Testen von Hypothesen – Alternativtest

Testen von Hypothesen – Alternativtest Übung

• Fasse den Alternativtest zusammen.

  Tipps

  Die Zufallsgröße ist binomialverteilt.

  Beim Alternativtest werden zwei Hypothesen gegenübergestellt, von denen nur eine richtig sein kann.

  Man vergleicht bzw. unterscheidet die Merkmale von Objekten.

  Je weniger Bananen zu kurz sind, desto besser ist die Qualität der Lieferung $\to$ erste Wahl.

  Lösung

  Der Alternativtest

  Beim Alternativtest geht es darum, die Häufigkeit eines Merkmals in einer statistischen Gesamtheit zu ermitteln. Da diese Gesamtheit oft viel zu groß ist, jedes der darin enthaltenen Objekte zu untersuchen, entnimmt man eine wesentlich kleinere Stichprobe.

  Anhand dieser und eigens aufgestellten Hypothesen werden die Vermutungen über die Merkmalsverteilung überprüft.

  In dem Beispiel mit dem Bananenhändler ist die statistische Gesamtheit die gesamte Lieferung Bananen.

  Die Stichprobe ist der kleine Teil, den er daraus entnimmt und nachmessen wird.

  Dabei gilt es diese Hypothesen zu überprüfen:

  • $1.$ Wahl: $20~\%$ der Bananen sind zu kurz.

  • $2.$ Wahl: $40~\%$ der Bananen sind zu kurz.

  Die Wahrscheinlichkeiten dafür kann man aus dem vermuteten Anteil übernehmen:

  • $H_0:p=0,2$

  • $H_1:p=0,4$

• Vervollständige den Alternativtest.

  Tipps

  Der Händler möchte hier wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei der Stichprobe ein Ergebnis aus dem Bereich zweiter Wahl zu erhalten, obwohl es sich um Bananen erster Wahl handelt und umgekehrt.

  Die erste Irrtumswahrscheinlichkeit ergibt sich aus $P(X\le 6)$ für $n=30$ und $p=0,4$. Schaue dazu in eine geeignete kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle.

  Die zweite Irrtumswahrscheinlichkeit ergibt sich mit der Gegenwahrscheinlichkeit $P(X>6)=1-P(X\le 6)$ für $n=30$ und $p=0,2$. Schaue dazu in eine geeignete kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle.

  Es gelten

  • $P(X \le 6) \approx 0,0172$ für $n=30$ und $p=0,4$ und
  • $P(X>6) \approx 1-0,607$ für $n=30$ und $p=0,2$.

  Lösung

  Wenn man beim Alternativtest nach den Wahrscheinlichkeiten sucht, mögliche Fehler (oder Irrtümer) zu begehen, handelt es sich immer um Irrtumswahrscheinlichkeiten.

  Die Zufallsgröße $X$ in diesem Beispiel ist binomialverteilt, man kann bestimmte Werte aus einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle der Binomialverteilung ablesen.

  Der Umfang der Stichprobe ist immer $n=30$, da der Händler so viele Bananen aus der Lieferung untersucht.

  Beim ersten Fehler, bei dem er zweite Wahl Bananen als erste Wahl verkaufen würde, rechnen wir mit $p=0,4$, da es sich ja um tatsächlich zweite Wahl Bananen handeln soll.

  Als Entscheidungsregel wählte er, dass er die Bananen bei sechs oder mehr zu kurzen als zweite Wahl einstuft. Also begeht er hier einen Fehler, wenn sechs oder weniger Bananen zu kurz sind. In einer Tabelle mit $n=30$ und $p=0,4$ findest du für

  $P(X\le 6) \approx 0,0172=1,72~\%$

  als Irrtumswahrscheinlichkeit.

  Der umgekehrte Fehler, erste Wahl Bananen als zweite Wahl zu verkaufen, geschieht, wenn die Bananen tatsächlich erste Wahl sind ($p=0,2$) und der Händler mehr als sechs zu kurze Bananen in der Stichprobe findet.

  Diese Wahrscheinlichkeit findest du nicht direkt in einer Tabelle.

  Wir suchen $P(X>6)$ in einer Tabelle mit $n=30$ und $p=0,2$. Dazu verwenden wir die Gegenwahrscheinlichkeit:

  $\begin{align} P(X>6) &=1-P(X\le 6) \\ &\approx 1-0,6070 \\ &=0,3930 \\ &=39,3~\% \end{align}$

  Damit haben wir beide Irrtumswahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Alternativtests bestimmt.

• Entscheide, welche die richtige Irrtumswahrscheinlichkeit ist.

  Tipps

  Sei $X$ die Anzahl der grünen Äpfel in der Stichprobe. Dann ist $X$ binomialverteilt mit $n=40$ und $p=0,4$.

  Du findest die Irrtumswahrscheinlichkeit in einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle mit $n=40$ und $p=0,4$.

  Lösung

  Sei $X$ die Anzahl der grünen Äpfel in der Stichprobe. Hier soll die Fehlentscheidung angegeben werden, dass man dem Supermarkt eine Kiste liefert, die als eine süße Kiste bestellt wurde, aber eigentlich eine gemischte Kiste ist.

