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Gegenwahrscheinlichkeit

Manchmal ist es bei der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit sinnvoll, nicht das Ereignis zu betrachten, sondern das Gegenereignis.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist ein Gegenereignis in einem Zufallsexperiment?

Gegenereignis

  • EE sei ein Ereignis, also eine Teilmenge an Ergebnissen eines Zufallsversuches mit der Ergebnismenge Ω\Omega.
  • Das Gegenereignis zu einem Ereignis EE enthält alle Elemente von Ω\Omega, die nicht Teilmenge von EE sind. Dieses wird häufig mit einem Strich über dem Buchstaben angezeigt E\overline{E}.
  • Das Gegenereignis E\overline{E} tritt genau dann ein, wenn EE nicht eintritt.

Ereignis und Gegenereignis

Es gilt:

  • Die Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse EE=E\cap \overline E=\emptyset . Sie werden auch disjunkt genannt.

  • Alle Elemente des Ereignisses EE und seines Gegenereignisses E\overline E zusammen ergeben die Menge des Ergebnisraums Ω\Omega: EE=ΩE\cup \overline E=\Omega

Beispiel

Stelle dir das folgende mehrstufiges Zufallsexperiment vor. In einer Urne befinden sich vier Kugeln, zwei rote und zwei blaue.

1195_Urne.jpg

Du ziehst dreimal hintereinander eine Kugel aus dieser Urne, ohne zu wissen welche. Die jeweils gezogene Kugel legst du wieder zurück. Die Zufallsgröße XX steht für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. XX kann die Werte 00; 11; 22 und 33 annehmen. Dies sind die möglichen Ergebnisse. Diese Ergebnisse werden zu der Ergebnismenge Ω={0;1;2;3}\Omega=\{0;1;2;3\} zusammengefasst.

Betrachten wir nun das Ereignis EE: „Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.“

  • So ist E={1;2;3}E=\{1;2;3\}.
  • Das zugehörige Gegenereignis wäre E={0}{\overline E}=\{0\}: „Es wird keine rote Kugel gezogen.“

Möchtest du nun die Wahrscheinlichkeit für E={1;2;3}E=\{1;2;3\} berechnet. Dann müsstest du die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 11 oder 22 oder 33 rote Kugeln berechnen und diese anschließend addierst. Erheblich weniger Aufwand bereitet es, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E={0}\overline{E}=\{0\} zu ermitteln.

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis E\overline{E} von EE eintritt.

Liegt ein Ereignis EE vor und dessen Ergebnismenge Ω\Omega, so gilt folgende Komplementärregel:

  • Nach dem Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten gilt nun: 1=P(Ω)=P(EE)=P(E)+P(E)1=P(\Omega)=P(E \cup \overline E)=P(E)+P( \overline E).
  • Dann gilt P(E)+P(E)=1P(E)+P(\overline E)=1 oder anders ausgedrückt P(E)=1P(E)P(E)=1-P(\overline E).

  • Ein Ereignis kann auch kein Ergebnis enthalten E=E=\emptyset. Dieses Ereignis wird als unmögliches Ereignis bezeichnet. Es gilt P()=0P(\emptyset)=0.

  • Ω\Omega selbst kann auch ein Ereignissein E=ΩE=\Omega. Dieses Ereignis wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Es gilt P(Ω)=1P(\Omega)=1. Das zugehörige Gegenereignis wäre wiederum die leere Menge P(E)=P()=0P(\overline{E})=P(\emptyset)=0.

Beispiel

Schauen wir uns noch einmal das obige Beispiel an. Anstatt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses EE zu berechnen, berechnest du die Wahrscheinlichkeit von E\overline E und subtrahierst diese von 11. Wie kann nun die Wahrscheinlichkeit von E\overline E berechnet werden? Wenn du bei dreimaligem Ziehen nie eine rote Kugel ziehst, hast du dreimal eine blaue Kugel gezogen. Es ist dann

P(E)=(12)3P\left(\overline E\right)=\left(\frac12\right)^3.

Dies erhältst du zum Beispiel mit der 1. Pfadregel oder auch Produktregel, welche du bei Baumdiagrammen anwendest.

Schließlich ist

P(E)=1P(E)=1(12)3=78=0,875P(E)=1-P\left(\overline E\right)=1-\left(\frac12\right)^3=\frac{7}{8}=0,875.

Anwendungsaufgaben für die Gegenwahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Vierfeldertafel

Sowohl bei bedingten Wahrscheinlichkeiten als auch bei Vierfeldertafeln werden Ereignisse und deren Gegenereignisse betrachtet und somit auch Gegenwahrscheinlichkeiten.

Mindestwahrscheinlichkeiten

Eine recht typische Aufgabenstellung lautet: „Wie oft muss ein Zufallsexperiment, genauer ein Bernoulli-Experiment, mindestens durchgeführt werden, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit zum Beispiel 95 %95~\% mindestens ein Treffer erzielt wird.“

Die Trefferwahrscheinlichkeit pp ist dabei gegeben.

„Mindestens ein Treffer“ bedeutet 11 oder 22 oder 33 oder 44 ... nn Treffer. Dabei ist die Anzahl nn der Durchführungen nicht bekannt. Es ist also sinnvoll, das Gegenereignis zu betrachten und dessen Wahrscheinlichkeit von 11 zu subtrahieren:

P(E)=1P(E)=1(1p)nP(E)=1-P\left(\overline E\right)= 1-(1-p)^n.

Zauberwürfel

Ein außen rot lackierter Würfel wird entlang der gestrichelten Linien aufgeschnitten. Alle Fläche, die von außen zu sehen sind, sind rot. Alle, die nicht von außen zu sehen sind, sind grau. Dies kannst du hier am Beispiel eines ausgeschnittenen Würfels sehen.

3073_Würfel.jpg

Wie viele kleinere Würfel entstehen dadurch? Richtig: 333=273\cdot 3\cdot 3=27.

Von diesen Würfeln wird einer zufällig gezogen. Es soll die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnet werden EE: „Es ist mindestens eine Seitenfläche rot.“ Nun kannst du natürlich zählen, wie viele der Würfel 11 oder 22 oder sogar 33 rote Seitenflächen haben. (Mehr als 33 rote Seitenflächen gibt es nicht!)

Du kannst allerdings auch überlegen, wie viele Würfel nur graue Seitenflächen haben. Du betrachtest also das Gegenereignis E\overline E: „Es ist keine Seitenfläche rot.“

Da es genau einen solchen Würfel gibt, den in der Mitte, bei insgesamt 2727 Würfeln, ergibt sich nach der Formel von Laplace

P(E)=127P\left(\overline E\right)=\frac1{27}

Du teilst also die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, hier 11, durch die aller möglichen Ergebnisse, hier 2727.

Damit ist mittels Anwendung der Komplementärregel

P(E)=1127=26270,963P(E)=1-\frac1{27}=\frac{26}{27}\approx 0,963.