Du weißt, dass $2^5=32$ ist.
Du könntest auch umgekehrt fragen, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, damit $32$ herauskommt. Du suchst also die Lösung der Gleichung $2^x=32$.

Der Logarithmus beantwortet somit die Frage: Mit welcher Zahl muss man $2$ potenzieren, damit $32$ herauskommt?

Die Lösung der Gleichung $2^x=32$ ist gegeben durch $x=\log_2{32}$.

Ganz allgemein wird die Gleichung $a^x=b$ gelöst durch $y=\log_a{b}$, dem Logarithmus zur Basis $a$ von $b$.

Bezeichnungen

Hier siehst Du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts).

Die Zahl $a$, die potenziert wird, wird als Basis bezeichnet.
Die Zahl, mit der die Basis potenziert wird, wird als Exponent bezeichnet.
Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.

Der Logarithmus zu einer Basis einer Zahl ist der Exponent, mit welchem eine Basis potenziert werden muss, damit die Zahl herauskommt.

Der Exponent der Potenz ist der Logarithmus.
Die Basis $a$ ist auch die Basis des Logarithmus.
Der Potenzwert, das Argument des Logarithmus, wird als Numerus bezeichnet.

Spezielle Logarithmen

Die Basis eines Logarithmus muss positiv sein.

Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet: $\log_{10}=\lg$.
Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.

Diese beiden Logarithmen findest du auf deinem Taschenrechner.

Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Alle folgenden Rechenregeln für Logarithmen gelten unabhängig von der Logarithmusbasis.

1. Logarithmengesetz: Logarithmen-Addition

Das 1. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.

Nachweis dieses Gesetzes

Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
Damit ist $u\cdot v=a^c\cdot a^d=a^{c+d}$.
Dies bedeutet wiederum, dass $\log_a(u\cdot v)=c+d$ ist.
Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden: $\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$.

Beispiele

$\ln(2\cdot e)=\ln(2)+ \ln(e)$
$\text{ld}(5)+\text{ld}(3,2)=\text{ld}(5\cdot 3,2)=\text{ld}(16)$

2. Logarithmengesetz: Logarithmen-Subtraktion

Das 2. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.

Nachweis dieses Gesetzes

Sei $c=\log_a(u)$ und $d=\log_a(v)$, dann ist $a^c=u$ und $a^d=v$.
Damit ist

$\quad~~~\frac u v=\frac{a^{c}}{a^{d}}=a^{c-d}.$

Dies bedeutet wiederum, dass

$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=c-d$ ist.

Zuletzt können $c$ und $d$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

$\quad~~~\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$.

Beispiele

$\lg\left(\frac{100}2\right)=\lg(100)-\lg(2)$
$\lg(50)-\lg(5)=\lg\left(\frac{50}5\right)=\lg(10)$

3. Logarithmengesetz: Logarithmus einer Potenz/Wurzel

Das 3. Logarithmusgesetz besagt:

$\log_a(u\^r)=r\cdot \log_a(u)$

Dieses Gesetz gilt auch für Wurzeln - Du kannst diese als Potenzen schreiben:

$\log_a(\sqrt[r]u)=\frac1r\cdot \log_a(u)$.

Nachweis dieser Regel

Sei $\log_a(u^r)=c$, dann gilt $a^c=u^r$.
Nun kann auf beiden Seiten die $r$-te Wurzel gezogen werden:

$\quad~~a^{\frac cr}=u$.

Dies wiederum bedeutet

$\quad~~~\log_a (u)=\frac cr$.

Zuletzt muss noch mit $r$ multipliziert werden: $r\cdot \log_a (u)=c$
und $c=\log_a(u^r)$ eingesetzt werden: $r\cdot \log_a (u)=\log_a(u^r)$.

Beispiele

$\lg(10^5)=5\lg(10)$
$\ln(0,9^n)=n\cdot \ln(0,9)$

Sonderfälle und weitere Beispiele

$\log_a(1)=0$, da $a^0=1$ ist.
$\log_a(a)=1$, da $a^1=a$ ist.
Damit gilt: $\ln(e)=1$, ld$(2)=1$ sowie $\lg(10)=1$.
$\log_a(a^n)=n\cdot \log_a(a)=n\cdot 1=n$.
Somit kannst Du $\text{ld}(16)= \text{ld}\left(2^4\right)=4$ sowie $\lg(100)=\lg\left(10^2\right)=2$ berechnen.

Wie kann der Logarithmus zu einer belieben Basis $a$ berechnet werden?

Der Logarithmus $x=\log_a(b)$ löst die Gleichung $a^x=b$. Wenn du einen anderen Logarithmus als die zur Basis $a$ verwendest, zum Beispiel $\lg$, dann gehst du wie folgt vor:

$\begin{array}{rclll} a^{x}&=&b&|&\lg(~~~)\\ \lg(a^{x})&=&\lg(b)&|&\text{3. Logarithmusgesetz}\\ x\cdot \lg(a)&=&\lg(b)&|&:\lg(a)\\ x&=&\frac{\lg(b)}{\lg(a)}& & \end{array}$

Es gilt also allgemein:

$\log_a(b)=\frac{\lg(b)}{\lg(a)}$.

Du kannst natürlich auch jede andere Basis als $10$ für den Logarithmus wählen.

Ein etwas komplexeres Beispiel

Mit den Logarithmusgesetzen kannst du auch etwas komplexere Logarithmen behandeln. Schaue Dir hierfür das folgende Beispiel an.

$\begin{array}{rcll} \log_a\left(\frac{a\cdot b\cdot x^{2}}{c\cdot y^{3}}\right)&=&\log_a(a\cdot b\cdot x^{2})-\log_a(c\cdot y^{3})&|\text{ 2. Logarithmusgesetz}\\ &=&\log_a(a)+\log_a(b)+\log_a(x^{2})-\left(\log_a(c)+\log_a(y^{3})\right)&|\text{ 1. Logarithmusgesetz}\\ &=&1+\log_a(b)+2\log_a(x)-\log_a(c)-3\log_a(y)&|\text{ 3. Logarithmusgesetz} \end{array}$