  Man möchte also wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, beim Testen der Stichprobe mit dem Ergebnis im Bereich einer süßen Kiste zu landen, obwohl es sich in Wahrheit um eine gemischte Kiste handelt.

  Da in diesem Beispiel der tatsächliche Inhalt gemischt sein soll, rechnen wir mit der Wahrscheinlichkeit einer gemischten Kiste, also $p=0,4$.

  Der Umfang der Stichprobe ist $n=40$.

  Die Entscheidungsregel besagt, dass eine süße Kiste höchstens zehn grüne Äpfeln Äpfel enthalten soll. Daher müssen wir die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 10)$ berechnen.

  Diese findest du in einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle (Bild) mit $n=40$ und $p=0,4$.

  Die gesuchte Irrtumswahrscheinlichkeit liegt in diesem Fall bei $3,52~\%$.

• Bestimme die gesuchte Irrtumswahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Sei $X$ die Anzahl der grünen Äpfel in der Stichprobe. Dann ist $X$ binomialverteilt mit $n=40$ und $p=0,15$. Gib $P(X > 10)$ an.

  Du musst mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen. Es gilt $P(\bar{A})=1-P(A)$

  Du kannst die Wahrscheinlichkeit zum Berechnen der Irrtumswahrscheinlichkeit aus einer kumulierten Tabelle mit $n=40$ und $p=0,15$ entnehmen.

  Lösung

  Nun geht man davon aus, dass die Kiste tatsächlich süße Äpfel enthält, aber als gemischte Kiste geliefert wird. Daher müssen wir auch mit der Wahrscheinlichkeit einer süßen Kiste $p=0,15$ rechnen.

  Sei $X$ die Anzahl der grünen Äpfel in der Stichprobe. Das Ergebnis beim Testen der Stichprobe liegt dann im Bereich einer gemischten Kiste, wenn gilt $P(X>10)$.

  Diese Wahrscheinlichkeit kannst du keiner Tabelle entnehmen, wohl aber ihre Gegenwahrscheinlichkeit.

  Dazu benötigen wir eine kumuliert Wahrscheinlichkeitstabelle mit $n=40$ und $p=0,15$. (Bild)

  $\begin{align} P(X>10) &=1-P(X \le 10) \\ &\approx 1- 0,9701 \\ &=0,0299 \approx 3~\% \end{align}$

  Diese Irrtumswahrscheinlichkeit liegt also bei ungefähr $3~\%$.

• Vervollständige die Tabelle zum Alternativtest.

  Tipps

  Die Wahl auf die Qualität der gesamten Bananen hängt vom Ausgang der getesteten Stichprobe ab.

  Die Prüfgröße $X$ darf den im Text genannten Wert nicht übersteigen, da der Händler die Bananen sonst als zweite Wahl verkauft.

  Der Händler kann sich für eines der beiden Merkmale entscheiden.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Merkmals wird durch die bekannte Ausprägung in einer erste oder zweite Wahl Kiste bestimmt.

  Lösung

  Der Händler kann sich bei seinem Test für Bananen erster oder zweiter Wahl entscheiden (Bild).

  Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen dabei dem vermuteten Anteil an zu kurzen Bananen.

  Der tatsächliche Anteil an zu kurzen Bananen kann $20~\%$ oder $40~\%$ betragen, was dann festlegt, welche Wahl die Bananen wirklich sind.

  Dabei kann der Händler zwei Fehler machen:

  • er kann tatsächliche erste Wahl Bananen als zweite Wahl einstufen

  • er kann tatsächliche zweite Wahl Bananen als erste Wahl einstufen

  Ansonsten hat er nur zwei weitere Möglichkeiten, sie richtig einzustufen.

• Ermittle die verwendete Entscheidungsregel.

  Tipps

  Sei $X$ die Anzahl der Trauben, die einen Kern enthalten. Gesucht ist ein $k$, für das gilt:

  $P(X \le k) \le 0,1$

  Du benötigst eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle mit $n=15$ und $p=0,9$.

  Lösung

  Hier möchte man wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine normale Traube fälschlicherweise als kernlose Traube zu verkaufen.

  Da die Trauben in diesem Fall also tatsächlich normal sein sollen, rechnen wir mit $p=0,9$. Der Umfang des Tests liegt bei $n=15$.

  Gesucht ist die Entscheidungsregel, also die maximale Anzahl kernhaltiger Trauben, damit die beschriebene Irrtumswahrscheinlichkeit nicht größer wird als $10~\%$.

  Das Ergebnis muss also im Bereich der kernlosen Trauben liegen. Es muss gelten:

  $P(X\le k)\le 10~\%$

  Wir benötigen also eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle (Bild) für $n=15$ und $p=0,9$. Gesucht ist ein $k$, bei dem die Wahrscheinlichkeit in der Tabelle noch unter $10~\%$ liegt.

  Diese Grenze liegt bei $k=11$, da hier die Wahrscheinlichkeit noch $5,56~\%$ beträgt. Für $k=12$ läge die Wahrscheinlichkeit schon deutlich über den festgelegten $10~\%$.

  Es dürfen also höchstens $11$ Trauben Kerne enthalten, damit diese Irrtumswahrscheinlichkeit $10~\%$ nicht übersteigt.