255$ ist durch $5$ teilbar.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{6}$ teilbar, wenn sie sowohl durch $2$ als auch durch $3$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{7}$ teilbar, wenn diejenige Zahl durch $7$ teilbar ist, die du erhältst, wenn du das Doppelte der letzten Ziffer vom Rest der Zahl abziehst. So wäre zum Beispiel bei $161$ das Doppelte der letzten Ziffer $2$, und $16-2=14$. Da $14$ durch $7$ teilbar ist, ist auch $161$ durch $7$ teilbar. Du kannst die Schritte so oft wiederholen, bis du zu einer Zahl kommst, bei der du weißt, ob sie durch $7$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{8}$ teilbar, wenn die letzten drei Ziffern entweder Nullen oder durch $8$ teilbar sind. Zum Beispiel ist $9816$ durch $8$ teilbar, da $816$ durch $8$ teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{9}$ teilbar, wenn die Quersumme durch $9$ teilbar ist. Die Quersumme von $9882$ ist $9+8+8+2=27$. Da $27$ durch $9$ teilbar ist, ist auch $9882$ durch $9$ teilbar.
• Eine Zahl ist durch $\mathbf{10}$ teilbar, wenn die letzte Ziffer eine $0$ ist. $1230$ ist durch $10$ teilbar sein.